Семинар 13 для Ф-5. Метод Фурье для уравнения Лапласа в круге. Внутренняя и внешняя задачи Неймана и III-го рода. Интеграл Пуассона (1127973), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

. ;(2.3)k = 1, 2, 3, . . .(2.4)01βk =πZ2πf (ϕ) sin(kϕ)dϕ,0c Д.С. Ткаченко-7-УМФ – семинар – К 5 – 10 (Ф 5 – 13)Подставим выражения для коэффициентов (поменяв в (2.3), (2.4) перменную ϕ на ψ) в формулу (6.1):1u(r, ϕ) =2πZ2πf (ψ)dψ+0Z2πZ2π∞ Xk1r +cos(kϕ) f (ψ) cos(kψ)dψ + sin(kϕ) f (ψ) sin(kψ)dψ  =π k=1 R00hi= cos a cos b + sin a sin b = cos(a − b) =Z2π1=2π0=Z2π∞h i1 X r kf (ψ)dψ +cos k(ψ − ϕ) f (ψ)dψ = I =π k=1 R0Z2π12π01=π#Z2π "X∞ r k1f (ψ)dψ +cos k(ψ − ϕ) f (ψ)dψ =πRk=10Z2π "01=2π#h i1r k eik(ψ−ϕ) + e−ik(ψ−ϕ)+f (ψ)dψ = II =2 k=1 R2∞ XZ2π "1+k∞ Xrei(ψ−ϕ)Rk=10"+k∞ Xre−i(ψ−ϕ)Rk=1#f (ψ)dψ =#q=qk =при |q| < 1 =1−qk=11=2πZ2π "1+0∞X11−1=2πrei(ψ−ϕ)RZ2π 1+#rei(ψ−ϕ)1re−i(ψ−ϕ)·+·f (ψ)dψ =−i(ψ−ϕ)RR1 − re Rre−i(ψ−ϕ)rei(ψ−ϕ)+f (ψ)dψ =R − rei(ψ−ϕ) R − re−i(ψ−ϕ)01=2πZ2πR2 − rR ei(ψ−ϕ) + e−i(ψ−ϕ) + r2 + rR ei(ψ−ϕ) + e−i(ψ−ϕ) − 2r2· f (ψ)dψ =R2 − rR (ei(ψ−ϕ) + e−i(ψ−ϕ) ) + r201=2πZ2π(R2 − 2rR cos(ψ − ϕ) + r2 ) + 2rR cos(ψ − ϕ) − 2r2· f (ψ)dψ =R2 − 2rR cos(ψ − ϕ) + r201=2πZ2πR2 − r 2· f (ψ)dψ.R2 − 2rR cos(ψ − ϕ) + r20Шаг 2.

Обоснование допустимости почленного интегрированияРядыkk∞ ∞ XXrei(ψ−ϕ)re−i(ψ−ϕ)иRRk=1k=1сходятся равномерно и абсолютно по переменной ψ ∈ R, поскольку:c Д.С. Ткаченко-8-УМФ – семинар – К 5 – 10 (Ф 5 – 13)1) при всех ψ ∈ R выполняется (равномерно) равенство: k ik(ψ−ϕ) kr e= r ; RkRk2) числовой ряд∞Pk=1r kRсходится при 0 6 r < R,и мы имеем право применить признак Вейерштрасса о равномерной и абсолютной сходимостифункционального ряда, мажорированного сходящимся числовым.Ряды, сходящиеся равномерно, можно интегрировать почленно, а ряды, сходящиеся абсолютно можно складывать почленно, поэтому и переход I, и переход II являются правомощными.7.

№ 719 в)Построить функцию u(r, ϕ), гармоническую в круге 0 6 r < R, и удовлетворяющую краевому условию:ur (R, ϕ) + hu(R, ϕ) = f (ϕ) = T + Q sin ϕ + U cos 3ϕ.8. № 720 б)Построить функцию u(r, ϕ), гармоническую вне круга радиуса R, и удовлетворяющую краевому условию:ur (R, ϕ) = f (ϕ) =c Д.С. Ткаченко-9-1+ ϕ sin 2ϕ.2.

Характеристики

Список файлов семинаров