Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик - Уравнения математической физики (2010) (1127878), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Начальная температура !тержня равна нулю. Козффициент теплопроводности ст!)ржня РНВ1 и 1. Найдите температуру стержня нбй «) и ее пр)тдельное расгцюдсление при « --) тзч 14. Боковая поверхность однородного стержня О < я < «!снлоизолнрована. Источников теплоты в нем нет. На конце х =- О внутрь стержня по«йится п!)ток тшшоть! с п)ютностьк) 1т' =- гоня! > О, а на ко)ще х == « ! акой ж) !В)! ок г! н !оть! Направ !сн и)! тер)кня.
На !Вльню! ).ехн)ср)с!ура стержня равна пулю. Коэффициент теилопр!н)одности с.)ержня равен 1. ННХ!дип !емнерат1ру стержня и(х. «). Какова ес зависимость от !,, времени при я = —" .Най.«нге про,нлы!ое распределение !емнературь! ') при «т:х). Какому урашк нпк) и каким креи выл) угловням оно удовлетворяет". 1б. Решите задачу и, == а)н„., 0 < .т < 1, «, > 0: и,(0, «) == О, и,(Е, «) + «)нЯ «) = О, !1 = соня« > О, «> 0; и«т) О) =..Р!Х)) О < х < Е, методом разделения псремешп!х.
Ук)манна Поставь)е:)ада !у Штурма .'1иувилля. Найдите общее решенно уравпешь) для ц)ункции ХО!!). При каких Х можно удовлетворить краевым ус.,!овнам выбором постоянных в зтом решении? ПолуЬ чите при Х > О из право! о краевого условия уравнение «й()К«).= относительно Х.
Вьшо:ш!пе в нем замену О = )%. Нарисуйте графики сопят функций «НО и ' ' . Как найти собственные значения задачи О Штурма, 1иувилля.' Сколько пх? Какова асихштотика Х,, на бесконсч- эхти? Най,зите собственньн функции шда ш Х„. Обр!Гзук)т ли они ))р гогоначьну)О гнетему? Найдите норму каждой соз Ютт ПНОй фуикщш. '1)з!))!сит ли ~(Х„/~ от паРаметРа !)? Во гго ПРенРаюпсЯ /)Х„~~с 1!ши по!))жить Ь, = 0! !Зо зтз) прз вр!Г!Итси правое крыс во«условнз При !1 — (з? 1'рваните решение ЧГОй ЗадяЧИ С р«Ш«НИ«м Задачи при Ь =. О.
16. Орели, в которой яаходизся одноро,зный ст«ржеиь 0 < .Г . НМ!11 ПО« ГОЯННУЮ тз М)И Р МУРУ иги.. г НЯ бОКОВОй ПОЯ! РХ!КК тн ! ГЕРжни ирои! ходит т«плообмсн со средой по закону Ньютона. Др) ! Пх ин! шних што шико)з т«плоты нет. Левый кон«ц Г!«ржня теплоизолирован. я 1)равый поддерживается нри постоянной те)шературс ип„. „,, Начальное Р!ППРелслепие телик*РЯтУРы 1теРжнЯ Равно ии == с!Пж!. .1а!ш)нитз л!я!)мяти иск)!о но«генсеку Ягой зядазп: и.згт ли рз"зь о злассическом решении? Найдитс темпзрат) ру Гт«ржня и(х, !) и сс !)р«д«льнос распределение при ! — + с.
17. Ознк)родный стержень с тсплоиюлировашзой боковой поверх!ик зью пацк вист«я исто*шиком тсп)лоты Постоянной мозпно!"ги, равном«рно рясирз:1елеш!Ой по Вез му !"Г«ржзззо. Н ня зачз,н),)Й моли и 1. Врз мз*- и и ) 1)лнзз)ряГуря стержня раВна н)зч1О, я НОнцы «11 ржня Вш Г ча НО)в1«р)ан!ЗЯК)тз)Я 10)И НУ.ШВОЙ !ЕЛПИРЯГУР1. найдите температуру стержня и(х, !) и ее предельное распрсделснзк 1)ри ! — ) -з."с.
18, Однородный стержень с генлоизолировялной боковой новсрхноз тЬЮ НаГРГ В)нт СЯ ИСГО ШИКОМ тЕПЛОтЫ ПОС ГОЯНПОй МОЩНОСЧИ, РаВНОМ)Р- яо ряспред!"ленной по всему стержшо. Н начальньш момент времени ! «мп!9)атуря 1-!)ржня равна н)опо. 1;ошзы сз! Р)кня теплов !о)!иренины. Найдите температуру стс*ржня и!х, Н.
Сущз!твуст ли коне шый йш и(згд) ) 19. Решится задачу об остьпшнии однородного тола кубической фор)ш!, равномерно нагретого:)о т«мнературы )М =- сопя!. Нг)о шик!в ш- 11,)о!ы В тс:н !шт. Ня 1р н)изп !«:!я Во в! «мол!«нты вр«мшш Г:. 0 поя!с!»кивается нулевая темп! ратура. 20. Однородное гсло имеет форму прямоугольного парялш лсшни— , !я 1) .=: !О =..Г < 1,,0 < )З < !).0 « = (ч) в Охра Его грани и = 0 и =- lз )П)ЧДСРжИВЯЮтСЯ ПРИ Н)Л! ВОй т«МПЕРат) Р«. аО! !ЯЛЬНЫСтЕПЛОН Ю)ИР))- !)яны! ПГТО'нзикозз 'Геп,1ОГы в млп' нетл Ня'1альная '!«лп!з'ряГуря 'Г!'ля хух раина ие — ', и„= с!ПЫ1,.
/1!)). Найдите температуру тсля н ее Предельное раснр«дслсшн* при ! -. +Ос. 21. Нячв)п,ная т!)мпер!1)ура олнорозпюго нюра с радиуз ом г, равна из, =- 1'Оияз,. Но ВСГ'. молизн'1Ы ВР«мз'ИИ ! ) 0 НГО НОВ«Рх1)ОГ"П ИозвзззржиВ)з) гся нри ну.ивой т«мнзратур«: источников теплоты н шар! н«а Найдите температуру шара ири 1 > О.
22. и, = и, и„, — эс < х < + ос. 1 > О. О. —. ос < .г < — 1, и1х.О) = то 0«) = ио = сова« си О.— 1 < х < 1, 0 1 < т < + зс. Найдите сс«х,«), 1пн с«1 — 1,1), 11ш и11.1). ьо ° с о 23. Однородный полуограниченный стержень О < х < +х без игточников теплоты имеет нулевую начахп,ную температуру.
Его боковая новерхноссь теплои:золирована, а конел х =- О поддерживается при температуре ио — — сопя« х 0 прн 1 > О. Наидите температуру стержня сс«х, 1) во все моменты времшш и 1пп и (х.«). Найдите поток теплоты через конец х =- 0 при 1 > О. 24. о =- сс,ои . — Ь и — и . 0 < и < ч-зс, 1 > О. ( о) 1с = соссвс > О. «с(0. 1) = и„= сопви 1 > О; и(х, 0) =. О. О < х < -ь ос. Дайте физпческусо интерпретацию задачи и решите ее.
25. Конец х =- О однородного полуограниченного стержня 0 < х < +х, поддерживается при температуре ьо .=- сопки Начегн,ная температура, стс рзкня о„2. 11оковаи поверхность стержня теплоизолирована, источников теплоты в нем нс т. Найдите температуру стержня в мамонты времени 1 > 0 и ее предел при 1 — +ос. 26. Найди ге решение и1х, 1) с лелукнш й зада'сн. и, = ати,.„. 0 < х < +х. 1 > 0; и(0., 1) = О., 1 > 0: и(х, 0) = ивяпх, 0 < х < +ос. Найдитс !пп с«1хз«). 27. Найдите решение ибг, «) следующей задачи: и, =- а" и.„, 0 < х < +х. 1 > 0; и,(0, 1) = О.
1 > 0; и(х, 0) = иосоах, 0 ( х < +ос. Найдите !шс и(х.1). 28. Исходя'яз разложения рспюния следующей зада ш в ряд но собс с«к нссым фтпкцияхс, нейдите ж фусскспскс Г1оисса: и, = а~«с„, 0 < х < 1. 1 > О., и(0, 1) = О, и(1, 1) = О. 1 > 0; 2 ' . оп . топ сс(хО) = Ь«х -Ц).=.дд~ вш —,гвш — '1,. 0 < х < 1, 0 < с < 1. 1„, Глава 3 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ЛАПЛАСА И ПУАССОНА Выделить конкретный (ггяционй!Н(ый проне(т.
Пр(хгекяк)п(и(! в заданной области, х(ожно, например. с помон« (о и( которых услоюлй па ее границе. Такая информация о стационарном про((г(се приводит к кра( вым;!аллам дли уравнений,1йиз(ася или 11уассона. Полно( исследование корректности этих задач можно полу!и(Видз.((ории Фред)о.(ьмй. (ели сь«ктн крейн;к) зйдйчу к нпт(!— !р(го(ы(ох(у ура!!пепи«), Теория и)п.()(рйл! Ных т!)йв!«)Ргий (1)редгольма, и! рвет сугцественную роль В математической физике и изучается в отдельном курсе. В данной главе основное внимание уделено матемаплческим (юс! ЯНОпкям кря(вых зада'! и с(ок()зятсг(ьст)зу (дипстВеннОсги их реше(ьий. Тля этого подробно изучены свойства гармони «скпх функций. Рассмотрен также вопрос о е.(инс))зенности реп«)ний к!)йевых:задач В Ограни'«'(СНОЙ Обз)й('3 и для бигярх(они'«'скО!'О уравнения и для уравнения Гельхп ольца. 3.1.
Краевые задачи для уравнения Лапласа. Фундаментальные решения уравнения Лапласа. Пример Адамара 3.1.1. Краевые условия Кйк отм(п)я. (Ось В ! л. 1. дн(1)фер('нц)(я)попый Оператор (да ==- '=: (1!го)тп! и называется операп)орол( Лапласах (д(( =- О . уравнение .Талл()са: это уравнение эллиптического типа. Ряссмогрим удовл('творяюьцие уравнению Лапласа действительные функции и = и1ЛХ1 точки Л1 в прострап(тве )кз или на плоско( ти 12б Определение 3.!.
Дважды непрерывно, (ифферснцируемая в (бл(илг!л ь)функция л((М), удовлетворяющая в дуравне!ли!о Лапласа, пн.п,плаегся гарлзоничесз(зоб в этой области фрньзциелл. 13 гл. ! Показано. )то к уравнс)плю Лапласа приводит описание многих гп!(ИЛ((пии!)5(((хс физи*н5ских процессов и явлений. На)0)и- .'1 хн р, урви!»нию Лапласа у!!о!злст)зоря(зз и» завис яигая от времени температура в однородном теле и.ш в о;шородной пластине в о ггу"1 ('тВП(' истО'(ник015 '1'('.плОты. Ура!звени(5 Лапла('а Вьц)ажаст отсутствие источников в рассматривасли)й облщ ти.
Ес.пл жс такиг исто шики им»к)тся, то вместо уравн(ния Лапласа полу !им ;! уравнение !)уассона (хл! = - ). Для однозначного определения искомой функции и(ЛЛ) в области )д требукзпся дополнительные условия. Чаще всего на ! )ранице Ь области й »гав)и ся крпевьщ рслонпл одного из слсдую(пих типов: 1. В(Р) =- р(Р), !' е ()' (первая красная задача); д~ 11..=- н(Р) (вторая краевая задача): дп г;х ди,(Р) 1!1, и + 3и (Р) = у, (Р), Р Е,5' (обпщя ллли третья краевая дн зада )а), гд(! О + 3 ~ О, (х ) О, 3 ) О. 11„)и (к ,'1, з( — за.ла!лили) фу !(клич!и ди — производная функции и((ЗЛ) по анен!ней нормали к гранидп ЦС О'. !1»рВу)о краевук) 'за)лану' на;)ыВак)1' зада'илй Дирих.пз, Ви)ру(о :за,ла и:й Неймана.
1Л зучая именно третью краевую задачу, будем ноз!Вга)!н *!ТО (з(Р) — 0 всю,лу на Я. '!о!да к!»)свое ус.н)ви( ди ди 3 О + 3и --= Х можно занисат! В Ш1дс — + !П( = !1, г!и )л =- —, дп, дп о :л 11 =— О Есз(и р("шщ!Ис;зада")н и)ц(зт('я В ограни" !(!шой Облас си, го зал!а'!у па зывакп (5)лу)г(ре!5!(ей, если же вн( ограни н иной области, то внешней краевой задачей. 1 (1!н('ния Всех кра(!)ых задач Оудсы ИОдразуъ1»15аль класс(Г(е(тг(!ми; зто наклал(1,!на(гг О!0)(.д(ленные требования на по(лтановку задачи, Слслуел отметиты по многие практические задачи не удовлетвор)пот таким требованиям. Это приводит к н(обходимости обобщения понятия решения.
126 3.1.2. Внутренняя задача Дирихле Внутреиияя задача Дирпхлс имеет впд л,и(ЛХ) = О, ЛХ Е О, и( Р) ==- р ( Р), Р е Я, Пусть 0 — - ограиичениал область (в К' иш в К) с достато цю гладкой границей Я (.'Х замкнутая поверхность в К' или Я :амкпутая кривая в К-). Постюввка задачи о нахождении класси сосново угешеш~л: найти функцию и(М)., которая определена и непрерывна в замкнутой области 0 =- 0 ',з Я, удовлетворяет внутри области 0 уравиеиик~.1апласа Ьи.= О и припимает иа границг Язагцшиьп ша и пия: и(Р) = 1~(Р). Р б Я. Таким образом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
