Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик - Уравнения математической физики (2010) (1127878), страница 55
Текст из файла (страница 55)
что р н вес фуньпии;и йн гвизельны. Интегральный оператор [Л р)(!) .== ~ К(йт) р(т)г!т обы*шо напинают опера~о!хви бррсдго.шмн. сюли он действует в некотором функциона:и; ном ~ рост!>г»~л тес Х н вполне непрерывен в Х. Уравнение (1!.О) пазьь 302 Утверждение П.1. 1 сг Т =- (Вал Т») . К~к Т» = (Кап Т) -'. И» утверждгшгн 11.1 нгмсдлешю вытекает следуюшая теорема. ! Теорема П.4. Лля разрешимости уравнения Тр =- !необходимо и достаточно, ггобы его правая часть !была ортогональца ко всем решениям ~„„соц1таженного однородного уравнения учю„= О.
вают внтсшралып,|м уравнешзем второго рода. Предполагается, ло правая 'шс ть ! и пгкомая функция .р црппа |лежат о,пи|му и чому. же функциопа:|ьному простраш тву Х, сд! о требует опрс,зеленных прс:дпо. |ожений о ядрс 1з1 |. т) пнтстра;п,ного оператора у!. Значения параметра й. при которых однорош|ое ззсзтсзгрмьное ура|знение (П.бз) имеет в Х и| ну:в вьн рспп ния. называют сварамтеристпическими числами оператора А.
а свми сан рсчнення его собственнымн функциями. Харвктс рпс | и и скис числа и с обе твенные значения ош ратора А в заимно обратны. в их с обствешп,|е функции совпадюот. Теор| мы Фрсдгольма — это сформулированньн ниже утверждения, к|люрые справедливы при некоторых пре,.|положениях о ядре К! й т) и при апреле:и пном выборе функционального прс|с | рапства Х, содержапз!.'зсз,1и исказив функции р, |,„.
1. 11с'сзузпсз!с|||и!с|с' уравнение )П.5) разрешимо при тех и только тех правых частях /. которые ортогонв |ьпы каждол|у решепшо со|озного (сопряжспнсззо) одноролного уравнения )1!.о). / ~)!) |в(!)сй = О ! ~ зс!!) !!!в (!)з1с =- О и случае комплекснозначны:с функций). 11. Альтернатива Фредгольма. Либо и| однородное уравнение ! П.5) прп |побой правой исти !имеет одно и только о;шо решение, либо от|цс|ро;ппх уравнение !П.б) имеет пспу|и'|зов р|"пц"ние.
П1. Прп фиксированном значении параметра р о:|породные уравнения (П.бз) и )П.й) имекп- одно и зо же, и притом коне п|ое |пело линейно независимых рези| ннй. 1тУ. й!ножестззсз характерис ! згзесзких |исел оп| раторв А не более чем с'|етно и момсет иметь едшнтвенную през|сльцук| точк| лишь на бесконечности. 1ш|то пот! альт|'1нштивой Фрслгос|ьма попяман|т вы!с'квзсзпссзс! и'3 теорс*м Фредгольма утверждшше: либо уршпп вне )П.5) и союзное (сопряженное) с ним уравнение )П.7) име|зт единственные решения како|зы оы ни бы||и:задвиньи функции у", у..ззсбзсз с||огас"гс-| пук|- шве одпородньп уравнения )П.б) и !П.8) цмскн пенулс ньп рс.шенпя, причем число лпнс йно независимых решений конечно и одинаково для обоих уравш ний.
Аль г| рва гива Фрсдгольма о.зпв пк'г, что если р |и" явив'и я харак! ерис"| и цтким чис:на| оператора А. то оба уравнения !П.йз) и !П.7) о;шо.зна пю разрешимы прв, паймл врпоьа чвсшл:г. а ес.|и р харвктерпсги некое шсло. то оба о !породных уравнения )П.б) и )П.8) им|*|от одпволонсп| лсззсс'чзссзсз *пи:|о:|ннейно не завш нмых репи пнй. 303 1 Пример П.б. Ядро К(й т) непрерывно, а ~.
д и искомые функции принадлежат пространству С~а, 6). Тогда справедливы теоремы Фре дгольма. И Пример П.б. Ядро К(й т) удовлетворяет условию з з ~ К-(бт)ИЫт < -ьос. а ); д и искомые фупкциц принадлежат про- Ю О странству Ь,(а, 6~. Тогда справедливы тсо|земы Фредгольма. ° В качестве области интегрирования в уравнениях (П.б) з--(П.о) вместо отрезка (а, 6) можно рассматривать некоторое ограниченное или неограниченное измеримое множество в пространстве любоз о конечнозо числа измерений. К инты ральным уравнениям второго рода сводзпся разнообразные теоретические и практические задачи; краевые задачи Штурма Лиувилля о собственных значениях дифференциальных операторов, задачи Дирззхле и Нсйхзазза для уравнения Лапласа и др. В наиГюлее простых случаях оказываются справедливыми теоремы Фредгольма. Приложение 11.
Формула (правило) Лейбница дифференцирования по параметру р интеграла, зависящего от этого параметра. Правило Лезйбпззца можно сформулировать в еле,зукнцей теор< ме. д((с. р) Теорема П.б. Пусть функция Я. р) и ее производная недр прсрывны в прямоттольнике (С, < С < <,,) х (р, < р < рз). Персть функпии о(р) и д(р) определены на отрезке р, < р < рн удовлетворяют на нем неравенству ~, < п(р) < 3(р) < Сз и дифференцируемы на этом отрезке.
Тогда функция Г(р) = ~ ) (С.р)зк, дифференцируема на отоп резке р~ = р < рв а се производная Н (р) ' 'дг'(<,р) — 1с-"1'(р)~(д(р):р)- '(р)з'( (р) р) Гф, др СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ Основная 1. Тииаиав А. !!. Уравнения математической физики А. Н. Тихонов. А. Л.Самаре кпй. 'Л!.: Наука. Изд-во Х!оск.
ун-та. 2004. 798 с. 2. Будах Ь'. А!. Сборник задач по математической физике, Б. М. Будак, Л.Л.Самарский. А.Н.Тихонов. - М.: Наука. 1972. 68? с. 3. !Хавин В.А. Основы математического анализа: в 2 ч. Ч, 2 В.А. Илыш, он Г.1!озняк. - М.. Наука. 1973.
- 447 с. Дополнительная 4. Арсении В. Я. Методы математической физики и специальные функции. 3!.: Наука, 1974. 431 с. 5. Ьицади. е1. В. Некоторые классы уравнений н *шсгных производных. 5!л Наука. 1981. — 448 с. 6. Бицадзе А. В Сборник задач по уравнениям математической физики А. 15. Бицадзе, Л.
Ф. Калиниченко. 31.: Наука. 1977.. 224 с. 7. Ьицидне А. В. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1976. - 296 с. 8. В,идиеиирав В. С. Уравнения математической физики. — й!.; Наука, 1971. 512 с. 9. ! ад?лизе С Кб Уравнегшзз математи зеской физики. — У!.: Наука, 1979.. 392 с. 10. е?анисов А. Л!.
Введение н теорию обратных задач. Ме Изд-во 5!оск. ун-га. 1!594. - 208 с. 11. Заа аров Е. В. Уравнения ма гемати юской физики Б. В. Захаров. И. !5.,дмитриева, С. И. Орлик. й!.:?1зд, отдел фак-та ВМиК МГУ им, М. В.,' !омоноеова . 2005. — 160 с. 12.
Коезпо,иез!нзвз?.П. Методы математи никой физики Д,Г?.К~х:тамиров, 15. Г. Сушка. - М.: Изд. отдел фак-та ВМиК МГУ им. Х1. В. !омоносова, !989. 28 с, 1;5. Л!шеайлззв В. П!.,Лззффсрензпиальные уравнения в ~астпых прои;июдных. — М.: Наука, 1976. — 391 с. 14. Олейник 0..4. ?акции об уравнениях с частными производными. У!.
. '1?зд-во БИНОМ.. 1аборатория знаг!ий, 2005. 260 с, 15. Свеиипзкав А.!., ?екзгин по математической физике Л. ? . Свешников. А. Н. Боголзезбов, В. 15. Кравпов В. В. -- М.: Наука. Изд-во Моск. ун-та. 2001. 416 з . 305 16. Сл~ ирноо В. И, Курс высшей математики: в 5 т. -. Т. 4, ч. 2. - М. Наука, 1981. 550 и. 17.
Соболев С. Л. Уравнения математической физики. -- 51.: Наука 1966. -- 443 с. 18. Трикоми Ф, Лекции но уравнениям в частных производных.. М,: Изд-во иностр. вит-ры, 1957. - 443 с. ОГЛАВЛЕНИЕ Прсднсловп<* . !.1. Уравнения е!атеыа!г! !есной физики и описываемые ими про!!! ! сы . .» 1.1.1. Реи простра пение теплоты в ! тержпе. Уравнение теплопроводности с одной пространствеш!ой .о переменной. 1.1.2. Уравнеии!! тш!.!опроводно! тп с тр!.мя 10 12 пространстве!шыми псрсмепнымн ..........,.............
! .1.3. Уравцоппе диффузии ............................................ 1.1.4. Стационарное уравнение тегиюпроводпос!и! уравнения.1!апласа и Пуассона...............,............. 14 1.1.5. Уравнения стационарного растюкения и продолып,!х колебаний упругого стержня..... 17 1.1.6.
Уравнения поперечных ко!!ебаннй струны и мембраны. Звуковые волны в пространстве ...... 20 !. !.7. Уравнение не1!и!рыиносзи. Уравпсши 23 20 32 36 !Нггш!1[ив!и но! о те'шпия !янди!к"ги......,.......... 1.1.8. С'истема уравнений Максвелла ....................... 1,1тб Уравцени!. 1 ельмгольца .................................
1. 1.! О. Уравнение Кортевега — де Фриза................... !лй Классификация урнвнений в ци гпых производных второго порядка. Приведение их к канонической 4и!1 !.2.1. !ифгрсрецциап ные уравнения с шстцымн .... 36 производными второго порядка .............. 1,'2.2. Классификация уравнений, линейных относительно старших прон !водных, с двумя нс ав!к.иными п! реме!пп,!ми ..... 307 Глава!. Основные уравнения математической физики............ 3 1.2.3. Классификация уравнений. линейных относительно сгарших производных, с л независимыми переменш аш ................ 1.2.4. Классификация уравнений общего вида на фикспрова|шох( решении .......................
1.2.5. Характеристики, Классификапия уравнений с двумя незавигимь(гп! переменными с помощью уравнения характеристик.. 1.2.6. 'Гипы ос(шиш(х (равны(»й ...................„...... 1.3. Задача Коши. Роль характеристик в постановке задачи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
