Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик - Уравнения математической физики (2010) (1127878), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Воспользуемся решением задачи (4А44-. (4.46) (в на- 1' шем случае р(х) = О, м(х) = — 6(х — те)): р ., япи 2 г1 (хп ). 21 (зсп где ы„= — ) — 6 (« — х„) вш ~ — «~« = — в|п ~ — хв по определению б-функции. Итак, поперечное смещение и(х, !). вызванное хп-повенным точечным импульсом, и(х,1) = — ~ ~— в!п~ — х)в!п~ — х„)в!п~ — 1! = — С(х,х);1) рчса,,п 1 1 1 р (см.
(4. 52] ). ° Замечание. 4..(4. В (глу (ае (р(х) з— е 0 решение задачи (4А4) (4,46) имеет вид Снова формальпо изменяя порядок ( умм ироваиия и шп егрирОвйпии, Вьц)азим зтО 1)епнл(ис', ч(3)ез фупк1Сик) 1 1)иий: и ( ч1) =- 3 С(х,5„1) ':(с)(1Е 1 Если здесь В'(х) =- — Ь((х — хв), то Р 1. 1 и(х.1) =. ~ С(х,с,;1) — 5(Š— х„)(1~ = — С(х,х„:1) по определе(шк) 5-фуик!Сии. ° Если в па"!аль«о-краевых зада сах ий очрезке вмесчо (4А5), (4.48) поспи!.юпы однородные краевьп. условия других типов, то получим задачу Вбгурхп(, Лиувич!1!я с соответсчвуюпспми им краевыми условиями. Э !О даст другис собственные зн шспия Х„ и собствсш!Ые функции Х„(1).
Лш!.юги шо применяется метод разделения переменных для решспия начально-краевых зада*! в ограни п(нпых об;шсчях (Ч С ))сч или 1) С чсч„есчп! Х) имеет достоспо пи) просп(ув гсо((с— пцпгхсс"л у(о фор.(уу (см. и. 2.3.7, 2.3.М). 4.4.4. Задачи о резонансе В 1)йх!Кйх х«!!емйти «:( ких х!Оде)«и! колее шпй„(»!Исывй()мых пй ичсп по-кс»!С)вых(и зйдй (йми д:!я восп!свого (3)йвпс(ппя. расс)!()- грим явлепи(' резонпнси. Если на ко)(сбатсш пую систему (папример, пй струпу пли мсмбрапу) оказывается перподи «скос В(ч!д(!!Отвис) с Исто!Оп. блп!кОЙ к Оиюй и ! чйс !От (с собсте(п1п !х кОлебй(п(Й, то ВОзмож1ю рс:ИСО(' уй(лил("ние! Вмп, (итуды Выпуж;«ппых КО)«(бйпи!Е,ЛС!я !Й)о(-! Осы В кй «( тис мо;!( лп ко:«Оаге.(ь- 238 1юй сисч'('.мы вь1Оерем какую-.1иОО ця'!»льво-крае!)ую зада'!у )111я ура!зн<ния колебаний струны, подверженной периоди и< кому шн шцсму' воз,пзй(тви(о. 1!одчеркнсм мо,в)льный характ< р такого а!учения резонацсв; используем гшиейное волновое уравпепие, описываю!цее малые колебания: и<' бу)1ех( у*'!итьпз»11 си)!ы треиия: бУДем полагагчп что впешнее воздействие зависит от вРем<- цп по гармони и;скому закону с и!сто!о!1 (! указашгых предположениях ре:зоншн происходит при сош!»депии .~: с о;(пой из собспзе!И<ых 1»стот кол<баиий „.
Ои проявляя тся в п)м, что амплитуд» ш,и!ужд< цць!х колебш!Ий на гастот< ) =,)„возрастся т процорциквт)!ь!ю врехн ип. Зал(ечиние ~.1$. 1! реальных уеловиях вссг,(а существу»И при швы. ограни*швающие »мили)у;!у ко. К)б»пий(: ° в ко.)еб.цопк ися системе имеется )репис; е выпуждакппая частота ы нето шо со!пикап)т с соб< твецпой шстотой С ростом»мплитуды колебаний в < луч»в резонанса эти ко,нбания пер(ст»юг быть малыми, и основанная ця линейнол( волповом уравцепии модель <таповится пепрпменимой: при большой амплитуде колебаш!й их (обствепцая частота зависит от а!вши гуды. ! !Оч(ох!у, ес;ш час п)тя: выл уждак)ще! о во злей( твия пе и ищ пж тся.
)о во змож< и ~~ход кол(бз!Юпп йся сис)(мы и з р<1)О)пзис». ° 13 з»дачах о рею!иисе будем счит»ть вынуждающун) ч ц то ! у > 0 и ц)яме )ром. !!)м!и и(е и.!и ог< 1" )с)вие р(хзо!Юпса в зависцмос)и о! ' р»ссмо!'рим ца копкр(х!'!Юм пример<» Прил(ер !.
((. и» (х. () = а-и, (х. (),0 < х < (. ( > О, . (О. ():= ! .'' (-(). Н = »вб «, (( () = Од > О. и !х. 0) = О. О< (хз О) =- О. 0 < х < (. Будем интерпр<)тировать а(х, () как поп('речное сме)пение < трупы 0 < .г < ( со < вободпым правым концом. До момента вре- 1» пи ( — -- 0 струна нв)и)дила( ь в состоянии покоя.! !ри ( > 0 ле<зый кои<и с!рупы д!зиж(т(я !н! 1»!инн)и иском) зак(н!у. *г!О и вызывае! <( кОЛ(б»ния. 1 и!0)(;ю.нцпы( В,1О.И сгрупы в!П)ши1П) силы и <'и)1» трения це учи! ЫВЙ1От('я.
Выполним замену искомой функции и(х, 1) = г(х, 1) + рв1п(х1), Тогда относительно г(х. 8) получим задачу г„(х.1) = а" г„„(х, 1) + ры-' агп ( Л), О < х < 1,1 > 0:, г(ОЛ) = О. г, (1Л) = ОЛ > 0; н(х,о) = О, г, (х, 0) = — ры,о < х < 0 Представим функцию г(х, 1) в виде г(х, 1) = И(х, й) + И (х.
й). где И удовлетворяет задаче 1;, (х.1) = а,'Ъ'",„(х.1),0 < х < 1, С > 0; 1х(0 1) = 0,1;(1Л) = ОЛ > 0: Г(х О) = О, К (х О) = — ры,о < х < 1, (4.53) а И'.— задаче И~а (х,1) = аЮ„(х, Й+ 1ьл' вш (х1),0 < т < 1Л > 0; и (ол) = о, и'',, (1л) = ол > о; И' (..О) = О, И', (х, О) = О, О < х < 1. с Х,".,, (х) -~- ХХ (г) = 0,0 < х < 1; Х (0) = О, Х,' (!) = О. (я(2п+1)), , (к(2п+1) Еерешение: Х„= ~ ~ .
Х„(х) = в1п~ х, а=о., 21 ~ ~ 21 1, 2, ... Функцию И(х, 1) надо искать в виде (к(2п+1) ~.)=К~~, -(..е.. ~-„1 ( — .т(2п + 1) где ~ = ч-,~Х и = а — собственные частоты. П вЂ” П Из начального условия Г(х,о) = 0 вытекает А, = 0 при всех и. Из второго начального условия находим > 4р. ы 2ра „— —— ,„я (2п + 1) ы"„ Решение задачи (4.54) надо искать в виде ряда 240 Разделяя переменные в задаче (4.53), получим задачу Штурма - Лиувилля на собственные значения; в (*л(=Гт„(1(ю»~ (я(2п+1) 21 Подставим его в уравнение и разложим неоднородность в уравнении в ряд Фурье по 1Х„((г)1 „на О ( х < 1 (в данном случае эта неоднородность р, Рвш( з!) не зависит от х).
Тогда для определения коэффициентов Т„(1) при каждом а получим задачу Коши; , а Та(!)+ (,.'!Т„(1) = 1 аш(м!),! > О; !((2п + 1) т„(о) =о,т„'(о).=о. Ее решение: Т„(!) = — ~ еш[(„(! — т)1вш( ~т)(1т . (4.55) 1 4(,~,~3 я(2а.+1) Вычислим иг(тегрьм! в (4.55). Если гв ~ ш„(нереионансный случай), то 1 ~ в1п(~(„(! — т)]э1п(.~т)((т =,, [ы, в(и(ы!) — ав1п((„!)1 а й (проверьте!). 2 а Снова учитывая, что = —, получим в нерезонансн(2и+1) !„1' 21(а ал (юм случае !~ (1) = —, [~3п 81п(и~!) гвв(п(а(л!)[ !) и" Если же, = .',„при некотором па (резонансный случай), то 1~в1п(~а!) 1 ~ а(п[ >((: — т)1в1п(ат)(1т = — ~ — !сов(,Л)[ а (цроверьте11.
1(а в(п( Л) В этом резонансном случае Т„„(!) = — [ — !сов( Л) О!пест. Если ы ~ ш„при всех и = О, 1, '2, ..., то 241 , пф„г) 1 и(х.1) =- ргйп( 1) 1+ 2!В) '~- а1Н(ь)„1)Н1п(,„)а„,)) Если ) =- ы„„нри неко!Ором н„, то 2~ы) ' В!и ф г) а и(г,!) =--~за!н( Л1) 1+ ~~ 1, — — В!В ~))абг „з> ы„()",, — 4) Л и и (а .) 2а; ' В"'("' 1)в)п(чУ пг) — фсоа(л)~ — к!п( 1Х„, г ) — !1 — ~~,, ° Л ° й ! 4.5. Интеграл энергии.
Единственность решений начально-краевых задач для волнового уравнения 4.5.1. Энергия колеблющейся системы Интегралом энергии называется сумма кинстичз ской и !штснциальной;зн!>р! нй меха!и! «ск!и! спет!мы в нзвсогз)р! и! а!омшп арса!они. Пусть в огралнчеш«)й об.исти!) с 1)с"„и.= 1. 2, 3, но!таил!'.на начальнО-краевая 'зада'1а для !)О,!нОВОГО ураВн!'ния оп)о!игольно и .—.= и(М, 1): и„(М, 1) =- а'15)>и(Л1, 1) 1- )(Л!. Ц, ЛХ Е О. 0 < ! < +ж: (4.56) и(М, 0) = >)(Л4)., и!(Л4.
О) =-. 4 (ЛХ),ЛХ б !1; (4.57) с (Р) .+4)э)и(Р,1) =- у,(Р.1), Р б .')'. О < ! < з-эс„(4.>5)8) ди(Р,!) дз)р О(Р) О, >4(Р) - О. О(Р) + 11(Р) я О. Онре)!е)и!и снача.ш интеграл энергии в слу !ае )(М. 1): — 0 и ъ,(Р. 1) ==: О, т.е. Вс булсм учитывать Лсйствующиз в О и па границе Ь' ынешш«з.илы. Обозначим через Я" ту часть границы,5', где одновременно с (Р) ) О и 3(Р) > О.
Тогда ннтгтрш)ом э)н)р! ии на )ывается вели шна (в слу нн 0 С К') г' (1) = — Ц) [(и, (М,1)) + и-'~йг))!1яи(ЛУ 1)~ ~дВн + 2 (4. 50) )де )Ю,и элемент объема; г1о! э,н мшп площади поверхности; 1) =- соня1 им!от смьн:! ооъемной нл)н нос н! массы (яня))гн )и)- но онределшт!'я интеграл гни р! ин и в сту )яях В С К! или В С К'). Если (4.58) является краевым у!.н)вн! м .)реть! го рода ди (Р.1) +У)(Р)и(РЛ)=-О, )о Я' — — Я, и вгорой ):ни в (1501 выди! рвжает гнн)ргюо упругого .)акрон)нния: ес:)и (4.5)Х) является краевым условием первого нли второго родя. го,')" = И, и второй член в (4.59) равен ну)но. Очевидно, гго — Л ! (и! (Л1.1)) г1Шн и есть кинетическая энергия колгбл)ощсйся системы в момент времени й Физический смысл вели*)ины !)(1) состоит в том, что в от)л))ш ош)гв гн)е)инин гил. полная энгргия колеблгон)ейся системы )и' и!'.явится !'о времи!сх! вгн)олн!'н эяк(н! )охранен))я энергии: ! ели ЯЛ1, l)= :0 н х (1', Е) = О, то нрн всех Е > 0 ~' (У ) .= 1' (0) = — Я [и ) (Л1) + и! ~йг а!1 нр (Л1 )~ ~ г1Ии + 2 + '-"Д"'(~) ~'(Р) 15г, 2,: о(Р) Энс)р! ия же шнтемы, совершшощей вынужденные колебания, ю.
сохраняется: сист! ма нриобретяеч нн р! ик) эа ! чет внешней силы: например. если 1 не равна тождественно ну.но, я х О. то !. (1).== г'(0)-)-р $ Щ Х(Л1т)и, (ЛХт)г1ГЭ))!1т (рг ооьсм)щя !! л )ьн))ность внешней силы). 11;шомннм. что в уравненнн (4.56) тр! ние не у а))),нн)е)ся. Инт!)! рал эисргни является функцнонп)гоаи фун кцни и ! тявится в соответствие число)'()р 243 При иер 4.0.
Пусть поперечные колебания струны описываются моделью и (х; 1) = а~и„,.(х, 1), 0 < х < ь О < ~ < +ос; и(х, 0) =,р(х). и,(х, 0) = ьс(х), 0 < х < Е; и(0, ~) = О. и(l. ~) =- О, 0 < ~ < + ю. В момент времени 1 струна имеет кинетическую энергию Р г 2 о — ) (и,(х,г)) Их ипотенциальнуюэнергию — ~ а (и,(х,1)) их, где 2 „ р =- сопв1 .
линейная плотность массы. В этой модели внешние силы пе учитываются. поэтому полная энергия колеблющейся струны не меняется со временем. Функцию и(х. 1) можно построить в виде ряда и(х,1) = 2 и„(х,1), (4.60) п== 1 где и„(х,1) = А„сов~ — 1)+ В„, в1п~ — 1))й11~ — х, а коэффициенты А„и В„определяются из начальных условий. Ряд (4.60) представляет движение струны как сумму независимых движений яви В„ Где ш = —, е =- агсгя' —. й — ~ ° П Каждому такому движеншо и„(х, 1) отвечает не меняющаяся со временем энергия 1де еа = р1 --.
масса всей струны (вычислите самостоятельно!) Тогда полная энергия струны «(~)= Р ~ ' ) +а'-' ('" ) ~с1х= — ~~, '-'(А'+В1) не меняется со временем и определяется заданныкгн функциями ,р(х) и ~р(х). Знание кинетической и потенциальной энергий струны в >анной моде.ш позволяет также построить функционал — ~ Й ) [(н, (хх1)) — а» (и» (х.1)) )>Хх. которь>й пазь>вастгя дей- 0 ствием. Согласно принципу наименьшего действия, движение струны а(х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
