Семинар по функции Грина и методу электростатичеких изображений (1127976), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Строим функцию Грина по формуле G(x, ξ) = E(x, ξ) + g(x, ξ).G(x, ξ) =1R−.0|ξ − x||ξ − x | · |ξ ∗ − x|Чтобы избавиться в ответе от ξ ∗ , ещё раз воспользуемся симметричностью точек ξ и ξ ∗ : ξ − x0 · ξ ∗ − x0 = R 2и векторным соотношением:−→ −−→ −→ξ − x ≡ xξ ∗ = x0 ξ ∗ − x0 x =∗−→−→R20·xξ−x0 x,20|ξ − x |откуда0 x − x0|ξ ∗ − x|ξ−x= R −RR2|ξ − x0 |2 Окончательно получаем:1Ответ:G(x, ξ) = |ξ−x|− 10R|ξ−x0 |· x−x2 −R.ξ−x0 |ξ−x0 |2 -7-УМФ – семинар – Функция ГринаЗадача 5.Методом отражений найти функцию Грина задачи Дирихле (0.1) – (0.2) в четверть-плоскостиD = {x1 > 0, x2 > 0}.Шаг 1. Строим фундаментальное решение уравнения Лапласа по формуле (0.3).Для данного двумерного случая n = 2, и по формуле (0.3) имеем:qE(x, ξ) = − ln |ξ − x| ,|ξ − x| = (ξ1 − x1 )2 + (ξ2 − x2 )2 .(5.1)Шаг 2.Помещаем в точку ξ = (ξ1 , ξ2 ) ∈ D единичный положительный заряд.

Обозначаем черезξ ∗ , ξ − точки, симметричную точке ξ относительно прямых {ξ1 = 0} и {ξ2 = 0}, а через ξ + –точку, симметричную точкам ξ ∗ , ξ − относительно прямых {ξ2 = 0} и {ξ1 = 0}, соответственно.ξ ∗ = (−ξ1 , ξ2 ),ξ − = (ξ1 , −ξ2 ),ξ + = (−ξ1 , −ξ2 ).Шаг 3. Ищем решение задачи (0.5) – (0.6) ввидеg = −E(q1 x, q1 ξ ∗ ) − E(q2 x, q2 ξ − ) + E(q3 x, q3 ξ + ) =|ξ ∗ − x| · |ξ − − x|q1 q2Рис. 2: Отражения точки ξ от границ угла+ ln= ln.q3|ξ + − x|Чтобы выпонялось краевое условиеg(x, ξ)x∈S= −E(x, ξ),x∈Sвозьмём q1 = q2 = q3 = 1. Таким образом,g = ln|ξ ∗ − x| · |ξ − − x|.|ξ + − x|Шаг 4.

Строим функцию Грина по формуле G(x, ξ) = E(x, ξ) + g(x, ξ).G(x, ξ) = ln|ξ ∗ − x| · |ξ − − x||ξ ∗ − x| · |ξ − − x|−ln|ξ−x|=ln.|ξ + − x||ξ + − x| · |ξ − x|Здесь легко заметить, что выбор q1 = q2 = q3 = 1 был удачен: в самом деле, тогда, как итребует определение функции Грина,|ξ ∗ − x| · |ξ − − x|G(x, ξ)= ln += ln(1 · 1) = 0.|ξ − x| · |ξ − x|x∈SПриводить полученную функцию Грина к виду, где нет ξ ∗ , ξ − , ξ + , не станем (это громоздко,но несложно).|ξ ∗ −x|·|ξ − −x|Ответ:G(x, ξ) = ln |ξ+ −x|·|ξ−x| .-8-УМФ – семинар – Функция ГринаЗадача 6.Методом отражений найти функцию Грина задачи Дирихле (0.1) – (0.2) в полукруге D ={x21 + x22 6 R, x2 > 0}.Шаг 1. Строим фундаментальное решение уравнения Лапласа по формуле (0.3).Для данного двумерного случая n = 2, и по формуле (0.3) имеем:qE(x, ξ) = − ln |ξ − x| ,|ξ − x| = (ξ1 − x1 )2 + (ξ2 − x2 )2 .(5.1)Шаг 2.Помещаем в точку ξ = (ξ1 , ξ2 ) ∈ D единичный положительный заряд.

Обозначаем через ξ ∗ – точку,симметричную точке ξ относительно окружности,через ξ − – точку, симметричную точке ξ, относительно прямой {ξ2 = 0}, а через ξ + – точку, симметричную точке ξ ∗ относительно прямой {ξ2 = 0},а точке ξ − относительно окружности.R2ξ,|ξ|2ξ − = (ξ1 , −ξ2 ),R2ξ+ = 2 ξ−.|ξ|ξ∗ =Шаг 3. Ищем решение задачи (0.5) – (0.6) в Рис. 3: Отражения точки ξ от границ повиделукругаg = −E(q1 x, q1 ξ ∗ ) − E(q2 x, q2 ξ − ) + E(q3 x, q3 ξ + ) =q1 q2|ξ ∗ − x| · |ξ − − x|= ln+ ln.q3|ξ + − x|Чтобы выпонялось краевое условиеg(x, ξ)= −E(x, ξ)x∈Sx∈S= ln |ξ − x| ,x∈Sвозьмём заряд внутри полной окружности q2 = 1, а симметричные ему и заряду в точке ξотносительно окружности q1 = q3 = |ξ|(по аналогии с формулой (3.4), стр. 6).

Таким образом,Rg = ln|ξ ∗ − x| · |ξ − − x|.|ξ + − x|Шаг 4. Строим функцию Грина по формуле G(x, ξ) = E(x, ξ) + g(x, ξ).G(x, ξ) = ln|ξ ∗ − x| · |ξ − − x||ξ ∗ − x| · |ξ − − x|−ln|ξ−x|=ln.|ξ + − x||ξ + − x| · |ξ − x|Здесь легко заметить, что выбор q1 = q2 = q3 = 1 был удачен: в самом деле, тогда, как итребует определение функции Грина,G(x, ξ)= lnx∈S|ξ ∗ − x| · |ξ − − x|= ln(1) = 0.|ξ + − x| · |ξ − x|-9-УМФ – семинар – Функция ГринаПриводить полученную функцию Грина к виду, где нет ξ ∗ , ξ − , ξ + , не станем (это несложно,но громоздко).Заметим, что, хотя вид ответа точно такой же, что и в задаче №5, функция G здесь иная,поскольку совершенно иначе вычисляются координаты точек ξ ∗ и ξ + .|ξ ∗ −x|·|ξ − −x|Ответ:G(x, ξ) = ln |ξ+ −x|·|ξ−x| .Задача 7.Методом отражений найти функцию Грина задачи Дирихле (0.1) – (0.2) в четверти кругаD = {x21 + x22 6 R, x1,2 > 0}.Шаг 1.

Строим фундаментальное решение уравнения Лапласа по формуле (0.3).Для данного двумерного случая n = 2, и по формуле (0.3) имеем:qE(x, ξ) = − ln |ξ − x| ,|ξ − x| = (ξ1 − x1 )2 + (ξ2 − x2 )2 .(5.1)Шаг 2.Помещаем в точку ξ = (ξ1 , ξ2 ) ∈ D единичныйположительный заряд. Строим точки ξ1∗ , ξ2∗ , ξ3∗ –точки, симметричные точке ξ относительно сторончетверти круга. Далее строим точки ξ4∗ , ξ5∗ , ξ6∗ , ξ7∗ ,симметричные построенным точкам относительнопродолжений сторон четверти круга (то есть относительно окружности и прямых {ξ1 = 0}, {ξ2 = 0})(см.

рисунок 4).Рис. 4: Отражения точки ξ от границ четверти кругаШаг 3. Ищем решение задачи (0.5) – (0.6) в видеg = −E(q1 x, q1 ξ1∗ ) + E(q2 x, q2 ξ2∗ ) − E(q3 x, q3 ξ3∗ ) + E(q4 x, q4 ξ4∗ ) − E(q5 x, q5 ξ5∗ ) + E(q6 x, q6 ξ6∗ )−q1 q3 q5 q7|ξ ∗ − x| · |ξ3∗ − x| · |ξ5∗ − x| · |ξ7∗ − x|− E(q7 x, q7 ξ7∗ ) = ln+ ln 1.q 2 q4 q 6|ξ2∗ − x| · |ξ4∗ − x| · |ξ6∗ − x|Чтобы выпонялось краевое условиеg(x, ξ)= −E(x, ξ)x∈Sx∈S= ln |ξ − x| ,x∈Sвозьмём заряды внутри полной окружности q3 = q5 = q6 = 1, а симметричные им и заряду в(по аналогии с формулой (3.4), стр. 6).точке ξ относительно окружности q1 = q2 = q4 = q7 = |ξ|RТаким образом,|ξ ∗ − x| · |ξ3∗ − x| · |ξ5∗ − x| · |ξ7∗ − x|g = ln 1.|ξ2∗ − x| · |ξ4∗ − x| · |ξ6∗ − x|Шаг 4.

Строим функцию Грина по формуле G(x, ξ) = E(x, ξ) + g(x, ξ).G(x, ξ) = ln|ξ1∗ − x| · |ξ3∗ − x| · |ξ5∗ − x| · |ξ7∗ − x||ξ1∗ − x| · |ξ3∗ − x| · |ξ5∗ − x| · |ξ7∗ − x|−ln|ξ−x|=ln.|ξ2∗ − x| · |ξ4∗ − x| · |ξ6∗ − x||ξ2∗ − x| · |ξ4∗ − x| · |ξ6∗ − x| · |ξ − x|-10-УМФ – семинар – Функция ГринаЗдесь легко заметить, что выбор q1 , . . . , q7 был удачен: в самом деле, тогда, как и требуетопределение функции Грина,G(x, ξ)= lnx∈S|ξ1∗ − x| · |ξ3∗ − x| · |ξ5∗ − x| · |ξ7∗ − x| = ln(1) = 0.|ξ2∗ − x| · |ξ4∗ − x| · |ξ6∗ − x| · |ξ − x| x∈SПриводить полученную функцию Грина к виду, где нет ξ1∗ , . . .

, ξ7∗ , не станем (это не оченьсложно, но очень громоздко).|ξ∗ −x|·|ξ∗ −x|·|ξ∗ −x|·|ξ7∗ −x|Ответ:.G(x, ξ) = ln ξ1∗ −x · ξ3∗ −x · ξ5∗ −x ·|ξ−x|| 2 || 4 || 6 |-11-.

Характеристики

Список файлов семинаров