Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик - Уравнения математической физики (2010) (1127878), страница 52
Текст из файла (страница 52)
5. Не выполнено необходимое условие разрепшмости внутренней задачи Неймана. их' тс(6 — у) 2ях 2»ту яш — яй в>п — яЬ 7 и а а + а, а я6 2>6 вЬ— яЬ— а а сйп(3х)сЬ(Зу) вЬ(2х)соя(2у) я>п(2х)с!>(2(я — у)) 9. и— ЗяЬ(Зк) вЬ(2я) 2яЬ(2.т) .,: я(6-у) вш — '' вЬ 10. и = т, -.
'и»+ а, '; г>+ К где г, = а а тЬ яЬ— и, 2яу 2чх . Зих Зяу яш яЬ— гйп — вЬ вЂ” ' т»» = Ь 6 а, а 2»та ' '" Зт>Ь яЬ— я1>— 6 а 4»су 4я(а — х) 5-х, бяу яп> — 'яЬ сбп — я>п — ' 6 Ь: а 6 4тса 25я> Збив яЬ— Ь ат 62 11. и = — (с'>» — 1)гбп(2х)+ела>яш(4х). 4 12, т. я>пЗср: — (1 — т- соя 2зт):-(1 -я г- сов 2»т). 1 > 1 »2»2 13. гя>пч» + сопят: г(я>тг»т 4 соя»») + сопят; нет решений.
1 14. и, =: — совах т 1 15. и = — сов --~-сопки г 285 С!(Луо ЛУ) == С'(хшуо г!Ух у г) = (- )" (х .хо) + (!/ ( ") !6!2 + (г ( 1) го 2 ' "о"Г ' С(Л1о.ЛУ) —.= С'(хо,уо;,хду) =- 21. 1) 22. 1) ! — ( — 1) ' 1п -" -ог:о 24. Если отрицо!тельныс заряды распределены но сторо!и пом!рх О,если ЛХу Р; и!(ЛУ) = 2 оно. если М б.'т! 4тоно, если М е Р. нОси! з, ипеп!Ней но отнопн',ни!о к Р. Го 4яроа, если ! ( а; !'(! ) =- 4! 1!ой , если !') о; где а радиус сферы; ! - — расстояние от Пентра сферы до гочки на о, поде ни я.
2г, — (Заг — г )ро, если г < а: 3 4ха! — ро, если г > а, 3 31. о(г) =- 288 ч!лгг !л — а 6 16. и = 1о8„— + г г сов2р. ' ";,,(66 2 д (.Л вЂ” 6') г(г.-а) 17. и(гср) =- кш.р+ гляоп2р. 3 гз — аг 6г -- аг (! 1 аг (6 — го)ншр+ 6! (г' — е')соь;. 18.
и = + !пЛ~ )+ 4 4 —, и (6г — а ) ! 1 20. С(М!!,М) =- —, Мо = Мо(ха! !Ло д!) М=- М(х, у. г), 4'ойдо!! 4х Био!! 1 Л4!=М(г1о-у!,гп). н(Л4о) = — (' /' з р(х, г )г!х!гг 2т" (х — хо) +У,', т(г — го) )г -(- ' ' — ')-' решение зада !и Дирихлс для уравнения Лапласа в полупространствс. 1 г У! 'иг(хо Уо) =. / ',, 1о(!г)г1х решение задачи Дирикоос !ля (х — х.У+ уй уравнения Лапласа в полуплогскости. >де а ралиус шара: т расстояние от це>пра шарада гочки иабла>- Лени>т. (>та! 1 .
(хн 34. Х„= ~ — ~ . в„(т.) =- — в1>>~ — г, и ---. 1, 2, а, г а Г1ри пт и а г„, н т>„ортогон>ь>тьтты в смыс. н> ока,тарного произведения (г„„жт) = ~ е„, (г)г,(т)тат!т. Если с < О, то задача Дирихле ухая уравпевия Гельмгольнв имеет "(=-") ., единственноерешение: е(т')= .Если г — О.
то г(г1:-. '0 в!> (чг — са) =- ть =- со>тат. Если с га О и с ы Х„ир>т всех и, то единственным решен>а и ейп (>(с>г) является е(т) = " . Если с = Х„„и ее ~ О, то задача ае вш(з>га) имеет решений. Если с = Х,ь и ц, = О, то имеется бесконс"шо много вш (х5„„г) решений т>(т) =- сот>в! Ее(, чй(,(етс )~ 35.
Если г < О, то т>(т).= —" 1 — . Если с = О, то с в!>(>(г — са) г ( х тй> ) е(т) = — 1г- — а-). Если с — — при некотором натуральном тт>, и 2 (к>те) !'а ~ О, то решений нет. Если г = ~ — ~ и Р,> = О, то имеется бесконечвш ((гХ,ь г) ( тса 1> но много репп*ний: с(г) = сопв1 . Если с > О н с ч- ~ — ~ при и, Е ( а вш (>тест)! всех иатуряль>!ьтх тт, то ю(7') = — !— с ~ вш(ч(са) г 36. ( .и=-ь1 — ) 21 ! О ((т>„) + '1>>т) )т!хт(Р == х~ т т 1!озитУ т'< и- > и 'т т решение и(глр) мож- а 5 но иост(н>и гь, хтинихт>>виру>> интеграл Дирихле, нри р .
—. ! !ри 1 < р <— ивгш рал Дирихле ~ >бран>ветен в .(-ос. Глава 4 аш(Ф(х — а1)),х > а1; 3. и (х.1) = О. О < х < о1. Зт 0,0<а< —; 1' Зп — яп(йх),х > —. 1' 2и — аш(1са1),0 < 1 < —; ' (-)= 0,1 > —. Я вЂ” сок (о,1),0 < 1 <— 2 ' 3-. 2 ( 4 4а 4а За 0.1 >— 4о, и —,1 ,,с2 — сон х,0 < х < —; 2 4 '4о,) 2 ( 4)'4 4 3" О,.т >— 4 О,х>а1; '(О.х > а1: 5. а) б) -д(о1 — т),0 < х < о1; (д(а1 — т).0 < х < о», соа — (2п + 1) а1 ос=-г: — и —,Й ' .
'-о-о О )' й 2 —,-' „=.о (За+1) 288 О. а),р(0) = О, ы(0) = 0; б) р„(0) = О,'6 (0) =- О. Т. а1 — 1< Вон< а1+ 1. 1 > 0 (О < Вон < а1+ 1при1 < — ). 8. 71ш~ < а1-1- 1, 1 > О. За1 . Зх Зо1 . Зт 2, 7а1 . 7х 11. и(х,1) = соа — аш — + соа — яп — + — а1п — яп— 2 2 2 2 7 2 2 15. ии = о-и„„.
0 < х < 1, 1 > 0; и, (0.1) =- —, и„(1,1) = —, 1, > О. Й вЂ” коэффипиент упругости; 1с й и(х.0) =О, и(хО) =0,0< т< 1. Метан раздепенан переменных дает реп1ение и/( —,/ = 0 для всех /. 16. ии = сг( и,, + и,.„), ЛХ(х. /г) Е. В, / > 0: и(х, О, /) =- и(/о у. /) =- и(х. /я /) = и(0, у. С) = О. /, ~ 0; и(х. У. О/ — — О. сг,(х. У, 0) =- и„= сопвсх гг!(гг. У) Е В.
Ъ!етогг раздери пии персмсашых дает решение »(г.„,П= Г Рр, Яс„,ЯР:, / — Я) ' / — "Р): ~д) (и1) 4гц(! — ( — 1) )(1 — ( — 1) ) (п(2гг+1)) я(2и+1) 17. Х„=~, .„= а. Если; ~ гр при всех и=-/1 2/ ~ 2/ 1.2,...,то 2аг л ~ ( — 1) я/п()Х„,х)1 и(т./) =- ия!и( /),'х+— г(,г си ) а 2 г г, ( — 1)' яш( „/)мп ф„, х) Если =- рррр при некотором гг„, то 2а- г ( — 1) я/сгф»х) а'( — 1)' и(х,/) — — с яш(,/)~х — ~~, — „яш(//Х„„х)— >'" ~- г .
, / у,. * ~- г » ~м„р (гя ) и 18. Приведем решение задачи, Классическое решшше х и(хд) = г ир (хЛ): и!ги и = О. 1...., /с/ ;=0 ии (хд) = (А„соя( ~„/) + В„яш(са„/)1 соя ф, т). (ч ор где Х„=-~ — (2и+1)/; гр =а /Х„. А„= р„, Вр = — ", Перс пинк м и (х. /) ввиде ир (х 1) =- Д~ + В;, соя(хр/ — ср ) соя ф„х), В„ где 6, .=- агсгд — '. А„ !Ог хая ь ! й(!пони и!скос к(в!сбавив а„с !йстотой „нл((!( г чп((п икл (1) =-: — ~ ! " -ь а', " ' !(1х = — =- — (АО+ ВО)О!О х „' (('(унл (х.() (, ((уп„(:!Л1)) ( х ~ (ь!па (ыл( — (1„) сов! (л( ХО х)+ сов" (ОО,/ — (Л„) вшл (ч(л,, х)((1х == О =- — (А, + В;,')ы";,. 4 гд(! р = сопв( .. линейная плотно(ть ый('('ы струны.
Вне!пни(1 ги. !ы 1ш ( т()унл: н( .(вй!с1!Оуктг, !Я!что(и( (' (1) =- ( (О) = — / ' О!О (х) + а" (р, (х() 1(1(1, при всех 1 ) О. О Докйжсл(, что г' (1) = ~ И'. „(1), Ин первого начального у(линия нмс- еы (е, (,х) =- — ~, А„л((Х„ьш (л((л„:а). В силу ортогопйльпостн нй отрезке » О 0 < х < 1гио!(Оны функций ~чш( (Х„х)1 справедливо рив('Яство З.-О '1(д,(вфла.= 1(т(О((. (Ол,,*)У .(Ол,в; (Ол,::)л— '(л (( л ' 1 л = а~~ А;,'Х„~ вш( (лЕ, х)1х = — '~А! Из второго начального ус,ювия (О(х) — — ~ В„(„сов((л„х).
В си.,(у » вЂ”.О ортого»йл! !Яктн нй о!41е!кв 0 .. х < (сне!(ыы (1!у пиний ~сов(л((х„х) ( прйнсдливо равенство к (! л 1 'О !к!( =- (ли (( „д'к ф„ '.) ~~ О, -;. ' („ л, ')О' .= к Б~ '„~ (он'-' (л)л„х)(г == — ~ '!1, 1,. 290 ,Ц 19. а) с (с ) -= сса '; б) ~ (х ) .— — н„а с с 20. Е1с слпсстиует. 1 а + ас 1 (.с —. ас ) 22, и(х,~)==д~' ~+,р.,~" '~ —,р,(0).
23. Укаланис. Выполните сатиоиу искоиой функции 'Н— а(т,С) = ехр( ' )с(т,С). 2 ПРИЛОЖЕНИЯ (некоторые справочные сведения) Приложение 1. Формула среднего значения (интегральная теорема о среднем). Если функция »1х) непрерывна на отрезке а < х < 6, то на этом отг резке найдется точка ь~ такая. что ~ „Г(х)дх = ?'ф(6 — а). 1?следствие этого под средним значением непрерывной фуякции на отрезке а < х < < 6 можно понимать число — ) Х (х)г?х. Аналогичная формула сира Ь вЂ” и' недлина и в многомерном случае.
Приложение 2. Ротор, дивергенция, градиент. Формула Остроградского. 1? трехмерном пространстве введем декартову прямоутольную систему координат Охуа 11усть 1, ), 1с - ее единичные ( 1~ =!), '= ~Ы =- 1) орты. Будем считать Е ). 1с правой тпройкой векторов. Напомним понятие рогпорп, векторного поля. Для дифференцируемого векторного поля А1х, у, х) = )Р1х.
у, х), Ц(х, у, х), И,х, у, х)) можно ввести дифференциальную операпию гоеА. которая в орто- норльироеанном базисе 1, з, 1с имеет вид ,д .д д Если ввести оператор Гамиде»нона Тг =-1 —, 1 — х ?с —, то дх ду дх ротор поля А имеет смысл векторного произведения (гогА = эхА). которое символи пк ки можно записать в виде" определителя: 1 1 1с д д д пяА = дх ду д» Р О 11, Ориентация пространства Оную суггьг>ственна: гогА является псевдовегсгпором (илн. что то же самое, -- аномальным веэсгпором). Это значит.
>то при иэменении ориентации ггрострапства на противопо:н>жнук> (гьрагэоьь >ройки >, з, (с на левую) он ггреобразуется в противо- по.южный вг ктор. Н то же время гогА инвариантен относительно преобра >овапий .ьскартовых прямоугольных систем каор;пэпа, имен>- ньпх одну и ту же ориснтапию. Символ >7 можно рассматривать как д д д веигпор. потому что гто компоненты —, —, — преобразуются при г! ь> ду д- переход.
от ортонормиравашюго базиса !. д. (с к лругому ортонормированпому г>азпсу (,. дп (с,. по тем же >грань>>галь, по которым преобразуются кампонг нты обычных векторов. Поэтому если А = Р(», у. з)! + (,?(», у, з)) + В(», у, з)1с = Р,(»,, у„.",)(, + г,»(»ч Уп Яь)!ь + Ль(»ь. Уп вь)1сь, то для векторного пропзведегпьы двух векторов имеем в анной и той же точке пнварнаптность формы гогА. Формула Остроградского (Острогралского-.Гаусса) вырахгает равенство обьемного интеграла ог ливер»с>гиии векторного поля по ограниченной области полному потоку этого векторного полы через границу:этой области, ориентированную в направлении ее внешней нормали.
Налом>> им поныл не дивергенции векторного полы, >(тья дььфферснцирусмого векторного поля А(». у. з) = (Р(я у с) Гэ>(» у е) д(» у в)) можно ввести дифференциальную операппю г(!> А. которая в ортонорхюь>овюо>ом паз>к е ь, ь (г инги>т вь>Л дР дО дй г(>тА = — + — -ь- —. д» ду д: Диверьсьшгпо поля А можно рассматривать как символическое скалярное пропзвеление оператора Гамильтона ~> на вектор А: ь!г.А = = ( >м А).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
