Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик - Уравнения математической физики (2010) (1127878), страница 34
Текст из файла (страница 34)
норлзаззь к,5в точке Р. ~~п, ~ = 1 (поззсрхногзз, одолжив у,зовппзорять некоторым дополпигзльным зрсбованиям: она являетгя поверхнос! ! ю 31япунова). Пусть точечные дшюлн распредс:и ны по поззерхнос'ги л с погс1зхностыой! пло'гное гыо 1засп1зсргсззсния зз(Х ), "+гтз озна !а!!!. что в!личина,зиполызо! о м«ьзепта в то зк! Х Е 5' равна зз(Р) гХЬ!. Будем предполагать, что зз Е С(5) п что ось диполя в каждой точке Р Е Яговпадает ! направлением нормали и, . Такой двойной слой зарядов, распределенных по .5'.
создает в точке М потенциал из(М) == Оп(Р) — гХ5! = Ц п(Р), г)5г, (3.31) дп!. Лзгп) и, ХХ!Лз! где .р = р(Р, ЛХ) угол между и, и !'М. Если М Е Я, то интеграл (3.31) собственный: если ЛХ Е Я, го несобственный!. Вы зе.шм э.ига нт г)о! поверхности Я и обозначим и роз !Лиг!! телесный угол. под которым из точки ЛХ виден элемент гй5е. По опрсделепшо з1 ез! есть площадь элемента единичной сферы с центром в точке ЛХ, который высекается конусом с вершиной М., оппракицимся па г!5! Припишем величине !1;,и опрсдгленньпй знак, связав с! о выбор с направлением нормали и!.
Если радиус сферы с центром в ЛХ ранен Лиз!. а не 1. то плоша.гь. высекаемая 176 па такой сфере указанным конусом, равна Хс! и <1.а! „. !~асс." штриваем <)л! как элемент плоскости. касательной к Яв точкс Р. Проведем через Р плос:кость. перпендикулярную вектору РЛХ.
и спроектируем на нее с)о!. Тогда площадь агой проекции равна с«азз<)о! =11<о<<1ыш! Бусхсх! с п<т<Х! '<<о <1 <<л! > О, «гп! у<о:! р ос'!'р! !и. и <1 а! <! ( О. ес ли р т упои. 1 огсн! и<(ЛХ) = Ц «(Р)<1 О,„. (3.39) а Не прово<ш подробных доказате.сьств, сформулируем свойства <юверхностного ноге<шпала двойного с:н<я. Свойство 3.1.
Гели 5 . ноас рхность коне пн<й кривизны, то потенпиал (3.31), (Зз39) опреде,<ен в< кщу в 11', внии<исая точки ЛХ а .51 Дока<Хани<лиса<на слс,сует из (3.39). ° Свойство 3.2, П точках ЛХ <<..5 потенциал (3.31). (3.39) се<! ! а1зиссн<и и<сная ф;нкщся. Докс<зате.<ьс<пс<о следует из то<о. что при ЛХ ~ Я интеграл (3.31') собствщшый, а функция 1 ' 11аи гармони <на по ЛХ. ° Свойство 3.3. Ес.ш вовс рхность о ограничена и имеет коне <- ную площадь. то и<(ЛХ) — О. Доыази<п си< ьсашо следует нз форму.
<ы срс диего зца <ения: »<м!=) < <г'","'') 11н, ° 11! 177 Свойство 3.4. Пусть Я замкнутая поверхнос<ь. ограничивающая конечную область ХЗ. Тогда в точках Л1 е,5' потенпиа! (3,31). (3.39) имсег разрыв первого рода со скачком, равным 4я<<(ЛХ) Саойсгщ! 3.4 с,н<дУет Усо шиты ПУсть п<а нн<1п<1хеннлл нормаль к Я (направле<ш внутрь области ХХ), ЛХи е,5'. Ввс;нм следу<ошно обозна н<ния: ги (ЛХи) =-- 1ш! и, (Л1) при ус;к<вин.
что и -.<а Л1 <<,5 и ЛХ вЂ” ЛХи с внутренней стороны 3 (пращ ни направления выбранной нормали. позтому и ): и~ (ЛХи):-.= 1<п! <и(ЛХ) прн и .*!<„ условии, сто М!7.'л и ЛХ- Маг внешней ноотношссншок Встороны Ь'(лло направи»!пню выбранной норма.,ш, поэтому гн ).
Гогца в фиксированной то ске Ми Е о и: (ЛХ,) = лсл(ЛХс!) + 2лгн(ЛХ!!). (11.40) и (ЛХи) = ис(ЛХ,) — 2ин(ЛХи). глс сн(ЛХ„) с:прямое» пш сени! нотшщиала нри ЛХя 6 о', Снос!ство 3.1 вьп'ск;и'т иэ (3.40), (3.41): ж (ЛХ!) — и ' (М„) = =- 4т;н(ЛУ„). Докязыва! ь (3.40), (3.41) не булем. ° Задачи З.Х. Запишит! (3.40). (3.11). выбрав нормаль к но- вс"рхпос ил,'л, всишнюсо по о!пошенисо к оо,! и си П ° Репи'шле сслслрн1ссннсгсл,лслдслчлл „'Лирихэсс! (3.37) можно иска п, в ви,ле и(ЛХ) = ис(ЛХ) с ноплежансс й онре,!слс;иию плотностью н. При М е с) известно ги (ЛХ„) — — Х( И). тогда ус. ювис о,сносггорсншсго с кя ска (3.40) оэпя сас г (3.-12) 1эрсл:с- .,л ( Дн(Р) ., с)5г 2г и(И) — Х(ЛХ)„Л! Е Ь Рлг.и ля пи тс я, ! го па !ало координат 0 с..
П Дэлл! вншннсй зада сп нрн М Е .сХ в прежсшх обозна и пнях сп- А вест»о и (ЛХ) —.= и,' (ЛХ)+ — -- Х(ЛХ). гогла ус„!овос оп»ос-соХллн ропп!то скачка (3.11) о: начне! Я ! (Р)"' Лсе — 2и! (ЛХ) = Х(ЛХ) — — ', М Е,су (3.43) 1! сз и 77!! и Несэб!хснлихсслс н;со!тат!си«я !с,н»илс рал1эшнлпюсги и!пыря.,сьнснэ! уравнения Фрс;нольм» (3.13) угас ржл, и т. по урявш ннс 173 Урав~сс'нис (3.42) шииится интегральным уравпшсием с !.ольма второго ро.ла отноппс си но функции и.
Э со урявнс пш. сщпсглня шо рюрсшимо нрн,побой Х:.: С(о), поэтому сущсствует рс шеспн:лачячи (3.37) в ннсн (3.31)., (3.39). Реншя ннп!»ною,!идя»!с '1ирихсн, ищем рсту.,осрную ня бшконс"шости гармони*некую функции! и(ЛХ). 1 акая функция, в!соби!с говслря. с"г1»смнтся к нули! ня бс с!и»п! ни!с ти и!си!э!с н!«с, !с и сипеициал ивой»ого с.лси!. 11оэлому в полис и елим!а!! н(ЛХ) снисьэя нрс';!ставить в вид!' одного лин!ь н(! Гс'н!нла.'са;гнойного слоя: рспп'ши шн пня'й;шдачн Хнрссх„сс можно искнть в вндс и(Л1).-- и (М) т А, Хслсн!. 71 —: сшж1, М Сс 71 =--)кэ Хл г и преднс- (3.43) разренн<мо в том и только в том слу ш<к если ш о правая часть ортогон!Он,на каждому решению р со<од!ного «<)ИОХ<о<)ноев 1111<<инеи!<л..+~о НОзволРН'т выбрал !Нх"Рояннукх А = О«(Х')<<,Я<Х.<Х,О где Л <1 <<'1 —.— 1.
ХХ„<, 13.44) Удовлетворяинцая условию нормировки (3. И) и;и<пность р называется и„итси<вета<о потенциа л<1, Робен<и Уравнение (3..13) ра:<решимо относительно и нри 1 Е С(б), откуда и следует существОВВИР1<.' р<,ни ниЯ внснш< й;<ВДВ <и (ирихле.
3.9.3. Логарифмический потенциал двойного слоя В двумерном случае в прежних обозначениях в<(ЛХ).=- ~ 11(Р) — 1п — <П< = ~ н(Р) ' 41, — ~ «(Р~с~ <3 "т 1 Ри и ) ', Х<н,!1 г;1< 1,1 и.!некий у! о:!. Нод которым И1 <о 1ки ЛХ вид<а< зг!ем<<и кривой <Х)г. Вместо (3. 10). (ЗА1) и !Н<рь имеем равенств<! <л (ЛХВ) — 1<(ЛХ!) + кц(Л|1), лс !ЛХВ) = — <л(Л)«) — я<1(ЛХ<!), к<поры< сводят Вну ци<иню<о и Вн<1<инюк< <жР, !и Дирихл< к ии- птральш,<м уравн< виям.
3.9.4. Поверхностный потенциал простого слоя (ЛХ) - Л' — ХХХВ р (Р) Х' с<1 (3.30) груикцию р оудем но:ин а<ь !и нр<рывш!й и ограни и иной !ш ,)', а нов< рхносгь Х гладкой и удоцзет<и<ряк<и<< и и< которым <оно,шип,!ьным тр<бона<н!ям <иоверх<кхтью, Вшу!юва,'.
Вави- 17<3 Ра< пред< ление заряда (или магмы) но поверхности 5 можно охарак<< ри ювгп ь нов<<рхиоепюй п.<отно< гью р(Р): !вряд -<л<<мента поверхности <1О< рюин 1!(Р)<Ы< В толке наблюдения ЛХ<к1- тЕНЦШ! З .1ЛЕК ! РОСт!П И ИггКОГО ПОЛЯ. СОЗ,<аНИОГО ГК Ей Ийвижсщн!й НОВЕРХН<И "<ЬЮ 1. с>пций от параметра ЛХинте| рал (3 30) соб| тасиным, если ЛХ ф о' и и|собств|чшый, е! ли ЛХ Е Я. Свойство 3.5.
Потенциал простого слоя (3.30) определен вск)лу в К'„вклю п|я точки М 6 Я. Доъ ьма|агл ьс|апо при ЛХ ~ 3 с |сдует из того, что р ограничена ге >|л'> а ц — сходится при о Ю 2. И Свойство 3.6. Потенциал (3.30) непрерывен всюду в >кз включая точки ЛХ Е д. Свойство 3.7. В то |ках И ф Я потенциал (3.30) есть гармо- ни |еская функция.
Дги|азател|итлво г,шдует из того, что при ЛХ (Х,8 интеграл 1 (3.30) собственный, а функция — ! арх|онична по ЛХ. В Х1>а! Свойство 3.8. Если поверхнос и Яограпичена и имеет конеч- ную |пощадь, го | (ЛХ) О. ,и . я(ока;|в>лгльг|ве|> ! лслуе |' из формулы |'рел|нго зная|пня: )|1М) = Я р(Р)>ХИ>;, Р* е Я. где Д1|(Р)>Хд> ! ХХ, „ а суммарный яйн|д на Я.
° д ( 1 ~ 1 дйг|! (Я)т)|1 нХХ>*н в)>„) дн,)А, (Лап ) ХХХ и 2 Лгп |0>!.!., Х)>)| = — Д вЂ” '--' — гр(Р) >1Х>». (3..15) Свойство 3.0. Пусть )' замкнучая поверхпос|ь, ограничивакнцая коне шую область Р. Тогда в то |ках >У 6 л нормальная пропзво;шая потенппала (3.30) имеет ра)рыл| первого рода со |.качком, равным 4яр(ЛХ). „.1анное гной! гво с |е пест уто шить. Пусть пн е>гугарю|нлл единичная нормаль к д. ЛХ|! е 5. В то |ке М >у Я рассмотрим д.(М), д ( 1 ~ ( )> (Р)>18». Ооо |па'! Им через >|! у|ос| д>'|и ', дп,)>„(!1рн ) =Ь между векторами РИ и нм,. Тогда (3.47) Можно доказать, что иитс! рал (;5.46) имеет смысл и лля М = — ЛХ„е д»прямое» зпачеиие нормальной произволаой на Я: при и пюнепьш ЛХ по поверхности д питсграл (3.46) есть непрерывная ~)~упкпия от ЛХ.
15 < лу ~ае. кегли М =- ЛХд Е,5. авелем обозли п.ппс ! ..— Д р(Р)<Б — Д вЂ”.— 5~(Х )~Б, . ~ и с 11.(ЛХ))" д ( 1 ) о;:, д»го ' ~ дпм ХХеп, Хтгп п(И. Х ) угол межлу РЛХ и п»е Введем с:и!лук»щие ооо (дп(ЛХ„)) де(М) ппгп~ия: = 1пп при условии, что М ф Я и сдам и и: дпц, М- ЛХц с тгутреиисй стороны Ь (вративттрипгп ния выбранной ( дп (М„)), дв (ЛХ) пормали): =- 1пп при условии, по М ф д и даль и и да и ЛХ Мв с вп»чп~ей стороны Я (по направлению выбрапиой нор- мали). Тогда в фикс ированпой точке ЛХв Е Я ! ! + 2хр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
