Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик - Уравнения математической физики (2010) (1127878), страница 31
Текст из файла (страница 31)
сопа1. " =- -« = — сопя!., 1( = р, + 5(. Х(х) Х( ) По:!учили д!Ее Ейдй и! 1ПЕу15«!е!..1иуеРИЕ!511! Пй ог15с(кйх: с у х Х,, +!(Х вЂ” --0,0<в<а, (!У -ЬЕ( 7=0.О<в<'с. 1 г '2 1 ягй1 я (лх 15(п1 1(пх р„, — -- ~ — ~, Х„„(х)== в(и . и„= ~ — ),,го (х)=- а!!е —. й с п( = 1, '2...., и =- 1, 2.... Отск)дй им(1(м ( ООстВсппыс зпа'!(Пив и соос 1е«'«пыл' ((!ункпии задачи 1Птурма Лиу!!ил!(я в прямоугольнике (О < .г, < а, (77771) (Яп) . Язз!и, тсззг 0 .- а с): Л„,,„ = ~ †) + ~ — ~, 1;„ „(л,г) = вш кш †.
где';;! за И П НСЗЗааиеисммс тсдЕКСЬС. ЕС„Ш ПабарЫ ИНДЕКСОВ (т, и) И ! (сл'. а') нс сспзпадают. то Г„„„и 1'„, „ортогональны в смысле ", а скалярнсзго произведения / )7 Ъ;, „(!аз)1;„„(л.в)с(вс(а, К!задрат ' !з и !2 ас евкз!и,юной нормы ((7;„„(( = — '. Собственному значению Л могут,' о'!'Нс"пп'1 и!!скос!ько линсзп!сз ис:низисимых с;обста!'нных функций Г„„„, ес ли Л дается различными наборами индексов (т.. 7!). Теперь с точностью.нз постоянного множителя Е,„... находим ' ( ) Рсзшс нисз уравнения Ьи = 0 в иаралле:пзпипезк.
построено в,: виде дсзстноао ряда: и(!г !ла) =- 2 Г„... (лг)1„, „(у). Остаезс я т».-! найти коэффициенты сз„, „из последнего краевого условия при у —, =- Ь. 'ь!я этого раз!с!ожив!:р(сг. в) в ряд срур! с по системе ( Г„,„( в с!с!ласс!!рис!о! зссскс (О < л < а. 0 « . с:). коэффициенты Фурье таксло р!Кз,!ожсзния нуз!срз!сзтся двумя индексами за. п: 1 Г Г . 7пс,, яз!с, „-„, „- — (" (',~(1„ЦК "; — К,с(~. Е,„з„= Формальное решение зада ш в параллелепипеде: зз~ »в(з + у в1! - — + — (! 3.7.3. Задача Дирихле а полуполосе (частный случай) В декартовой системе координат Осдзс на плоскости сззс(Х, у) = и,.„+ и„, = О, О < а < +ЗС, 0 < д < О: и(0. ф =.= ((у). 1 нсп1111111впая функция на 0 < д < о; 160 а(х, 0) = ЯО) = сопя1, 0 < х < +ос; и(х.
и) =- Яе) = сопн1. 0 < х < + с; ~н(х, д)( < сопа1. Репнине. Заметим. что функпия Г(х. д) = Ад + В гармонична, и выберем коэффициенты А. В нз краевых условий: 1 (а) — 1(0) д ч- 1" (О). Полоькнм н = е+ Ги обозначим через а 4 у~ разнос гь | — Е Тогда для новой неи ни отпой функции а пошчим задачу Лн = 0.0 < х < ч-зс,О < д < аф(х, д)~ < сопа1.
е(О, д) ==- ( - Г)1, = д(д),0 < д < а. н(х,0) == О О < х < +ос; н(х. н ) —. 0 О -" з < + ос. Найдем нетривиальньн. ~астные решения уравнения,! анласа н полунолосе вида а(х, д) = Х(х) У(д), которгие удои:и сверяют нулевым красным ус,тониям при д = 0 и у = и, Подставим это произведение в уравнению и в 1 казанньн; краевые условия и раз,нлим уравнение на, Л(т) У(д). Проведем разделение переменнык; ! Х'„(х ) — ЛХ = 00 <:г < ч~:. ~г,' + Л У = 0 0 < д < и. /Х (х)/ < соней ~ У (0) = О.
1' (а) == О, Найдем собственные функпии задачи Штурма . Лиувилля лля У и отвечающи< ее собственным значениям оераянченныс реисеиия уравш пня для Х. Решениями этих задач являются 2 ПХ (пп) кпу ˄—.~ — ~ . У„(д)=-аш —; Л„(х)=Е,,е ", где Г,, =- сонвг.
и а и =- 1. 2, ... (решение Х„(х) =- е " надо отбросить). Решение уравнения Лв = 0 в полуполосе надо строить в виде е.= ~ Х„(х)5'„(д) и-з Коэффициенты Е„найдем из краевого условия при х = О, Для этого разложим д(д) в ряд Фурье по системе ( У„) на отрезкс Х ~).~' — кпу О < д< и. Тогда и(х,д)=~ д„е " аш — '+Г(х,д) . формальнос решение исходной задачи, где д„. коэффициенты Фурье функции д. ° 161 3.7.4.
Задача Дирихле в круге ,! П 1П)лЯр(и)й сис!Схя' коОрдипят «1 р ия п(1О('ко("1и з)я )я:(я'ы .М -'-'Ъ ИМ<'("1' ВИД 1д' ди! 1с?а а,)1 («, з)) гя — — ! г — (1 + —, — ',' =- О О < г < а. О < р < 2Я: ,дг, (Эг( г-д,-.- а(а. „") =?(~), О - ) < 2;(, где?' пепр(рывиая функция паокруж- .'-;! ности г= а, О « . 2- (с<ндовяпльпо. ?(0) =- ?(2«()). '1! .) дОбиО ПО„1ПГИ1'ь, 'Г1О и('р('м<'(шаЯ „". 1Ц)ипиь!аез' в('<' д<'Йстви- г(льпы(' ')пяч()пия, то!да и:1 ОдпО;п1ачпос! и фуикции а для вс()х ( ,э сл(дУег и(«.,Р) ==- а(г, „" + 2х). а?(з)) должна быть пеРподи ик ки продолжена иа -ос: «,".
+Ос с периодом 2Я. Рс(поп(!с. 11яй,(<'и спя'!ала пс1ривия)(ьпы(' '(си тпые р('.шш)иЯ Сравнения Лапласа в круп вида й(г)Ф( 2). Подставим что произ- Л() (;) вод(ч!И<1 в уравп<и!!( и 1ха)д<ьшм ш о па, . По()и ра)де- 7 . и)пия перехпчпп !х полу !им две )адячи г<дя отли шых от тожде- сп)епного нуля функций (1)(ф и Л(г): ! Ф".(+ЭФ =О, (? ( <?Л1 « — г — =ЭЛ.О ! <а, Ф(") =Ф(;+ 2-).— х: <,р <+х., Л«( <!1 ) < подлсжяп(пм опр<дедешпо !иряметром у,. При?< с О перво,(ических репи ний Ф(р) пег. При Э > О общее репи ние уравнения имеет вид Ф())) = А(оя(ч(Э т))+ Вя<п(Бт).
а условие периоди шости.<я( т ч)Э = и = 0,1.2.... )Итак, прп каждом ука)яппом и Ф,,(з)) = А„(ов(гь,".) + В„в)п(г(<р) и(комьн реш(- пия. <?гп(х)гг<сп*по1?(г) !<меем уршяи ипс'л!б я?Оа 1-й„й гН, — Уй =. (?, которое замепой независимой переменной ! ==- е' сводит(я к трав(ипи(О с ПО(тОяппыми ИОзффициспГями О !пОсит(с1ЬПО Л =.
=- й(г(р)): й„„-.?(Э? =- О. При Х = О имеем Л =. Св + Няр — Ся ?- + ЛП1пг, где С!) и Н„проияво.п пьн постоянные. При Э, - О имеем Л = — Сп х' + Не"х' ':.= Сг 'х + Нг". З,(есь Си П прои)- вольиы(1 постояппьн . Функции !п< и « '~, ? ?» О имеют особы<- ности при г = О. 1аешая <ип ц!«(р(")п(юго (тда"(р е к!)!?Яс, псобходими их о гбросить. Т( ИСРы"(А,,<окпз) + В?„Я(!)((„"), и = О, 1. 2..., частньн Реше- (п!я урявиеиия .. !апла(а в круг<., я в силу;!ип< й!«)<ти у рави< ипя и (г.
е) =- ~ ~г" (71„()ов и,„" + В„в)1$ аз)) (3.2 1) О е(О обще($ решение. ДСь( пахождепия решепия и(ходиои шдаш 1(ц)их.(с НОДНГавим НО.11 и'и!и 1Й ряд в кра('15ос' услОвис' и ргв)лО ж(и( $( ".) н ря;1 ФГ1н е НО ('1лс1('м(' сину!хн5 и КОсиыусов. (1)ормал)нн)с реп)шпнс П Н(7)~Э) =- — + ~' — ((С„СОВ П: (7 + ()„В(П71))), а 1 7-, (де о.„=- — ~ )'(с,)Н,: () 1 ' . 1 ()„= — ~ 1'(с)(ок $$1,(1(~...1, =- — ~ $' (с)в)и НС(Х(, ° в г За)(сечиние,У.11.
Р( шение, построешюе в виде ряда. можно пшисать в виде пнт(грала. который называется ингпегралом Пуассона. Д,ь( )то) о подставим выражеш)я о„и 3„в ряд. дак)- шпй р( пн пие нреды(упц и задачи. Поменж)м норялок (уммпро- $)ания и н)(тегр!ц)О(5)и(и)1. То)т(а н(г,;)== — ~ 1(с) — + 2 — ) (ов)!(ь) — Ц (1(,. Для прс- 2,, а () П ооразовани)1 вьд)аже)п(я в (1)$(гури)!х ~кобках вспомним. чго 1 сова(сй --с).-- — (ехР+71(з) — С)~+ с)хР~- $н() — с))) ()' мнимаЯ ( лиши(а), у (тЕМ Условие О « — 1. зани( ывая суммы $и(СНОВ ДВУХ а геохк гриве( кпх 1(рогрсссий с о знамшителя ми — ехр 1 Еш (;, — С)). а $1 Ре)Ульт тгс вместо РЯ, (а ФУРЫ Решспис п(7.
зз) полУчитсЯ в вил() ин1ш 1шла: ) ~ /'(с) (1( ° 2я" г) -2).а()ов()е — 1)+а) а 3.7.5. Задача Дирихле вне круга 11 области 0 < а < г +х.. О «,". 2я (71 „) полярньн коор(пнагы) на)!о ваитп (армонп некую фу((кии О, рсулнр)(у)а на 163 бгсконечностпи. В двумерном случае это требование сводится к ограниченности искозюго решения и(г,,р). Разделяя перс мснные в уравнении Лапласа в полярной систехсс координат. Необхолизсо;( теперь отбросить!пт и ге). Х ) О. Решение уравнения Лапласа > вне круга.
регулярное на бесконечности. надо строить в !зиле 1 и(тдр) = 2 т "(А„соя пса+ В,, тйпт>„)). (3.22) 1 п-->> Рас'кладыВая В ряд Фурьс) ПО сиспуз!с: синусОВ и КОсииусОВ за.1анную ири О р '- 21 пепрерывиук> функцию 7(,р) в краевом услотзии тз), = 1' (1(0) = 7(2т)). найдем все А„и В„. Учитывая, что 0 < — ( 1.
запишем построенное формальное решение в виде 7' интстрала Пуассона: и а(г„р) =- — "+ 2 Ц (сс„соя т!э-. + 3„В!и ар) =.- т-, 2т,', т'з — 2 ге сов (.р — г,) + а глс о„и 3„. коэффицие)ггы Фурье фун!сции,т. ° 3.!.б. Задачи Неймана в круге и ане круга Эти задачи нс содержат информации, позволяющей опредсн лить коэффициент Аа в решении уравнения Лапласа в полярной с истсые КООрципат. ди Полставим рял (3.21) в краевое условие — = д( -,) в случае дг, „ Вну!Рснней за,1ачп и разлОжих! фупкцшО д В ря,с Фур! с, )чтсм д ( р) 71р = О. Тогда в (3.21) можно опрелсзлить все А„и В„, и = О. а В случае внспигей задачи ищем гарь!оническую функцию. регулярную на бесконечности.
Подставим рял ('3.22) в краевое д77, устюВис — = д (р) и раз!10)к им д В ряд Фурье, 1 ! гсз! д(- )„,„ д(р)71т =О. Тогда в (3.22) можно определить всг А„и В„, а п ~: О. ° 3.7.7. Задача Дирихле в круговом кольце В полярной пи теме коор„!ипат а.га сала и пме( т вид (ли =- О, а < г < (), 0 < „". < 2ш а(а., -) = (!(»), 0 <:» < 2та и((). »):= Л(„-.). 0 <» < 2"1.
Буд(м ('!итать, по пепрерывньп) (или кусо !Нонепрсрывпые) функппи (!. ( Нсриоди нзскп продолжены на — ъ. <,р < -(-осч и а(г.,„) = и(!),р + 2Я) для Всех ах Рс(аспас. Ргазделяя переменные. ( иона получим дв('задачи для определения функппй Ф(.р) и Л(г), которые нс отлича!отея от случая. когда областью был круг. К!)кп( решения Л(г) тш!срь следует и(поль ювятьу Очеви:(но. и о в колы(( следу(т учи тыва п пп) '1ш'гп11е р(11ш)пия Л(1), НОскО;!Ьку в кол! П(' Они не пме!От О(О- бепнос!сй.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
