Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик - Уравнения математической физики (2010) (1127878), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Усс)овие рявпомерпого стршшеш(я к пу.)ю вй беекои("п«к )и пужио:)ам( пить требовя«ием сущ(с твоея«пя ко)« *шого предела решшпш Вй бе( коне шоези. '! о)дя подходит реше)ше и,(г) ==. 1. ° ПОс') ы)Овкя зйдя !и О пйхОЖ,)(.'иии м'нл()е)л'л(скоясз Хнлошп)ял ВО ВиешпеГ! задаче Лирик, н" на п.«)скости требуегс)я Найти фупкшпо и(М). удовлетворяющую уравнению Х(апляса лл и = 0 в и( ограничешюй об шоти О'. Непрерывнук) В замкну)ой об)асти О' = О' з Я. припима)ошукз Ва гряшще )ад шиьн):зиячения и(Р) = р(Р). Р ~,5'. и ояХ)с))лп нлн)линз на бссконелплос)71(л (здесь О' = ЛЛ) О: О ограпичеиияя облас"и с границей Я.
К,пп:си «скос решение и (ЛХ) е С (О')ш Сл (О'), а зя ппошяя с го функция р (Р) е С (Я). Теорема 3.14. Впс шпяя )яда )а Дирихлн на плос кости можст иметь пе более одно)о класси )е( кого решения. рстуляриого «я бесконечности. Д(зна(зс)п)е.ль(77160. Пу(гп су!цестВукзг дВВ к)1ясси'неких 1)(и«'- пии В1«'.Впн)й зЯДЯ'и! ХВРихсн) п)(Л1) и 'ил(И), ')з(х (Л )л, (ЛХ) =-11, М е О': и, о С (О') гз С' (1)'): о,, (Р) = р (Р), Р е Хз';р (Р) Е С (Ь ).
)7),(ЛХ)) < Я 2, ( —.. 1, 2 Л) == (опя1 Функция и)(ЛХ) =- )л)(ЛХ) — ил(И) удовлетворяет:зада и Ли) (ЛХ) = О. М 6 О': )о 6 С (О')Г Си (О')1 )а(Р) = О. Р Е Я; ))777(М)1 < лу. ЛЗ) =- сопя1. Выбсрем внутри обш)сти Ото )ку ЛХВ и построим окружность Х1)а радиуса с) с пе)пром в точке ЛХ„целиком лсжашую внутри О.
ПУсть Лпил . Расстояние межДУ точками ЛХЕ О')л ЛХя. тогда ХХяя„ функция и,„(ЛХ) =- 1п ' ' " гярмопична в О' и положительна в О'. о 153 так как 11)с)), > а. По(тРоим окРУжность Х~а с цептРом в (очке ЛХи, содержа)цую )чранипу )' внутри себя. Введем функцик) Хми,, 1и и) (ЛХ) = — Ю . Она удои )отвори(')' у'слепням Ь)()(ЛХ) =- О, 1п— ЛХ е ХУ' (де 1У' - облас))ь )аклю'и иная между грашгцами Я и и„(ЛХ)), >О и и,,(ЛХ)(, „,, =-)))'. Функция и)(ЛЕ) удов- :и'гворяет условиям )ли)(ЛХ) = О. М () 1)", и)(ЛХ)! ==-0 и и:ь !и)(М)!~ „, < )у.
~')о(М)~ < и)(ЛХ) па границе области 1У' и, сле) ги(~" довательно, в силу принципа максимума)ри(М)/ < и,(М) век)дн в области!У . (Риксируем точку ЛХ и устремим 6 в бесконечность. 1нп и„(М) = О., следоваг(льно, си(ЛХ) =- О. В силу произвольности —,х вы бора точки Л1 получаем и)(ЛХ) с— е 0 в ХУ. ° 3.6.5. Внешняя задача Неймана на плоскости (ХУ с ЕЕ'-') Поста)вовка задачи о нахождении классического р(*шеьн(л: найти функцию и(М), удовлетворяю)цу)о уравнению,.'1апласа и == 0 в неограниченной облж ти Х)', удовлетвор)пошую условик) (Хн (1') =- ))(Р),Р Е Ра и рсгрлар)гйк) ни бесконе'(носи))) (здесь (О г) 1) =.
Жг ': Хг; 0 о(рапиченная область с гран)гцсй ()). Класси и скос решение и (ЛХ) е С) (Х)~))З С) (ХЕ~). а задак)ьцая его в крае вом у(ловии функппя и(Р) с С(()). Теорема 3.15. Класси н)скос решение шк)шпей зада )и ЕЕей)- мана па пло( кости, ограниченное и регулярное на бес коне*шости. определяе)тя с то шостыо до постоянного слагаемого. Докиоа)исльсп)ео теоремы основано на прим(пении первой формулы Грина к регулярной па бесконе пп)сти гармони )еской функции в неограниченной области 1У. Пусть ЛХ=- ЛХ(л, й). Если и,(ЛХ) и и,(М) два решения внешней :)адв')и 11ейкн)на, 'го (1)уи(п(ия )о(М) == и)(М) — иг(ЛХ) р(ч'ул)ц)на пв бе(коне пк)сти н удое)нтворяет задаче 2 ш(Л1) = О, М (: 0'( 154 д?п(Р) =- О,Р Е 5.
Рсшсш«этой задачи п>(М) е? С' (Р?')г> б'-' (!. '). дп, 1йоэтому к фу«кпии ш(И) можно применить первук> формулу 1 рипа: О ??>(М)!з>? (М)>1л?1?> = ~ и (Р) — И1>,-- , ди>(Р) див — Л (дта?1 и>,йгт1и~)?1:???1у. и' Отлог!а 11>т>?!и:: — О в 1У, т.е. а>(Л1) =.= сопя! в 0 (из су>пегтвоввпия у функций ?й(М) и ит(Л1) конечных пределов при М вЂ” х, ?т>сдует только, ?то существует конечный предел при Л1 —. оо и у функции ?л(М); ио он.
вообп>е, це равен пул>о). ° Залтечание 8.9. Дз?я сущг>ствоваиия решения виепп«й >ада ?и Н?>ймаиа в К>, 1>егу;>ярпого иа бесконе >нос>и, и!.обходимо вы«о:шеппе условия ~ и(Р)?11 = 0. В З.б.б. Внешняя третья краевая задача на плоскости Постановка зядачи о нахождении классического решсппл; найти ?1>улици>о и(М). удовле>воряющую урависшпо Лапласа ди(Р) .з?! = О в иеограпи п>иной области 1У и условию + д?> ?-1>(Р) и(Р) = Ч(Р) при Р Е 5., гд! О(Р) г= С(б): 1>(Р) ) О, 6(Р) е г- С(5) (Й(Р) и?> равна тождес'?пенно иу:?к>), и '>виже рс??Р?лр>???>1?о ип бесконечности (здесь Й' =-.
>к! '; В: В с>грипп*«иная область с границей о). Классическое решение и(М) Е С' (1>~)гз С~ (О ). Теорема 3. 16. Если фуша в!я 6( Р) > О и не равна тождественно нулю, го внепшяя третья краевая задача иа плоскости может имсп»«бо >ее одно>о клш гизев«ого ргп«иия, регуля1п>ого на овско>н"п>о!'ти.
ДО?са>ю>л?ои.с?пг>0 пров?>г>и! ся ана юги >по до««за>?:>ьс!.Ву д:и! пространственного случая. Аналогом равенства, (3,19) бу;шг равепс! во ~ 6(Р)ш?(Р)Ж>, + Ц (йга?1?шйга?!??>)?1г?1?1:=. О, (3.20) в ?>' 1;»; с „се ЛХ =- ЛХ(х, у) > шн рь яв:шется точкой на плоскости.
Из (3.20) следует дгас(из=0. т.сь си(ЛХс .= сопя(, и ~ Л(Х')зиз(Р)сПп — — О. Отсюда си(ЛХ) = О. ° з1 Замечание з.10.,1оксезйнньн теоремы единственности ре- Ф шений внешних краевых задач справедлшзы и в случае уравнения Пуассона: Сзи = -Х. При этом надо полагзпть что функция (достаточноо гладкая н отли ша от нуля лнспь в некоторой ограни- сенной области. В 3.7. Решение краевых задач для уравнения Лапласа в областях простой геометрической формы методом разделения переменных 3.7.1. Задача Дирихле в прямоугольнике В дс кар совой систс мс координат Оху на плоскости Л сс (.з:, у) =: сз,, -с „, = О, О < х < а., О < у < Ь: и! „.-.= Х; (х),() <.г < и. сз~ = Хз(у).0 < у < Ь, сз(,:=- Х:, (г),0 < х < и. и) „= Л (у),О < у < Ь.
Онреде;ншп и краевым условием зна.н.ния п(х, у) заданы на грйнизш ссрзсхссзус сзльсссскй са'.~ Хзе1зывнай ((зздскзззсесь Раин"иш.. Из трсбовання нессрерывносггн краевого условия имеем: Хс(0) = Хс(0), Х,(а) =- Хз(0), Хз(Ь) = Ца). Л(0) = Хс(Ь). Для упрощения задачи сна зала сделас.м заки'пу искомой функзсизс сз, = и+ В так, ч гебы новйя нензвестнйзс фусскс(ия з.'(х, у) бы.,сй гармони ша и ооращалась в ну.ть во всех вершинах нрямоугольпика. Функпию Г сса.(о подобрать из соображессий ее простоты.
Выберем (Х(зз у) = А + Вх + Су -~- Нз;у (проверьте ее гармоничность>) и най;им такие коэффициенты А, В. С, ЛЬ чтоозя в задснсе и,, +юг =00<з:<сзО<у<Ь, сс! „=-,,",, (т) = Ь (з') — Г(зХО),0 < х < а. '1„., =-. ((Х)=Хз(Й вЂ” ХХ( У) 0<У<Ь. 1бб е), = .р; (х) = ~, (х) — с' (х. Ь), О < х < а, г~! „ =-,р~ (р) = /,(у) — Г (О,у).,0 < у < Ь краевые условия во ьт ех вершинах обратились в пуль: Д, (а) — Я, (0) ~, (Ь) — ~, (0) Д (а) — Д„(0) — ~ (а) + ~я (0) аЬ З'еперь задачу для в можно разбигь на более простые: е = е, -,- нг+Ъ+д~ где .1и, =О, Ле, = — О, г,/ „=О, н,/ „=О., ':3!~,„0 гд! , = О. '4„...,, =- '; (х) а/ =-О, и~) „=О, '4,е=р Ь) Задачу для и, будем решать методом разде н.ння переменных.
Найдем нетривиальные частные решения уравнения Лапласа в прямоугольнике вида Х(х) 1(у), которые удовлетворюот трем нулевым краевым условиям. Подставим это произведение в уравнение и в указанные краевые условия и разделим уравнение на Х(х)1(.): ."'«(х) 1 ~ Ь) — =- — Х = сопят,. Х( ) 1Ь) Получаем две задачи с параметром ус < Х,",, (х) + 1 Х = 0,0 < х < а, ~ 1'„", — Х 1' = О, 0 < у < Ь, Х (О) == О, Х (а) =- О, ~У (Ь) = О.
Ьо, =О, с~~„в = А (х), г,,~, =О, и,! „ = О. ю,! =-О, ,Ью2 = О, и2(, „=-О, 1,.„= -" Ь) н2(, =О,, ю,) „ = О, тп(Ь вЂ” у) [<[[у к
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
