Семинар 3. Задача Коши для волнового уравнения. Формула Даламбера (1127957), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Ткаченко-9-УМФ – семинар – К 5 – 3Переходя к исходным переменным, получаем:u(x, t) = (y + 2x) · ey + f1 (y) + f2 (y + 2x),(6.4)где f1,2 – произвольные дважды дифференцируемые функции.Шаг 4. Использование начальных условийПодставляя общее решение (6.4) уравнения в начальные условия, получаем: yu(0, y) = ϕ(y),ye + f1 (y) + f2 (y) = ϕ(y),⇒ux (0, y) = ψ(y),2ey + 2f20 (y) = ψ(y).Из последнего уравнения сразу находится f2 (s):Zs f2 (s) =0sZs111yyψ(y) − e dy + c =ψ(y)dy − e + c1 = Ψ(s) − es + 1 + c1 =22200| {z }Ψ(s)hi 1= c = c1 + 1 = Ψ(s) − es + c.2Подставляя найденную функцию f2 (s) = 21 Ψ(s) − es + c, в первое начальное условие, найдёмf1 (s):11f1 (s) = ϕ(s) − Ψ(s) + es − c − ses = ϕ(s) − Ψ(s) + (1 − s)es − c.22Осталось подставитьf1 (s) = ϕ(s) −1Ψ(s) + (1 − s)es − c2и1f2 (s) = Ψ(s) − es + c2в формулу общего решения (6.4).u(x, t) = (y + 2x) · ey + f1 (y) + f2 (y + 2x) =11= (y + 2x) · ey + ϕ(y) − Ψ(y) + (1 − y)ey − c + Ψ(y + 2x) − ey+2x + c =22 y+2xZZy1= (2x + 1) · ey − ey+2x + ϕ(y) + ψ(y)dy − ψ(y)dy  =2001= (2x + 1) · ey − ey+2x + ϕ(y) +2y+2xZψ(y)dy.yОтвет:yy+2xu(x, t) = (2x + 1) · e − e1+ ϕ(y) +2y+2xZψ(y)dy.yc Д.С.

Ткаченко-10-УМФ – семинар – К 5 – 3Задание на самостоятельную работу:1) № 349. Пользуясь формулой Даламбера, найти решение задачи Коши:x ∈ (−∞, +∞), t ∈ (0, +∞); utt − uxx = αxt,u(x, 0) = x,x ∈ (−∞, +∞);ut (x, 0) = sin x,x ∈ (−∞, +∞).Ответ:u(x, t) = x + sin x sin t +α 3xt .62) № 445. Доказать что в случае, когда f (x, t) ≡ 0а)из нечётности ϕ(−x) = −ϕ(x) и ψ(−x) = −ψ(x) функций ϕ и ψ следует, чтоu(0, t) = 0;б)из чётности ϕ(−x) = ϕ(x) и ψ(−x) = ψ(x) функций ϕ и ψ следует, что ux (0, t) =0.3) № 371.

Найти общее решение уравнения:2uxx − 5uxy + 3uyy = 0.Ответ:u(x, t) = f1 (3x + 2y) + f2 (x + y),ренцируемые функции.где f1,2 – произвольные дважды диффе-4) III. Нарисовать профиль бесконечной струны в моменты времени t = 0,если её колебания описываются задачей Коши:x ∈ (−∞, +∞), t ∈ (0, +∞); utt − a2 uxx = 0,u(x, 0) = ϕ(x),x ∈ (−∞, +∞);ut (x, 0) = ψ(x),x ∈ (−∞, +∞),1, 1 , 9 , 3, 5,4a 2a 4a a a(6.5)где функцияψ(x) ≡ 0,а функция ϕ(x) имеет вид, приведённый на рисунке.5) IV.

Нарисовать профиль бесконечной струны в моменты времени t = 0,если её колебания описываются задачей Коши:x ∈ (−∞, +∞), t ∈ (0, +∞); utt − a2 uxx = 0,u(x, 0) = ϕ(x),x ∈ (−∞, +∞);ut (x, 0) = ψ(x),x ∈ (−∞, +∞),1, 1 , 1, 2, 4,4a 2a a a a(6.6)где функцияϕ(x) ≡ 0,а функция ψ(x) имеет вид, приведённый на рисунке.6) № 446. Доказать что в случае, когда ϕ(x) ≡ ψ(x) ≡ 0а)из нечётности f (−x, t) = −f (x, t) функции f по x следует, что u(0, t) = 0;c Д.С. Ткаченко-11-УМФ – семинар – К 5 – 3б)из чётности f (−x, t) = f (x, t) функции f по x следует, что ux (0, t) = 0.7) № 372. Найти общее решение уравнения:2uxx + 6uxy + 4uyy + ux + uy = 0.u(x, t) = f1 (y − x) + f2 (2x − y)eОтвет:дифференцируемые функции.c Д.С. Ткаченко-12-x−y2,где f1,2 – произвольные дважды.

Характеристики

Список файлов семинаров