Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик - Уравнения математической физики (2010) (1127878), страница 40
Текст из файла (страница 40)
"Х '1 акое решсшн для >аданных.р и ы можно получить но формуле Д>шах>берн (4.0). ° Пример 4. 4, Если в задаче (4.3) .р(х)=0. ) 1 = соня1 ..—. О. (:г! < ! >а(:г) = то классического ренн ния этой ш; )0.! !з 0 дачи не существует ( !акис на >а>>ын н* условия озна*>агот, что в >ш >альный момент времени струне был усщ>ом щ р! дан равномерно раснредел! нный яа ,'т! /ихн>улье 7= — 2/1> г'.
где р =- соня! , ш>и>йиая нлотность массы ! !Ру нь!). Носледовя!гельност! Г.и>,,!ких функций >е„(х) не может рг>анашу>но сходить! я к ргн>рмт«т !)>ункции с (х). Поэтому надо выорать нскледовательность >, „(х), ! ходящук>ся к >:(х) в более слщ>ом смысле. нанрнм! р. 207 ) ~ь:„(х) — ь,.(х)(?(г — 0 нри 1! — Ос для любого отрезка )<м,)) Найк«)М К:1йс('И'1РСКИ( 1)ЕШСНИЯ 11,„(Х, 1) 1ВК1ВЧ КОН1И (' Нй*(ВЛЬНЫМН ДВННЫМИ ак 1, „И В КаЧЕСтВЕ РЕШЕНИЯ ИСХОДНОЙ ЗйлаЧИ С НазаЛЬ- ными кйннь!з!И,р, 1, возьмем 1!И) 11„(,г,?). Для заданных р и (: это П рсшешн можно полу !ить по формуле „'1аламбера (1.6). ° Пример ~.б. Если в нй !альный моме)п времени струне бьш передан со< рсдогочснный )з то")ке х = 0 импульс?, й „(х) = О.
то вно<тй!ювкезй и !ИКОН!Н<одс1))к!Ггся 6-(!)1'нк!(ия: а, (х 0) =- — ( (х). р Поскольку в условиях задачи присутствует обобщенная функция. с<1 реишш!Р н()до нонимйтк, в обнов(<.ином смк,«,«. 'Э~о рсн!( Нис можно построить но формуле Даламбера (4.6).
° 4.2. Начально-краевые задачи для уравнения колебаний на луче. Построение их решений методом продолжения. Распространение влияния краевого режима 4.2.1. Краевые условия В задаче Конш для уравнения колебаний на прямой — ос < х < < +ОС НВЧВЛЬШ)Р ДВИНЫ(1 З (й ОН1)(ДЕЗ!ЯЮТ !)РН!ЕНИЕ ОДНОЗНВЧНО.
ДОстйто'!но:!и нй'(йз!ьных дй1шых для 1)ыд(зл('ния (';(инспз(',ннОГО 1)ешения этого урй!)нсния на лу'кс 0 <:г < +.к'? рассмотрим для 10)нм(1)й <'вободны<- ионе!)ечнк,!<* Ко;!РОйния но(куос!ими( «)н!«)й <ч РУ«ь! О < х < + Ос« котоРые кзызваны воамУ(цениЯ)нз ак (з и момент врем( ни? = О, локализованными нй интер)зйхи (хг хк): фх) = 0 и (с(х) = О нрн .г(г'(х, х,). х, ь О, Вйчйльнь«во !мун«чшя вызовут раснро<транякици<кя но струне со скоростью а волны. Возша. бегущая влево. в мом(нт времени 1 = х, а достигнет конца струны и кз .течение времени .к;, а < ? < хк В будет от него от- раяс<Г!Ь<я.
Отрйжеш)ая возша побежит вправо и буде! онределя Гь(я нР 'ГолькО нйдающей нй кОнец ст|у'ны 110.!Иой, нО и хй|)акте~)ом ЯГОГО О!1)а)к(зния, ко!ОрОС 10)ои( хОдит ИО-1)йзнох!у н|)и 1)й:зн11х дону('Гимых 1)си<ямах динж()ния конца с!1)ун!1. ПОэГОму ;!.15! Но:1ИОГО задйниЯ 10)01шссй 1)йсп|)ост1)Вн( ни)1 во:1н н 1.1У!с 208 О < .т, < +с< кроме начальных данных нужно е(це краевое условие. Рас( х!Отрим несколько типов локялы!ых (в точи( л ==- О) )ш)$( йь(ых кра( вых условий. Краевое услош)е первою рода.
плн условие Дироле п(0. )) =- =- р()), 1 > О, озняча( т. что конец струны движется по зарю«е определенному закону. В частности. а(0. )) =- 0 при ( > 0 у(лов(«$ н(подвнж1«)с(и ко)ща СП)упы: Он»,))се( Ьпк» «(Зк()(плс«)$». Кряево( условие второго родя, или условие Неймана а,(0. $) = и()), ( > О, выража(т равепспзо величин приложенной Со СГОРОНЫ ВНС1)ПП)ГО МИ)И1 К КОНПУ ГТРУНЫ 1101«)Р("Шой ВНСП! Н( й силы $(1) и силы упругости струны. которая но закону Гукя пропорпионяльпа а,(0.
1) (с полож)псльпым коэ())срициснтох! пропорциональности) и действует ня щ«шш!й мир: их няправ.1ьч!ия нротиь)ОНО,'южны (( л(';ЬОННЬ«си*но.:1$1$(ки 1)) )) и )()),1ОП)кны быть различнымн). В !Не!!(ости. а,(О. )) ='. О, 1> О.. ус,«)- ви(1 св»б»дя»е» к»$(ц($, (»$))$(ны: на нщо $(с,н)Й(т!зу("1 внс!Пняя си.та.
Пусть ня консп струны л = 0 со стороны внешнего мира, действует попер("шая внешняя сила !'(1). если к тому же кон(п струны закреплен упръто. например. с пох«нцьк) пружины. то в(':шчипя но(1(й)с'н!Ой ('и)!ь ! ')якр( н:«'пня. д( Ьйст(зу)ОПЬ($!1 на конец струпы и проня!Ст!Зу!Ощей его смещению. Нропорционя:и на (( ПО ЮМОЬ П).н НЫХ! КОЭф())ИЬ(ИЕНТОКЬ!Ц)ОНОРЦИОНЯ 1Ы«)( Ьп) В((1И 1ИНС ( мещения. Это означяег. что пружину можно рассматривать как «Ьасть струны», дающую дополнптельнук) силу упруго(ти пя конце струны т = О. Тогда Ьз,(0, $) — йп(0, )) = $)()). Ь, =-..
(опв( > О. О. краевое рс.,(»»$1( Нарев»се» роди Зпмечание ~.3. Для конечной (трупы О = л = (на конце я= =-. ( краевое условие греть(го рода им('ет вид я,(й )) + йв((, )) =- == $)$(1). )$ =- (-о!Ьв), > О. ) > О (з!«Эсь знаки $)$()) и $$(1) одинаковы), Почему.' Учтите. что Г«йствующая на внешний мир сила упру!остии струны ня правом ее конце пропорпиональна — в,(й 1), ° Красно(" условие пя конце струны л = О может сол(ржа! ь ()коросты го поперечного Шзпже(шя и,(0, )). если, наприм( р.
кощ'и ('труны ис)1ыгьпзя()т сн:!у '!О(зния, нро1«)рциОнальную а((О, $). Краевое условие может содержать ускорение и„(0, «), ес:ш, например, к концу струны прикреплен точечный Ьру.$ некоторой массы, на кОтОрый д(и(тву(т сп:!а тя)к(сти (яна.(ОГичпО,(ля кош(а:г,-=! коне шой струпы 0 < т < )).
20() 4.2.2. Начально-краевые задачи на луче и их сведение к задаче Коши на прямой Чтобы сформулировать начально-краевые задачи для уравнения колебаний па, луче, напоьпплм о«юзначення: В = (О < х < < +с ), т) = «) < х +~), От = О х (О, 2), О., = В х [О.
т1 «,) = =- Яг, —— Х) х (О, +.ю). с~ = Ох[О.-~-зс). На шльно-краевая задача состоит в нахождении решения у))авнения и„= а'-'и„+ У (х. «). (х. «) Е (), (4.!1) которое удовлетворяет начальным условиям и(х, 0) =- т(х), и,(х, 0) = 1в(х), х е «), (4,12) и одному из краевых условий (4,13) а(0, «) =1(«), нли (4.14) а,(0. «) = — н(«), или н,(О, «) — 6н(0> «) = и(«) (4.15) при «> О (нли какому-либо краевому условию дру| ого типа). Краевые условия (4.13) . (4,15) можно записать единообразно: ои,(0, «) + Зи(0, «) -.=- х(«).
Репнине подразумеш1ется класси и«скнм: и Е С(«))Г~С (Ц) в случае краевого условия ('1.13), и еб С' (Ц)«) С-'(с)) в случае краевых условий (4.14) или (4.15), причем и(х, «) и и,(х, «) принимают заданные в (4.12) значения нри « =- О, неп)и*рывин примыкая к ннм при « — О+-. Класси пх кое решение существует только, если функции (,,р. 1,, 1и и удое. и творяют спеппа:и ным требованиям. в частности, ш обходимо согласование нача.п ш ~х и краевого условий. Зо.мечание 4.4. Часто встречаются задачи, рс шения которых не мо! ут удовлетворя и требованиям, пред ьявляемым к класси; 'пгскнхи решениям. Если пе выполняется согласование па п1льных и краевого )вдовий или искомая функиия и х, «) ш может обладать требуемой гладкостью, то понятие решения зада*ш надо рассматривать в более широком. обобщенноьч смьн ле.
° 210 Долазательтпво: (Ф(х+ а«) + Ф(х — а«)) =- Ф(а«)+ Ф(-а«) = Ф(а«) — Ф(а«) = О. и ай-0 ~ Ф®Ф,=О. ~ Е(~,т)Л,=О. ° аФ- 0 Свойство 4.2. Пусть Ф(х) имеет неп1зерывпу|о производную Ф,(х), Если Ф(х), Ф(х) и Е(х, «) по переменной х являются четными функциями.
то каждое пз трех выражений (4.19) (а следовательно. и их сумма (4.18)) удовлетворяет условию и,(0, «) = 0 при всех «> О. 7оказательсщво. Если Ф(т) четная, то Ф,(х) нечетная, позто- ! — (Ф(г, + а«)+Ф(х — а«))~1 = О. дх ! д — / Ф(с)ас, = —. (Ф(х+а«) — Ф(х — а«)~ — -- О. т а! л — О ! а(о, ~ — Е(с,.т)й, дх,.,«ь, г=ь = (Г(хььа(« — т).т)- Г(х — а(« — т),т)~ = О. ° Свойство 4.3. Пусть Ф(х), Ф(х), Г(х, «) имеют пепрерывныс производные Ф,(х), Ф,(х). Е,(х, «). Ес ш Ф,(х) — ЬФ(х).
Ф,(х) — ЬФ(х), Г,(х. «) — «ьЕ(х, «) по переменной х являются нече«иными функциями (6 = сопя«), то каждое из трех выражений (4.19) (а следовательно. и их сумма (4.18)) удовлетворяет условию а „(О, «)— — Йн(0, «) ==- 0 при всех «) О. Доказательство. — ( в")"( — н)$ — (и ~.м- ))= ! д дх — Ф(х+ а«)~~ — ЬФ(аф+ ~~ — Ф(х — а«)) — 6Ф( — а«)~ = О. ! д «! и ~ Ф(1)»8 — Ь ~ ! (8)»; = ~(Ф,(8,)-»Ф(8,))Л,—.О. дх -«! «с « Совершенно аналогично для выражения в (4.!9), содержащего Г. ° Чтобы из (4.18) получить формулу для решения и (х. 1) задачи (4.36).
надо при 1 ) 0 па плоскости 0»1 рассмотреть две оолагги:,т > а» и 0 < х < а1. Очевидно, ~то прлл т ) и» решение зада ~и (4.!6) дается форллулой ,Р (х + и1) л,р (х -- а1) и.(х,1) = о « — ° ! о — '~ (К)К+ — '~'» ~ »(~т)» 2и 2и „ Здесь отраженная от конца струны х = 0 волна еше не оказывает влияния в этой области. Построим решение и(х. 1) при 0 < х < а». где содерикится отраженная волна. Длля этого рассмотрим отдельно случаи красллых условий первого, второго и третьего рода. В задаче ( !.!6) с краевым условием Дирихлс л«(0, 1) == 0 (о = О, 8 ~= 0) продолжим функции,р, ьх» на вскз пряму1о л«ечетиы и ооразом: «(х).и')О, ~1'(х) х>0 Ф(т) = Ф(.г) = з ( х).я<0 ( 0(») »<О. »(хз») .>О, Г(х,1) == — »( — ».1),х < О.
В 12 определенная формулой (4.!8) функция Г(х, 1) совпадет с решением и(х. 1) зада ш (4,16), поскольку в 1З уравнения для 1»(», 1) и д.ля и(х. 1) одинаковы, в»» начальные данные совпадагот, а краевое условие»»(0. 1) ==- 0 выполнено по свойству 4.!. Чтобы из (4.18) получить формулу для и(х, 1), надо теперь при 1 > 0 на плоскости Ох» рассмотреть две области: х ) а1 и 0 < х < < лл1. Пользуясь характеристическим треугольником, «расшифровываемь (4.18) в области 0 < х < а1 при нечетных Ф, Ф. »2 ( )-""+"' "'"' " " ~.в« '-( ) 2 2а «о« (ь О с за(ь. т ) Где,К1(х,() = — ~ дт ~ ((~,т)ас, + — ~ Ит ~ ) (с,.т)й,, 1-а(1 - ) 0<х<ай 1 В задаче (4.16) с краевым условием Неймана и,(0, () = 0 (о ~= О,;:1 = 0) продолжим функции р, о, 1 аа всю прямую четпныла образом: ~р(х),х > О, ~ю(х),х ) О, Ф( )=- Ф(х)=, ~р(-х),х < О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
