Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик - Уравнения математической физики (2010) (1127878), страница 39
Текст из файла (страница 39)
если 6 == . ° 1+Т 202 Супгсзствовйпи<'„единст!>енност! и у<"Той !Ивос! ь рсян<)пия зй дачи ((оп~и (4.3) озпс! зан)г, что эта задача ко!)т>сзктлг>со >и)сгпс!Ьле>Ш, 4.1.3. Множество зависимости решения от начальных условий Если в форму:из Даламбера (4.6) фикс ировать м<ан нт времени го ) О, тО фУикггии в(г, $<$) Лйс! ИР<>с)нгзн <1РУИ11 в йГот ыО>сент !зременп «мгновеннун> фотографи!о» струны.
Ес:ш в (4.6) фиксировать х„, то функция и(:1;ь ?) даст закон лни>кс>пия точки струны < к<>ординатой .$„,. Фиксируем точку хв и момс и ! !>рсз>и нн Р«) 0 и латйлимся вопросом; все ли значения фуикций,р(х), $! (.1) нй прямой --.х, < .г < < +Ос необходимы для тсн о, чтобы найти 7$(.$,7„/<7) !<о формул< (4 6) .' Дз!я отс«тй пй йнн. вог!рос гновй ис!зозн зус м и.«>< косм Охй Характеристики уравнения ин =- а-и„, зто нрямьи. х — <$?:=. сопя!. и а;+ а! = сопя! нй Охй Если д с(>у!<кция одной нс'рслгснногг, то с!!ожив)1 функшгя д(х — <$!) Гохрйняет п<>с ! Оян нос знй и ши> в!ель характеристики х — а! =- сопя!, а сложная фушсция д(х+ с!!) с:охраняет постоянное значегпн> зздоль характеристики х + с!! = :=- сопя!, Проведем через точку 7(|(х<>, ?<7) пй плоскости 0$4 две характеристики; х — а! ==- хй — с!!<$ !! х + а!:.= .г, + а?<$.
Путть В и С точки их пересе нчнзя с ось!о Ох:, В= В(хи — сз?<и О): С= С(х<, + + а!<ь О). Треугольник 7$1ВС нй$зывйе!<я хйрйктернсти ич:ким. Формула Даламбера (4,6) утверждает, !зо лля нахождения о(х<ь ?$>) достаточно знагь то.,зько з)(гй<> — а!$>). Р(,г<> .+ <$?<>) начальные отклонс пня в точках В н Си $>(х) нрп .<о — <!РАЙ, < х < .$, + + с!?<7 на !йльнун) скорость на отрезке ВС Для описания распространения волн важно знать лс>!ой!се<оооо ,$<гсзсгс гзлго<777$$< !)енн'.<И1я О'Г 1иигйлыгых ус, н)ний. Введем а! О ИОИИ- гие, сравнивая репи ние и( г, !) задачи (4.3) с решением й(хД) задачи (4.7). Пусть нй !$<.,п пс!с дйнньиз,р(х), м(х) в (4.7) отлизйзотся от нйчй !нных;<йнных .„;(Т), о(г) !з (4.3) тозн ко нй н<з!«>Гс>- рОМ Л$НОжс<сгнс П Обдаеиг б =- ( — ОС < Х < +ООЗ).
В КаКИХ П)ЧКаХ гыоскосги Ох! заведомо будет >й(г,<) =.=- и($;,!). а в каких го !кйх пой! плоскости й(хд) жц>кс сп отличаться от а(г. !)7 ~з!Ис>жс с!!$<> !очек (а, !) Ей О;гй где репнине й(.г.!) <сос)сстг>$, отлн иться от '7(г. 1), <зели нй!агзьны<*, дан ньн' в зй1йч<' ((3) из>ингГ! ь то гько пй ('!. ийзывйс'Гся мнОжс;стнОм иизисимо<7$$1 ре1пс ния зй <й ги !(Оннг 203 от значений начальных данных на Й. Множество зависимости является дополнением до ь>х1 множества независимости решения и(х, 1) от начальных данных на й.
В силу линейшости задач (4.3) и (4.?) можно считать. что р(х) гв О., ге(х).=. О, и тогда и(г.1) = О. При этом положим ф(х) = 0 и и1(х) = 0 для х ф й и !л(х) ~ 0 и, или тэ(т) ~0 для х 611. В каких точках (х,1) Е Ох1 !шведомо будет й(х,1) —.— О, а в каких точках это равенство необязательно*.' В рассматриваемом слу >ае одной пространственной переменной ответ на этот вопрос дается по-разному для зависимости решения от начального отклонения и для зависимости решения от начальной скорости. Пример ф.1.
Пусть й!(х) = О, э>(.г) > 0 на открьпом интервале Й =. ( — 1 < х < !) оси Ох и р(х) —.— 0 вне й. На плоскости Охг через точку ( — 1, 0) проходят характеристики !г+ а1=. — !и х — а1= — 1 — х — ! х+! (т.е. 1 == и 1 = ), а через точку (1, 0) проходят характеристики х+ а1=- !и х — а1== !(т.е, 1= и 1=- — ). Раса а, !'матрпваем только полуплоскость 1 > 0 на Ох1. Значение и(х. 1) для каждой точки (га 1) этой полуплоскости легко найти с !юл>ощью характеристического треуло>п ника.
В полуплоскости 1 > О точки (:г, 1). для которых,г < — ! — а1, нс входят в лпюжество зависимости Решениа от значений .Р на Й: волна 1э(х + а1), РаспРострапяющаяся из-за нана!!ЬнОГО Возмуншния на Й В.к'ВО со скО- ростью а Вдо:!ь Оси Ох. за Брел>я 1 еще и!' достигн!.'т тОчек на Ох с такими координатами х; для ннх и(х. 1) =- О. Точно так же точки, удовлетворяющие неравенству т > 1 ' а1, нс входят в множество зависимости; сюда еще нс успела дойти волна !!(г — а>1); и(х, 1) =- О, Треутольная область ( — !+ а! < х < 1 — а1. ! > О) входит 1 в множество зависимости: здесь и(х,1) = — (э>(х — ай)+ э>(г+ а1)).
2 Ио;!унолоса ( — ! — а1 < х < 1 — а1, х < — 1+ а1) входит в множество 1 зависллл>ости: зчесь и (х.1) = — ла (х+ а1). Полуполоса ( — !+ а1 < х < 2 < 1 + а1.:г - ! — а1) входит в множество зависимости: 1 а (х.1) = — р(х -- а1). Наконец. точки, удовлетворя>ощие неравен- 2 ствам 1 — а1 < х < — 1+ а1, не принадлежат лЛНО>кеству зависимо- сти: здесь волны уже прошли, ие оставив каких-либо возмущений. поэтому и(х, «) = О. Итак, лшожеством зависимости решения от з~ачений;р па й является 1ૠ— ! < Ц < а«+ !. «) 01.
° и х< — «+ а«) решение имеет вид а«х.«,)--- — «л:®й,, а в полу2а полосе 1 — ! + а«< х -. ! + а«. х ) ! — а«) 1хепп.иие вмслт вид 1 п(х,«) = — ! ь ®аг„. В точках 1х, «), удовлетворяющих нера; 2а ', Г ча венствам ! — а«< т < — ! + а«, получаем осгаточный сдвиг; и (х, «) = — ««' л,.'(~) г«~ .= сопвй Множествои зависимости решепия 2а', от значений ль на й является Щ < а«+!.«> 01.
° 4.1.4. Решение задачи Коши для неоднородного уравнения Решим задачу (4А) для ллеоднородноеа уравнения, т.е. в случае вынужденных колебаний. Теорема 4.3. Пусть фупкция Ях, «) в !4.4) непрерывна и д«'(х., «) имеет непрерывную производную ' в облш(ти — ос < .г с дх < +ос. «) О. Тогда задача !4.4) имеет единственное клшссическое решение: ~ -ф и(х.«) = — / )' ~ (Е,т)«~йт 1 2а „ «4.10) 205 Пртмнер 4.2. Пусть р (х) = О, е(х) > 0 иа й ==- 1 — ! < х < !) и ~,;(х) = 0 вяе й. В множество зависимости решения от значений о на й ие входят точки, удовлетворякпцие перавеиствам х < -! — а«, и.ш х > «+ а«: сюда во.шы дойти не успели, и поэтолту и«х, «) =- О.
Остальные точки полуплоскости «> 0 принадлежат множеству зависимости. В области 1 — ! + а«< х < ! — а«. «. > О) решение имс- Я ет вид и(х, «) = — Г 'оуЕ)д«,. В полуполосс 1 — ! — и«< х < ! — а«, 2а ', Д»зкааслг»гальс»»гао. Найдем и,(х, «) и и„„,(х. «), дифференцируя зависящий от параметра х иггтегрнл (4.10) по формуле Лейбгггг- г«а: и,(х,«) = — ~ («(с„т)~ и, — «Я.т)г,, )с«т, 1 и 1 ~ (д«'(1,т) д«'(1,,т) 2а „( д1„1...,, д1, Найдем и,(х, «) и ии(х, «), дифференцируя зависящий от ггара.- метра «интеграл (4.10) по форлгу»гс .'1сйбпица: и, (т„«) = — ~ (Т(1..т)/ + «'(с„т)/ )г«т, а а с(с««'(1,!т) дТ(~,т) а ' =.!гас! !г — г- !!сг- !г ! гли ('»! «) а' г! п~ ('!'«)' оо < '»г < +ос' и (х. О) = О, гг»г (х. О) = О.
— ос <:г < +:х,. Но гш тсорс мс сдппствсгшости решения послслш й зала пг пс"г 1»спи ггий, сгг:гичных ог ги(х, «) == О. ° Теорема 4.4, Рс шеггисг зада и (4,4) па лкгбом конечном отрезке времени 0 < «< Тустой*сиво по отпошсшпо к возмущениям функции Дх, «).
Д окааапи ом г»ссю. При лнгбом коночном Т > 0;шя л»схюгтг = > 0 пай2а ;к.тся гакос. «»==6(а,Т)= —, ггоес.пг вг»1» (1(,г,«) — «(х.«)(<«г, ти х.! -.х Ок!'-7' — (сг" (1,,т)-- «вЯ.т) )«с,с«т 2а,,г, Тг :.. «г — < «»в 2 то 206 Подставляя полученные выраясспия производных гли(х, «) и п„(хл «) вуравнение, а и(х, «) и и,(:г. «) в начальныеусловия:гадачи (4.4), убсждас моя в том, гто (4.10) является решением задачи Коши (4А). Если бы существовали два р»хгггичных решения и,(х, «) и и„(х! «) задачи (4А), то функция иг(х, «) = гй(:с.
«) — и„(х, «) удовлетворяла бы задаче Это и очна >нет устойчивость решения зада >и (4А) на отрезке времени 0 < 1 < 7. ° При выполнении ус.ювий теорем существования и единственности классических решений зада"! (4.3) н (4А) получаем класси и скос рспп ние:>ада чи (4.2) в ви;и! формулы Да>ах>берн: ,р(х+ п1)+ р(л — а!) н(х,1) = о ~ ' 1>>-",! — >,:(с!)>1!х+ — ~ ~ 7 (с,,т)с!г,>!т. 2а 2а О 4.1.5. Примеры обобщенных решений задачи Коши 'Рребоваиня к задщшым функцням р, ы, 7'х>огут быть осла>>>!с>>ы.
если 1х щение >а„>а ш Ко>>н! новям а ! ь в н! котором обобн>синем сл>ыслс. !' --И!4= При.иер 4.3. Если в задаче (4.3):р(т) == а ь (х) гн 10.И > 1. == О, то классического решеш>и этой задачи не сущещвует. Но можно построить р! шение в смысле пред! ла класси н>скнх рс>лений. Д ш этого выбер! м последовательность достато шо гладких фупкний э>„(т), ранпом! рно сходяшук>ся к Ээ(я) ца —:х; < т < +ос. Найдем клщх:ические решения >>„,(!д '>) зада ! Коши с на н>льными данными 'р„, о. Решением исходной задачи назовем 1ш! и„(д.1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
