Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик - Уравнения математической физики (2010) (1127878), страница 49
Текст из файла (страница 49)
которая удовлетворяет (4.88) и (4.102), 'Георема 4.13. Зссс)ссчо, Гдрса корреклвсса. т.е, ее решение в 11с, существует, оно единственно и устой шво по отпошешпо к воз- мущениям ь р,, р, Доксхлслпссосс силос. Идея доказатсзьпплн ~остоит в сведении за ~ахи (4.88), (4.102) к системе трех интегральных уравнений. Положим о(сд д) = и,(:о, д). ло(х. д) = и„(,г, д). !'огда для решения задачи (4.88)., (-1.102) снравсд.ливьс уравнения п,(.о,д) = — р,(х)+ ~ и(х.О)с!О, О Ч о(х,д) = —,р',(х)+ ~ ()' — ао — Ьсо — ссс)[, с40, о со~(:лл д) = .р', (д) + ~ (/' -- сто — Ьо: — си)$, с10 о !). Обратно, если функпии и,, о, со пепрерь (-1.108) (П1эснле1эьте лещы в Пс| и удое летнорщот системс урлсвнсислй (1.103), го функция и с=.
С' (По) и является рсшсшн;м за,сачи (4.88). (4.102) (существование пе- Задача 4.6. Пусть кривая О без характеристических точек 'ладана у1лавнснисм д = ~с(х). 1с (х) ) О, и лсс1эс!сскаст гралплцу сс1)ямоУгольника По в то сках сс и сУ. ПостРойте дли задачи Коши формулу Римана для этого случая (точка М может лежать как выпи кривой -ь так и ниже). ° прерывной ~л,„следует из (4.103) автоматически). Тт>м самым система (4.103) эквивалентна задаче 1"урса,. Решенис системы (4.103) можно построить методом последоаагаельных приблиэтсеннй (хцп одом итераций) „(х,у) = 3 и>„, (х..о)йо, в т |>„(:г, у) = — ~ (пи„, + 1н»„.> + си„, )~ „, 40, в „, (х, у) =- -~(: „, ч- Ь „,, +: „, )'„дО с на*|альным приближением и»(з д) — з >(г) | юв (х, у) = —,р,' (х) + ( |" (х.
О) сЮ, О т»» (:г у) = рт (у) + ) 1(0 у)д" 0 Нетрудно установить следу|о|вне факты. В прямоугольнике Нв итерационный процесс (и„, и„,, и>,,) равномерно сходится к непрерывным функциям (ит г. |и). Решение линг йной системы уравнений (4. 103) единств|пи|о и пспрсрывно за|и|сит от входных данных ь >,.>, >рт ° Замечание 4.21. Про>ззводньи ршпепия и,. и„. и„, также устойчивы по отноше|ппо к |зозмущеник> функции 1 (в смысле )Яс(й> )) и к возмущениям функций р,, р, (в смысле (Нс„„, и И!с „.„„,, ) ° Задача 4.7.
Яок>зжи ге. '|то рспп ни|:задачи Гуров для уравнения (4.88) с,тинными и(х. 0) = О. 0 < х < 1;>. и(0, д) =-О., 0 < д < < дп, в точке ЛХ(1„0) Е Па имеет вид > и(г„т1) =.=- ) ~ Й(>г.у:~г>1)('(х.у)дх>1у. в в У>ггхз»т>г. Исполь.зуйте формулу (4.06). ° 267 Залчечание 4.22. Задача Гуров является математической моделью некоторых реальных процессов. Она встречается при изучении динахшки сорбции газов, при описании процессов сушки.
° 4.8.5. Функция Римана Корректность задачи Гурса позволяет обосновать существование функции Римана: как было показано, функция Римана должна удовлетворять задаче такого типа со специальными данными на характеристиках, Определение 4.3. Пусть точки (т, у) и (Е,, О) пробегают прямоугольник П„. Функцией Римана уравнения Ь,,и = к „+ аи„+ +6н, + си = Х в П„называется функция Л(я, у: Х,, й), удовлетворяющая следующим условиям: 1) сама функция Л и ее производные Л„, й„, Л,.„непрерывны по совокупности переменных (я, у: Х,, й) в Пв х П„; 2) для каждой фиксированной точки (с,.
О) функция И удовлетворяет задаче Гуров для однородного сопряженного уравнения Х*„„Л = й„.„— (ай). — (6Л) + сХ1 = 0 в Пв, (4.104) г Ю Л(я, Ч;0,.11) =- ехр ~ 6(О,т1)~19. Л(с,,у;Хьй) =- ехр ~ а(с„0)гХО. (4.105) Залсечание 4.23. Х** = Е. Поэтому функция Римана й*(я. у; Х„~1) сопри:~гениево уравнения Х",. „н == 脄— (ак) — (6н) + св = Х в П„(см.(4.95)) —.
это функция. непрерывная в Пд х П„по совокушюсти переменных [л. у: Х, 11) вместе с производными Л,, Л,",, й,",, и удовлетворяющая задаче Гурса Х,, „й" = Л.„;„-. 'аХХ,*+ +6Л,*, +ей" =0 вПе, Е' Л*(я,АХ„, О) == ехр — ~Ь(0,11)40, з Л* (с,.у;~д1) = ехр — ~ а(Е,.О)дО . ° Теорема 4.14. Пусть функции а, Ь. с, л, Ь,непрерывны в?1,!. Тогда функция Римана существует. она единственна и у;!овлстворяет равенству ХХ(х, у; Е,, О) = ХХ*(с,, «1: х, р), (4406) Доканапи льстиво. Идея дока!аге;и сгва состоит в следу!ошем.
Пусть в прямоугольнике П„фиксирована внутренняя точка ЛХ(?„!1). Характеристики уравнения (4.104) « = ь~ и д = «1 разбивают Па на четыре прямоугольника П,, ! = 1. 2, 3, 4, с общей вершиной ЛХ (если точку ЛХ выбрать па границе прямоугольника П„, то получим только два таких прямоугольника или только один из них). В каждом построенном прямоу!.ольнике решим зада!у Гурса, (4.104), (4.105) с данными на лежащих в П„отрезках характеристик, которые выходят из точки М. сйти решения существуют и они единственны. Затем проверим.
что во всем прямоугольнике Пд, построенная функция Л(х. у: с,. О) полностью удовлетворяет определению функции Риъ!ана. При этом существенна устойчивость решений четырех задач Гурса вместе с их производныыи первого порядка и со съ!ешанной производной. Равенство (4.106) следует из формулы Грина (4.96). примененной к функциям н = Й*(х, у; с,*, !1*) и и = ХХ(х, у: с„«1) в прямоугольнике со сторонами. параллельныкш осям, и с вершинами (с,*, з1*) и (с„з1) на !иго диагоналиль Существование функции Римана позволяет обосновать формулу (4.101) и доказать корректность задачи Копн! (4.88).
(4.90). Теорема 4.15. Пусть кривая -,;!адана уравнени!'и у = ?!(х]. ?! е С«[0, «;!(, !!'(х) < О. Пусть а, Ь, с. а„„Ь„принадлежат С(П„), Х б С ф!). Ф!! (хй! (х)) Е С« ~0, х„1, Ф, (««р (х)) Е С' (О. х„). Т о ! да формула (4.101) определяет решение задачи (4.88). (4.90). Это репгенис с '«явственно и ус !Ой чино по отношени!о к возмупьенияз! функций Х Фв, Фг 4.8.6. Смысл формулы Римана! множество зависимости решения задачи Коши от начальных данных Формула (4.101) показывает, что решени! задачи Коши (4.88), (4.90) в точке М полностью определяется зш!чеппями функции 269 4.8.7.
Нелинейные задачи Коши и Гурса В общек! случае уривнгние гиперболического гила в первой канонической форме нелинейно. Для такого уравнения также можно поставить задачу Гурса: и,, =- С (х. д. и, и, . и„) в Пв ! и(х, 0) = Фг (х),0 < х < х„: и (!Э, у) = „., (г!), !Э < д < д„:, „-, (О) = Ф! (О), (4.107) Она эквивалентна системе уравнений и(х, У):=-. Рг (х) + >! (д) — Ф, (0) + ! + ~ гУО, ~ С (О,,Огп и(0,,0>). и(Оо О;), ги(0,,!Э>))г!Огп в Р (4.100) и(х, у) = р, '(х)+ ~ С(ггО.
гг (хи О), ! (гг.О), ггг(х,О))г40. в ги(ау) . г>> (у)+ ~ С(0 ди(0 д),и(Уд).и (!Э у))г!О. в У! ' г.гачу Коши .Лхгя гк.пшгнгшпо >ни!инин можно посгавигь 3; и „, =- С (:г, у. и, и,, и „) в Тг, ди~ и ~ =- Ф„. — ~ == Ф,. ди. (4. !00) Пу!'Ть к!!Рпгая "; в (4. !О!ЭЭ задана Л>авнснием д .—: Эг(:г), а фуикнпя Эх имеет во!о,гм к!линн!го гй>оизво,гпую !!'(х) < О. Выпо.!ням в (4,10!Э):гамену искомой функпии: и(х, у) = ЕУ( с,д) + Фв (г,р (!))+ +(д — р(!))и., (хЭг(х)). То!',ш Йгь гг(г)) = О. !'„(и 0(г)! =- О, и и ! ршенгтва с!> (г р(х)) д 1,'„(хйг(гг))Эг (х) =- О полу шем П(г р(г)) =.— О.
'1'!.*м сам~м .га;га гн (4.10!Э) приводится к вплу 070 „г в криволинейном треугольнике Т и начальными данными Фгг Ф, на дуге кривой гв,-. Еггп! изменить !вне Т, а Феи,!или Ф, вне ", иг. то решение может измениться липп впе Т. Поэтому к решению. фиксированному в Т, можно присоединить вдоль харггктеристик ВМ и СЛХ Э>гг,г>ггглгггыс регисшгл, являклпиеся е! о прололжспием (с соблюдением свойств гладкости). ! Е,'е ==. Р(т, ЕОЕ?.Е?,,1$$) в Т,,'; Е?| =О,Е?,! =-О. ЕЕ,,! =О, Е4.110) Е?(я.,11) = Д 1'(О! ОЕ.ЕУ ЕО[,ОВ),15(0$„01) 11$(О[,111))ЕЕО[$10„[ г[к$! $ 1$$[[г.р) =- ~ 1'Еет,О Е?([г,О),В1К,О)5В1(В.,О))40: Е4.111) Н$(я, У) = ф Г(О, уй 11(О, р), 1$(0, й). 1$:(О, й))$1О $ Ом где к1$иволипшшый т)и!е гольпик Т! а у) им[Ест ИВЕ[шипу ЛТЕец 1[) и ограничен параллельпыми осям прямыми, проходя[цими через Л1, и дугой кривой "1.
Для обоснования корректпости:зада 1 Е4.107) и Е4.109) можно пытаться решить методом последоватсльиых приближений системы уравиепий [4.108) и 14.111). Однако для:!того требуются специальиьп5 !01е[ЕИ[оло1кеиия О функции СЕ. Задачи дпя самостоятельного решения 1. Решите задачу !йоши для однородного волпового уравиеипя в 1-- —, !г) . Е; И !. облети —:х. ' х < +ос с иачальными уеловиями ВЕК О) = Е ВЛК.
О) =-. О. О. Ц>1, И!К трой!с графики.5ависимос!и вот хдля фиксирова[шых значений — 1 =- О, 1. 2, ей 4, ОЕ. 4$$ Укв 5ВЕИЕК О пн'[НЕ!а п[)едста15ьтс $1[.1. О) В Виде суммы 1!Вух одипако- 1 Вых 'г1$$.'т[е[ЕИ $[ых 15ол1$ Высо1оп —. ЗЕ[тск[ В каж [ый 
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
