В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин - Сборник задач по электродинамике (1129082), страница 78
Текст из файла (страница 78)
ответы к задачам 684 и 690): с ~ 2ек оз з Уширение пучка б„гз о„.ГР 2 Йэх ~е~Е 4сг) Йэд Йэх гР 1с1) 1е~Е Йх — =О, — =О, Йтз тис Йт Йтз Йтз Йтз тс Йт Интегрируя зту систему с начальными условиями: х=р=х=с1 =О, с — = — при т= О, где ес Йт пзс — =О, Йа Йт найдем уравнения траектории часпщы в четырехмерном пространстве: Йо т 1е)Ет т сро* ~е~Ет ~е~Е~ тс ) (е)Е пзс ' роет у= —, а=О, ст = — вп + — *(сп — 1).
8о ~е~Ет сро ~е~Ет (е(Е пгс ~е~Е гпс Согласно условию Ьа « Ь, откуда —" « о нлн 6„$ « о < с. Таким образом, применение нерелятввистской формулы для вычисления Ьа оправдано. То же значение Ьа можно получить, рассматривая уширение пучка в системе отсчета, движушейся вместе с электронами пучка; в этой системе на электроны действует только электрическая сила. 692. Выберем ось х ~~ еЕ. Дифференциальные уравнения движение в четырехмерной форме имеют в данном случае вид: 522 Глава Лу Из последнего уравнения находим ро*+ ~е~Е1 + гпс (е)Е ео ро* +— с Используя это выражение и исключая аЬ и сЬ ю первого и последнего уравнений, получим закон движения в трехмерной форме. -Ф1' х(г) = — [ (е)Е ров+ (е(ЕФ+ у(г) — 1п ~е~Е ров+ с Ео л(1) = О.
При ро « тис и $ « с движение нерелятивистсюе. Выражения 1е(Е для х, у, л переходят при этом в обычные нерелятивистские формулы равноусюренного движения: х($) = — Ф+ — Ф; В. !.!Ез пг 2пг у(г) = По истечении достаточно большого времени с момента начала движения (Ф» гас 1 сюросп часпщы становитса близкой к с (даже если она ~е~Е/ была мала в начале).
При этом х(1) = с1 — —, пгсз 1е)Е срок 2(е)Е1 )е)Е пгс и Ллижение становится равномерным. Ход х(г) и у(г) представлен на рис. 113а и 11Зб соответственно. Движение, которое получается при рек — — О (см. рис. 113а), принято называть гиперболическим. $ 2. Движение зардвсенньи частиц в электромагнитном иоле 523 693. Траектория частицы определяется уравнением: х = — (сЬ вЂ” У вЂ” 1)+ 8о 1е!Е ~е~Е срок сро ~е~Е + — аЬ вЂ” у.
~е~Е срок В нерелятнвистском пределе Ее=тес, Ро«шс и — «1. 2 (е(Еу срок Последнее следует нз того, что ~е~Ет — приобретенный частицей импульс — должен быть в нерелвтивистском случае мал по сравнению с шс. Таким образом, ш(е)Еуз Ро х= + — у. 2Ров Рис. 113 694. еЕ ЙУ Йх ыг Йтз Йт Йзх "У вЂ” = ыз —, Йтз Йт ' — =О, ~Рл ЙТ2 — =О, Й'т Йтд ГДЕ Пзг = —. еО гпс' Первые два уравнения удобно записать в виде — +пот — = О, где и = 12 Й Йтз Йт = х + зу.
Из последнего уравнения получим с8 = — т Ео = с Рд+шзсз йо шс' с \ 6' = шс — = Йо. г Й1 Йт Йр езгхН 'Можно исходить тякше ю трехмерного уравнения — = , сдеввв в нем замеКн Йз с ну р = — и восподьзовввшись тем, что е = сопев (мвгнитное поле не совершает рвботм с ивд частицей). 695. Направим ось д ~~ Н. Будем исходить из дифференциальных уравнений движения в четырехмерной форме'.
524 Глава Х3 Энергия частицы не зависит от времени, так как силы магнитного поля ие совершают работы. Интегрируя уравнения для и и г, отделив действительную и мнимую части и и выразив собственное время т через 1, ващем: х = Вг сов(мгФ+ а) + — + хо, оров еН и = — В1 в1п(шгз+сг) — + ив сроа сН (1) Из уравнений (1) видно, что частица движется в магнитном поле по винтовой линии, навитой на силовые линии магнитного поля. Радиус этой винтовой линни равен В = ~Вз~, где Вг = еН ' р = Я~~~.~ ьр равна ю = ~юг~, где юг = — (знак заеНс Ю ряда может быть отрицательным). Шаг винтовой линии равен 2я(вол ( 2яб )оо» ! )е(Нс Ро,с где оо* =— Очевидно, что В = — ", ~, где еоэ = аах Ра~ с — составляющая скорости ча- 8 стицы, перпендикулярная к полю.
При малой скорости частицы е = тпсг и )е(Н Ы=— озс ' В= —, тесал (е(Н Рнс. 114 Угол а определяется уравнениами: Ров сова = — —. Роа ' в1па = —— Роа Роя ' $ 2. Двидовнив заря»сонных чистил в электромагнитном наив 525 сЕд х = аялшФ+ — 1 Н у = а(совоо$ — 1), еЕ, з — + но,Ф, сЕд док —— Н где а = Вдоль оси г происходит равноускоренное движение под действием г-составляющей электрического поля. Движение в плоскости ху представляет собою обращение заряда в однородном магнитном поле по окружности, радиус которой а, а центр равномерно движется («дрейфует») в направлении, перпендикулярном плоскости (Е, Н). Сгюрость дрейфа Возможные проекции траектории часпщы на плоскость приведены на рис.
114. Траектории а), в), д), ж) являются трохоидами общего вида, б), Ед е) — циклоидами. Движение будет нерелятивисгскнм, если оо «с, — «1 ' Н и время Ф не слишком велико: Ф « — = —. пзс Н еЕ, шЬд — зт мНт + — (сов мНт — 1), родс родс еН еН ро с — (соз мНт — 1) + — аш мНт, ро„с еН еН вЂ” ~(сЬ мЕт — 1) + ~— * я)змЕт, еН еН вЂ” Ро *-(сЬ мЕт — 1) + — о аЬ мЕт, еН еЕ где и = —. в кис' буй. а) Пусгь электрическое поле Е )~ у, магнитное поле И ~( з (в системе Я).
В начальный момент $ = О часпща находится в точке х = у = = з = О и обладает импульсом ро. Движение имеет различный характер в случаях Е > Н и Н > Е. В первом случае существует, как это следует нз вида инвариантов поля Е ° Н = О, Ез — Нз > О, такая система 526 Глава Л7 отсчета У, в которой отсутствует магнитное поле.
Из преобразований Лоренца для поля видно, что система Я' должна двигаться относительно Я параллельно оси х со скоростью 1' = — (см. задачу 603). Интересующие сН Е нас уравнения двюкения частицы в Я получаются из уравнений движения частицы в однородном злектрическом поле Е' с помощью преобразований л,~ ~, .= ~~~ „,,п~, в',а. а„~„б 1 — \' ~ а ° р .вру в Е(сРовŠ— 6оН) Н(беŠ— сро*Н) х= т+ пзс(Ег Нг) е(Ег Нг)з/г (.ь /л — в" - 1' сре„Н) е(Ег Нг) е, где лв = —; ( ь ~/е - л — 1)~- е(Ег — Нг) в ~/Р:л*: е~/Е~ Нл ров г = — т.
Тй Н(срсв — ЮоН) Е(беŠ— сревН) се= * т+ пгс(Ег Нг) (Ег Нг)з/г Я Ге — и — Ц. е(Ег — Нг) При Н > Е преобразование от системы отсчета, в которой имеется только магнитное поле, приводит к результатам, отличающимся от (1) только заменой Е на Н. При выполнении такой замены нужно учитывать, что алга = ( вша, сп га = сова. Случай Е = Н можно получить нз написанных формул предельным переходом Š— Н. Результат: и т.д. Решение для случая б) аналогично решениям задач 692, 695. 0 2.
Даажение заранееннмк частиц в звекмроиагнмннаи нале 527 699. Т = тсз( — ~ — 1), откуда, например, в случае, рассмотренном ~Ат в задаче 697, получим: Т = Во с)змЕт + сро а)ззеЕт — тс». 700. Исходя нз результата задачи 603 и вычислая — с точностью до первого порядка по —, получим — = —. Схема решения — как в зада- Е 1т Еи Н' с Н че 600. Во всех вычислениях нужно пренебречь малыми членами второго Еу Е» оа и более высоких порядков по —, — и —. Окончательно найдем: Н*Н с' сои Еи х = авшие+ — (сов~Я вЂ” 1) +с — 8, а(созыв — 1) + — ашыФ, сои еЕ»зз 0» ~ где сЕ„ оо Н и ы= —.
еН пзс ' В начальный момент Ф = 0 частица находится в точке х = у = х = О. В формулах (1) содержится, в частности, результат задачи 696. 701. Выберем ось х вдоль направления распространения плоской волны. Тогда поле волны будет полностью характеризоваться двумя функциями от г', например, ЕиЯ и Е,(1'): Е(0, ЕиЯ, Е Я~, Н(0, — Е»(8'), Еи($')]. Из уравнений (Х1.19) сначала получим, по 8' = т, затем найдем уравнения движения часпщы в параметрической форме: х(т) 2 1 р гт 2пз сз о т л(т) = —, З р»гзт, 1 Г о у(т) = ~ риг1т, о т з(т) = т+ з з рзгзт, 2пззсз / о 528 е яеяа.'ру т где Рз = е ) Е(ЯР) = евРк+ееРЯ вЂ” составлЯюЩаЯ импУльса частицы в плесе кости Е, Н.
702. Координаты часпщы: р = йе сЬьгг, з = ег, х = хосозыс, где ы з 2ея из полученных зависимостей х(е) и у(е) видно, что с помощью линзы рассматриваемого типа может быть сформирован пучок заряженных частиц, имеющий форму плоской ленты. — ЯРК вЂ” Я 11Н, ЕЕ 1-ФР * = *[Я.;- 11Я,1 - Н;)~., = е [Е, + 1(Н ' — Н„го)]. Первое и третье из этих уравнений имеют вид обычных уравнений двир р ~яр я м 1 в /* „бг части первого уравнения содержится член пе"'", не зависящий от внф — яз/сз да электромагнитных сил (центробежная сила). Второе уравнение выражает производную по времени от момента импульса частицы относительно оси з через л-составляющую момента силы Лоренца.
704. При Н = О траектории электронов прямолинейны. По мере увеличения магнитного поля траектории все больше искривляются в плоскости, перпендикулярной оси. Введем цилиндрические координаты г, а, з, где з совпадает с осью цилиндра. Электроны перестанут попадать на анод, когда при г~ = О. При этом а~ = —. Воспользуемся вторым из уравнений в ответе к задаче 703, которое в данном случае принимает вид: й ( тгза ~ ен(г))г(г 11',„/,=-ЯГЯ' ,- Р "Л Ь 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
