Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик - Уравнения математической физики (2010) (1127878), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Найдите функцшо и(,г, у), удовлетворяюшую следующей зада'те: (ях ятт) (ях яу) Ли(:г,д) =- гов~ — — — ') — сов~ — + — '),:х~ < а, ,'у) < 6; кд, 2ку и( — а,д) = сов — '. и(а.,д) = вш 26 ' 6 кх Зях и(х,— 6) =- — вш —. и(:г,6) = — гок —. а, 2а 9. Решите .!влачу Дирихле для уравнения .1апласа вне круга О < г < 1 с краевым условием и(г= 1. ) = вп!*(2Д (т, р полярные координаты).
10. Найдите функпию и(г, -) (гырч полярште координаты), уд(л5ле ! ворякпп)к! с!иду!Оп!ей! зада'ж; г. тлтт(т! .р) ==- О, 0 < т < 3, 0 < р < —: 6 и(т,О) =О. и т,— ~=00< т -3; 6) я и(3 ч!) =. в)п(18-) 0< " 6 278 11. Найдите функшпо тт!г, р) !)з р полярные координаты), удовлетворяюзпую слс дую) пей задаче: Лтт? тз ") =- О. 0 < г ( а.
0 < .р < 2тс; сдт)1агр) )1,О <.р < з, сЭт ~ — 1,",т <;р < 2п. 12. Б пщ)е ха, ут + гт - а" распределена масса с обьемной плотностью р?х, у, х) = 1х — ут + т") готта!. Какому уравнению удовлетворяет объемный потенциал внутри шара; вне шара". Пайдитс. этот обьсзмтзый потс;нциал.
13. Решите задачу Коши для однородного вс)зшовон) уравнения в области — оо < х <' +ос, ? > О с на сальными условиями и и ттс) сов х. — — < х < —, ии — — сопя!, 2 2 и1х,О) = О, и, 1х,О) = о, И> — '. 2 Скорость распространения волн вдоль оси ь)х равна а. Найди'зс зависимость 'и 07' врс'мс'ни ? При каж,юм фтзксироззаезеп)ы .'1.' = = ~0. Можно ли считать решение т)1хз 1) этой задачи клас сичсск и аз? 14. Конец х =- 0 однородной гтруны 0 < .г < +ж жестко:закреплен.
Начальное отклонение р? х) = О, начальная попере шая сх скорость х)1х) =- ', с: = сопя!. Рс шите задачу о свободных 1+ хпоперсчных ко.к баниях струны. Постройте график движения точки х — — !. 15. По струпе —.х < х ° 0 распрострапяс'гся волна с?!х — ст!). )де д1р) заданная функция: д1?)) ==- 0 при р > О.
Передний фронт волны находится в точке х = О в момент времени 1 = О. Конец струны х = О упр)д о закреплен, внешние с нлы на него ззе дс'зйс:тззук)т. Найдите отраженную с)т конца во.шу. 16. Разделяя переменньи. постройте задачу 1Птурма .1иу тззт;тл)з, от вс ~ттзк)зтсузо с!аз)стой на ттз.,зс сзо-крт)сзззой зада*к . тзи = ст~тт„. 0 < х < зт. Э > 0: тз,(0, Е) =- О, и1п. ?) = О, ? > 0; Зи 7х х и, т 'х. 0) = сов — -Э сов —, О < х < х: и, 1х, О) = а з ов —, О .
х ( х. 2 '" ') 279 Проверьте ортогональность системы собственных функций и найдите евклидову норму каждой из ник. Найдите решение и(х. 1) в виде ряда Фурье по собственным функциям. 17. ин = а'и,„., 0 < х < 1, 1 > О. н (О, 1) — 1ш(0., 1) = О. 6 = сопаг > О, 1 > О; в(1, 1) .= О, 1 > О; н(х, О) =,р(х), иЯ.г„О) = о(х). 0 < х < 1.
Найдите и(х, 1) методом разделения переменных. 18. Края однородной прямоугольной мембраны ь = (О < х < 1п 0 < у < 1,) жестко закреплены. В момент времени 1 = 0 мембрана игиеет поперечный изгиб и(х. д. О) =- паху(1~ х)(1~ у): "о =- == соцвГ, а ее поперечная скорость при 1 = 0 всюду в В равна нулю. Решите задачу о свободных поперечных колебаниях мембраны. 19.
Лайте физическук~ интерпретацию следующей зада ~и: и„= аа„., +~„к1п( 1),Д=соивг. О < х< 1.1> О. и(0, 1) = О, и(1, 1) = О, 1 > О, и(х, 0) =- О, п,(х, 0) = О, 0 < т < 1. С штая постоянную ~ параметром задачи, найдитс и(х, 1). Рассмотрите случаи наличия и отсутствия резонанса. 20. Решите задачу Дирихле для уравнения Гельмгольца: Лг(х, у) +сг(х, у) = О., О < х < 1,. О < у < 1,. п(О,У) = — ~~ (11- — й,у) п(1,, У) = О, 0 < У < 1„ 12 п(х.
0) = О, в(х, 1,) = О, 0 < х < 1,; гв .— —. сопв1,:-. О. Рассмотрите случаи всех возможных значений действительного коэффициента с. ОТВЕТЫ Глава 1 2. Г(яд) = Г(г — с1).= Ае д* '"+В, где А и В произвольные постоянные. 2И", Дж ' 5. г (гд) =- — ~ з ~ =сопап ,с см' ~ 6. Стапиопарная температура удовлетворяет уравненикг и, =- = а Л, та — гг иднггггг =- О, т. е. гЬ, 2гг — — и„агп „-. = — —. Отсгода Р'(г,,р, О .= Й .= — 1вняпггг во все моменты времени Й 9. В переменных Эйлера.
(д(О, 12. В области уравнение гиперболического гзпга. имеет два сс ~,>О г "г мействадейсгвителыгых характорисгик: ( — г)г '+ д' = сгяий и ( — х)г -— ~ » = ( — ")'у -> ю". — нг = совам Заъгеной переменных уравнение при11= (-г)'й — р"г 2 водится к первой канонической форме и,, = „(гуггг — »и„). а З(сг г г) (»=(- )' заменой переменных ' оно приводится ко второй канониче~1~= УФ-' я 1(их и,. ской форме: ггг. — н;,г — — —— О~;, )г)О, В области уравнение гиперболического типа, имеет два 1д<О .
семгЙсгва действигегвггвгх ха1гакге1гисгик: я —' ,( — Й)' =- свинг и .22 32 ~» = тгг + (-у) ~~, аи - — ( — Й)г - = <Оггаб Захп:ной переменных уравгн;— !1= ггг-(-Й)' гбг ние приводится к той же первой канонической форме, а заменой (» —,, уг переменпых оно приводится к той же второй канониче- 1-,=(-,)"г гкОЙ фОггхге. 281 (х>0, В области уравнение эллинги вского типа, действительных (,>О (~ = хч2, характеристик не имеет. Заменой переменных уравнение приг дуг !(иэ и,) води гся к канонической форме: иг- + и;,ц ---- — — ~ — + = . З~ г~ (к<0. В области уравнение эллиптического типа.
Заменой пере- (,<О (,=(- )", пенных, оно привгпГится к той же канонической форме. * ~О=(-Р)~ (:г < О. 13. В области уравнение гиперболи некого типа. имеет (,>О два сеьн йства дейнтвнтельных характеристик: чс — л+ (у = соггвГ н (~= '-х+,$, 4 — х — (у = сопим Заменой переменных ' ' уравнение нрп- ~О =,/: —,Я 1 водится к первой канонической форме; игл -— -,, (Сич — пи,), а за(, =,Г:х меной переменных оно приводится ко второй канонической ~ =,/р Я~ 7Х, форме: ие, — и,, —. = й )х>0, В области уравнение гиперболического типа, имеет [0<0 два семейства действительных характеристик: ч.г +,(-у = солне и ~,'= Л+,Я, Й вЂ” ч~ — у =- сопвн Заменой переменных уравнение при- (Π— -4: -4и ' водится к той же первой канонической форме, а заменой персхннных ! ~ =,(х. оно приво,пмтя к той же второи канонической форме.
О = э(-а (:г > О, В области уравнение зллигпичегкого типа, действительных (,>О Е-Л характеристик ие имопг, Заменой псременвых уравнение принг и, водится к канонической форме'. иг, + нг =- =+ — '. аз )л<0, В области уравнение з.!. Ипгпгик кого типа заменой пере)н н[у<0 1(,='-, шях приводится к той же канонической форме. ' !-=-л 20. Урявпеии! с постоянными козффициептвми всюду ня плоско!тп Оху параболического ч ипя,.
имеет одно семейство действительных ха!'г рактеристик: х — у =- со)ш!. Заменой п!.ременных уравнение )) = .1' + У ! приводится к кш!опической форме и„, + — и„+ — и = О, яв:шющсйся обыкновенным дпф!)жреипиальпыл! уравнением. 21. Уравнение с постоянпымп козффнпиентами вск)ду !и плоскости Олу параболического типа, имеет очно семейство действительных ха- ) С вЂ” !..!.,у рактеристнк: .г, у = сопя). Заменой переменных ~ уравнони! !)=- л — у ! приводится к каноничгСКОй фОрМС: иц ' и, т 2и, + — и, =- О.
Заменой ! искомой функции и =- е ' )г полу !асм и, -) 2 и„.— — О. 22. Козффицненгы при ст)цппих ирои )водных в уравнеш!и постоянн!1, позтому в ка)кдОй тОчк!'. (.г, у. а) ОнО имеет Один п тОг ж!' '!ин. Уравнению отвечает квядратн шая форма ~~ =- у; + 2!!)д) — 2)))у) + 2у)1 + бу,",'. котову !О 1!Ожпо привести к каноническому ви;!у, ншб)им))р. посл!)довасильпым вьцелснием полных квя,)ритон: О== (у, + у) — уз) - (д + й)) + (2))!))1.
В перемеш!ых р,, =. д) т. у) — дл р) =- у) Ч- д), р, = 2д) квадратичная фОрма (,) — р!" + ))1 + р!! Им!я'1 в!'е ио)к)житес!ы!Ые кОзффици!нты, позтому дифференции и ное урави! пие зллицти некого типа. у" 26. и(л,у)-= — ' т) 27. Дейсгвите)!ьнь!х характеристик система не имеет. 28. !)',ч т ' !)'== О. (С)! — О(,) )ОСЕ Глава 2 ))У 4. С.и ва о) .5*.и л. справа вода. Если — ) О. то идет проце!т зя- 1! 5' 1)2 твердевания во;(ы, если — < О, то н)ки(1 с! плавления льда. ))( э -' и =. иее ~ сов —; 11ш и(х,1) =О. 2 3«ие И' (ж1) =- — йи, (я, 1) = — — ее 2 где «: - коэффициент тецлопроводности вш — (2л -«1) х 4и„)21 12.
и(х,1) — ие — — ) е 2п -«1 11нэ и(хл1) =- иэ. х (я ц1 1 «1дl -' '(1 ! -~ — циэ-~гэ~г , гоэ — (2т+1)х:~ (2 1 кэ«: „„;, (2ш+1) 11 1 И(1 и~ —.1 «и О, 11эв и(х,1) = — — — х). «:Ь ( — 1) сов (2и+ 1)х 2п+1 1шэ и(х,1) =- ио„,„,. 18. На ~альная температура и плотность распределения источников теплоты не зависят от х. Поэтому и(х, 1) = Ц1), поскольку г течением времени теплота не будет пе«н даваться от одного участка стержня к друтому и нс будет теряться через концы стержня. и(х, 1) == 1:(1) = Д1 11цэ и(х,1) = -«:к.
и Г „ ~ и ги уе и„ 22. и =- — о(еэЦ вЂ” '') — его ' Н, 1шэ и(х1,1) = — '. 23. и = иэ ~1 — еэ~~ — ~, 1цв и(х,1) =- ии. Плотность потока тенло- ~ .л)," «жи ты через конец стержня равна . а = и;гк1 э« ср 24. и =- не ~~1 — е мег(~ — ' ' (2аь«1)) 27. и (х,1) = ив гов хе '" '. 1пп и (х.
1) = О. Глава 3 1. и, тл и> — гармонические функции: и> и и, не являя>тся гарм>>ническими. 2. ио и,. ии и> -. гармонические фупкпии: и,„ис, ип ия ве явлтотся гармоническими. 1 3. и = — является потенциалом электростатического поля в вякууг ме, создаваемого единичным точечным зарядом» помещенным в начало координат. 1 4. и = 2е1п —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
