В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин - Сборник задач по электродинамике (1129082), страница 83
Текст из файла (страница 83)
При решении задачи 774 были получены выражения (2) для п-й гармоники поля излучения от одного заряда. Выражения этих гармоник для разных зарядов, очевидно, отличаются друг от друга только начальными фазами. Обозначив через 91 сдвиг фазы поля 1-го электрона относительно поля того электрона, которому приписан первый номер, запишем результирующее поле в вещественной форме: Н„в = — 1„'(п)9 в1п д) ~~ соз и (а11 — — + ф1) .
= р"" ыно 1=1 Выражение для Н аналогично. Среднее значение интенсивности излучения за период Т = я равно: 2я т И1 = — '. 1 1(изв+Нз„) дЗизедП = $ид1, о В 2. Электрамагннтнае яоле движущегося тачечнага заряда 561 где ИՄ— интенсивносп излучения от одного электрона, найденная в предыдущей задаче, а Яг1 — коэффициент, учитывающий интерференцию полей электронов («фактор когерентноспо>): Я1н = !ч'+ ~~! сов п(зд1 — з)!1 ). !.!'=! !!и! ) Рассмотрим частные случаи: а) при совершенно беспорядочном расположении электронов на орбите ~сони(з)!1 — зд1 ) = О; б) при равномерном расположении электронов на орбите М = — '((-1) Л Ф Яг1 = Л~~ сов2и(( — 1) ~ = — ~~~ е г! +~~ е Л 2 ~ 1=З 1=1 1=1 О, если — — не целое число, п !!!( 1)п вш7иГ св — !ч', если — — целое число; оп г П в) если электроны образуют сгусток, то все разности зд1 — зд1 малы, Для не слишком больших и, при которых размер сгустка маа по сравнению с соответствующей длиной волны, можно заменить все сов п(151 — з)!1 ) в выражении Юг1 единицами.
Тогда Яг1 = Жз. С увеличением и фактор Ягг уменьшается; значение Яы при этом зависит от деталей расположения электронов в сгустке и не может быть указано в общем виде. 778. Выберем начало координат в центре инерции системы зарядов. Тогда электрический дипольный момент системы У Е1 Ег ~ Р = е1 г1 + езгз = И ~ щ — щ г1 г, ГДЕ Г = Г1 — ГЗ, Д = оз!пзз и!!+о!я' 5б2 Глава Л71 Поскольку отношения е/гп зарядов различны, то р ф О и система будет излучать в основном как электрический диполь (~~ (( 1). Мгновенная интенсивность Согласно уравнению движения зарялов, 1лт' = —,, так что Х = егегг т 2е,ег( е~ ег 1 1 г г г = — ( — — — 1 —. При вычислении средней по времени интенсив- 1 Т ности излучения 7 = — ) Ег1г' заменим интегрирование по г' интегрирова- 7 О наем по углу а согласно уравнению пг' = (К вЂ” момент импульса Й~ К системы) и воспользуемся уравнением траектории.
В результате получим: з — 2г е, ег )г1гг)егег)зф)й ( 2)8)Кг~ Кз бс ~пг пг з~ ,иегегг сЖ 2йдй~б~й ( е1 ег ')г К гг Зсл ~т, та,/ к' 786. Поступая так же, как при решении задачи 778, запишем вторую производную дипольного момента в виде: Вычисление А не вызывает затруднений. Для вычисления В нужно знать р, — проекцию р на направление первоначального движения рассеиваемых частиц — в виде функции координат т, а (полярные координаты в плоскости относительного движения частиц).
При этом следует учитывать, по в уравнении траектории относительного движения — 1 + е соз а = а(ег— — 1)/т, угол гг отсчитывается от оси симметрии (ось х') траектории. Таким образом, р' = т е1пгг, х' = топав. Угол между осями х н х' равен а — гге 1 (созггс= — ),позтомух= — х соагго — р'зшггс= — т(йсозгг+ „.
з1пгг). 12. Электронагтипное поле движущегося точечного заряда 563 Используя (1) и заметив, что взп(з — нечетная функция, получим: О -оо О -оо С помощью уравнения траектории выразим совз гг и вш (2 через г и е н сделаем подстановку вз = и, в(1в = а— (1и. После зтого выписанный 2 интеграл преобразуется к виду: При вычислении интезрала по 1(н возникает логарифмический член, юторый преобразуется интегрированием по частям. Для вычисления внешнего ннтезрала по гЬ целесообразно сделать подстановку х = —, которая при2а 1 юдит зтот интеграл к сумме нескольких В-функций: В(й, 1) = ) х~ 1(1— О Г(а)Г(1) Г(1+1) Окончательно получаем: бк ~е1 е2~2 А = — Е1Е2( — — — г( Згее 9 ~т1 Газ ! В = О. 781.
В рассматриваемом приближении о = сопвс, а траектория частицы представляет собой прямую. Пусть движение частицы происходит в плосюсти хг параллельно оси 2. В зтнх координатах и = (п,пв,п,), где пе = вшззсов(л, пз — — вшдвшгг, г. ° = (.,о,ч'(, ° =,/Р+ 'ъT, т = (О,О,О). Глава ХИ Из извеспюй формулы ч = —, где и = ™, Д = "-, полу- ~(à — бз' чим ч = — — —. Согласно уравнению движения частнны, р = —.
сзр сэре Е«Е22 е „3 Заюн сохранения энергии требует, чтобы 8+ — '„2 = сопев. Дифференцируя последнее равенство по «'„получим: Е«Е2Г Е«Е2Г Ч г2 гз е«езс ~ Р(г ч)~ е«езсз( з«2 4гз Подставив найденные выражения в (ХП.26), получим: «1~Ии е«е2с ( 32 «(1 у )2 2 (1 12)~ Ю 4«гсз42(1 )Уп,)3 ( В' * * ° ~ ага' х ( 2+„23«2)з Интегрирование дает: НЬИ«„ев«аз~(1 — Р') — 3 (4 Зпх пл б«зов+ «Я З2,22сз 3 (1 Вп )5 + 12( 2+З 2+б 2)+)ув(1 2)~ (1) В нерелятивистсюм пределе ф — ~ 0 и 4 2 (4 — Зпз — 2) «И З2п«зс433„ В улътрарелятнвистсяом случае Д 1 и (дИ Зе4ез(1 — «З) НП 22пззс433 зглв «« 2 При «У < ~/1 — «э' последняя формула несправедлива, и нужно полъзоваться точным выражением (1). В 2. Электромагнитное поле движущегося точечного заряда 565 782. АИ = "" д, А ="~"'. в г з Р= 12щз,в,в„' 1 дЬИг„8е,ест с ~ .з(тв) з(тв)~ 784.
Условие применимости формулы (ХП.ЗЗ) выполняется при всех частотах ы, так как время столкновения т = О. При рассеивании на твердой сфере угол падения равен углу отражения, поэтому ~чз — тгг~э = 2и в)о —, д где д — угол рассеяния. Угол д связан с прицельным расстоянием в соотношением: в = авш — при в < а. При в > а частица не испьгпввает д 2 рассеяния. Отсюда получаем: 2ез з У зд 4езазсз дзе = е 4оз / вшз — 2квдвйо = " йо. Зсз о Найденное дифференциальное эффективное излучение не зависит от частоты. Поэтому полное эффективное излучение зе = гЬе = со. о Эта расходимость обьяснястся тем что сфера считалась абсолютно твердой.
На самом деле абсолкзгно твердых тел не существует, т ~ О и при больших значениях ы найденное для дзе выражение незаконно. 785. Формулу (ХП.ЗО) для дифференциального эффективного излучения можно записать в виде: = 2к — йвг(в. о -оо Интенсивность ншучения — = — "Нзтз, где Н = — А х и. В форму- Ж 4к с ле (1) усреднение интенсивности юлучения должно быть произведено по всем направлениям в плоскости, перпендикулярной к направлению потока падающих часпщ. Для выполнения усреднения удобно представить векторное проюведенне, входящее в выражение Н, в форме Н = -е„д.,.4дп„, 1 5бб Глава уу7у где еарт — антисимметричный единичный псевдотензор (см.
задачи 24 и 26), по повторяющимся индексам выполняется суммирование. Компоненты векторного потенциала Ар выражаются через компоненты квадрупольного момента Яр„определяемые формулой (ХП.19) Ар = — фр,п,. 1 2сзг Таким образом, 1 Н = —.е,з у,",урвптп, 2сзг 61 1 Дрор в еартеор'т и-упвп~пв .
16яс Воспользуемся полярной системой координат с полярной осью направленной вдоль падающего потока и с полюсом в точке, где находится часпща с зарядом ез и массой газ. Усреднение должно выполняться при фиксированном значении составлжощей пв ы пз = соя д (д — направление излучения). Легко убедиться, что уувууь буь(1 пз)~ — 1 3 2 (2) йууйЩй = -(буабь + бнбу + бевбы)(1 — пз), 1 3 3 8 и; =прчьщ =О, где индексы у, к, 1 принимают значения 1, 2. Воспользовавшись (2), а также формулой еартеар т' = брр'бт-у' брт~бтр'у получим уу1 1 У "'з -'з в — = — ~(Ярз — Язз) соз д+ у(Й 16ясз 1 "'з "'з ""з -' -' з + (ерр ЗЯрз+ 64зз 2Яззуерр) зш дсоз д+ + -(2<.>рр — Дрр) — ЗЯзз+ 2ЦззЯрр] з1п'д~. (3) З 2. Электронагтипное поле даизаунгегося точечною заряда 567 Подставляя (3) в (1), найдем окончательно: —" = А+ ВРз(говд) + СРа(сов 6), г(зе» (4) где Рз, Р4 — полииомы Лежандра (см. приложение 2), 120св з / [Заде Щрр) [в йв <й -со в /' ...г .
...з 168св / [ — Заде + 2(Фрр) + 6Фдз — 6ЯззЮрр[вг(вФ вЂ” о [-Ыдр +2~да -Ядр'))- — о — 864Ь~+ 104~Див[абаю. 786. Полное зффектнвное излучение Используя формулы (4) и (5), полученные в предыдущей задаче, можно написать (см. приложение 2): зе = 4яА = — ( у [Зф„р — 4рр[з 6в М. Зо'/ У вЂ” в 2е жа Ха— 3 3 х = 2е гяа Зхасг гп тв Обозначим через я декартовы компоненты относительного радиуса-вектора частиц, а через е = х — декартовы юмпоненты относительной сюрости частиц. Тогда, учитывая уравнение относительного движениа частиц, найдем 548 Глава И! Подставляя эти выражения в формулу (1) и вводя азимугальную компоненту относительной скорое~~ часпщ оа (о = оа + о,.), получим: 4я'ее Г Г е + 11»~~ лв = в ав ат.
1бтгса,l .~ т4 (2) Вследствие сохранения энергии и момента импульса, е = еа — — „ г г 4е и о = +ю„. Выполняя в (2) интегрирование (при этом следует заменить интегрирование по Ф интегрированием по 4(г, согласно формуле тй = — „г = , причем интегрировать можно в любом порядке), получим сленг~а чательно: 4я е "о 4 3 и=— 9 огсз ' 83. Взаимодействие заряженных частиц с излучением 787. Импульс поля движущейся частицы где и = — Е х Н, а интеграл берется по всему пространству. Магнитное 1 4гс поле движущейся часпщы Н = » х $, так как в системе покоя частицы (о') магнитное поле отсутствует. Отсюда = — ~чЕг — Е(» ° Е)). 4ясг С помощью формул (Х.25) находим: Е' Е' Р л /~ )5г ' " Г~ )зг Е Ев (ось х направлена вдоль»). Элемент обьема 4%' = Л" »/1 — )зг (вследствие лоренцова сокрашения). Таким образом, 4ясг „/1 — ~зг / 4ясг»/à — )гг 3 / б 3.
Взаимодействие заряженны» частиц с ыаучением 569 Последнее преобразование следует нз сферической снммегрнн поля в снсгеме Я!. Если прнюпь, что масса поюя часпщы имеет чисто злектромагннтное происхождение, т.е. представляет собой массу ее электрнческого поля, определяемую соотношением Эйнштейна И~! = пзосз, то она должна рав- тпо = — — ~ Е т()Я. 1) „ сз 8я/ (2) Прн этом импульс поля должен бы быть равен ~~, однако нз формул р' лы (1) видно, гго зто не так'.
Импульс поля зависит от скорости зт точно тнк же, как зто должно быть в случае частицы: тпОзт /~ 7з' (3) не обнаруживает зависимости от скорости о, которая должна нмегь пзосз место для энергии частицы (ср. с задачей 787). ! пзос 3 Энерпм поля прн таюм предположении должна бы быть !мана, но как показано а елелуепма задаче зто также не имеет места Но «масса» пзо! = 4то ф пзо не совпадает с массой покоя частицы пзо, 3 определяемой формулой (2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
