Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик - Уравнения математической физики (2010) (1127878), страница 20
Текст из файла (страница 20)
6) е Щ. В!оберем в полуплоскости О линии .о! =- Ь и к ==. Т и рассмотрим огр»пичен~ук) область «З дк,к =-[ — 1,1.]к(«).,т14«з ==[--1.,1,]к«011'[. 41«(з ' !Зпед!'м пспомогаткстьпук) !))упк!«и«к) о)(х,к) = —,! — .! о к 1з (2 Фу»кипя о)(.г, 1) удс)влегворяе! ур»вц! пию ии == «!)ко,„. Положим 2Кхз 1= 0, тогда о)(зиО).==,' >[и(кг,О)[=-0.
Пусть ~кз = 1, го«)дв и (з:1д) =- 2К +, ' > 2К > [о(ход)[. -1К«кзк . Так к»к область (Кк ) и! ран»чела, внутри чтой об.,пи;ги функции о(х. 1) и «о(,г. 1) уловлстиорявт одпоро,«ному ураи~еишо топ:ипркл«од»ости. а па границе вьшолпякотся у! ловпя; и(х, 0)! < кк)(.г, О) и )!)!',з 1„К)! < «и(хЛ. К). то к фупкциям о(зз 1) и и(х, 1) можпо при- Замечание 2.20.
'Г1хххияи!ие огрй(ш"и иио("ги искомой функ!!ии явг!51сГ('51 (сГ(',('1'в('виым фивп'кским Огрйии'н'вием, (*() И1 а)ОХ, иьн'('т смьн'и 'гетин'рйгуры, И Замечание 2.2Х. 3)ожыо иш )иге п но о(..шбиьь о! р ши нчпн ий рост реш(иия ири ,',г, — ео (при ЛХ -- х, в Я!), откагйшипсь от ирвин !сиво(.ги реиниия гвдйьп Коши. 1д)! )го(о введем клй(с фтикциьь коьорьн вене!у в к. и при всех 1 > О удовш'пврявг (н ршн п( гвйм ~ н(г, 1)! 5Е Ксхр( )ь)) ( некоторыми пол(окит).,ььпыми !юстояпьи аьи Кп !У( ')ги Копре ((. ш!Оься фупкписй в(г, 1)). В ясом к.ьвс((' ф( икьяй сирвие, (ливн 1('ор('мй ( )1иисьв(пи!ос! и. ° 2.6.
Интеграл Пуассона. Существование и устойчивость классического решения задачи Коши. Функция Грина 2.б.1. Интеграл Пуассона; интуитивные соображения о его выводе. Функция Грина Пок!)жем. по тХ)аии"(еииог рги»ение вйдвии Коши дгп! урвв(н иия .Г(п.н)прово,шости ий прямой ! Х5.=. Г(') и, =. а а„. 1!г. 1) г) Г) = 'г(' х (О -" 1 <. +се), (2.33) И(.Г., О) == ))(:!)..Г Е г(1. (235-!) »гнется формулой п(,»З) =- .
~ (» ) ~ф(Х~ 24 В-1 ' (2.3 >) ко»орви ийьывйется интегралом П!Хассана. Об иеишп еде!(твп( и) прппцигш мйксик(умй: ,'!(!1 12 ь а(», Р). 1К(,гг 1 ) ., 4К1»1 (еД) Е Яь ).. и!и —., — -~-а)Ь -",1(.гд)'.: —,, ~ — -)-и)1~. Зйфпк(ИРУем ьоькУ (и.У)ьйг)г! и пеРейдем к ИРсдедУ пРи х, — — ' х.. гоь и» !вшу игм 1)ш ! (г ь) =- О. 15 си ьу ьн )йвп( имо( ти !1 г. 1) (и х, 1 и И1И)и:)во-!ынк'ти вы()Ори '1'О'(ки (г, г) ш'и) ь)' в 06:пи!и () 1'(,,!) Π— О. С,НДОВВтЕДЬИО. иьин». 1) == 15)(Е, Ь) В Х).
И РЕИНИИ( Гй)(В (П ЕД!ШС'(ВЕИИО. ° Х", 1х) 7",(1) — = — — 7, =- <оий<, Х1х) й-'Т1<.) ОТКУДВ Х'„', (х) + Х.Л (х) = О. Т> Я+ )>а>Т(1) =-- О. ( 7.36) 12.37) Поскольку функция,>1х) и решение пбг. О) .>йдй*>и <2.33), <2.34). вообп«*. ! оворя. не яв. шкп< я периодическими с кон<* шым периодом но и< ременной,г, ршнспис >й,ш ш Коши получим не в ви «ряда Фур>с. кйк ><<о оылО и с<у«н >й<й ! >ш о<р<г>к<', и в внш йнп><йрк>й <77<6» с, <>с ш Он суп«с! кует.
Инч<шрйл Фурь< удобно зйписывйть в кол« шск<ч«>й форме. Вьи«шим. при каких логвин< к<7<«с! Х пену, и выс решения уравнений !'7,36) н !'2.37) будут ограни «*ны. Обшсс решение уравнения 12.37) имеет впд ТЯ =-. Ае " м, !.« >шс <О«пинт! Л <>йвисит От Х. Д>я О<17й>п! «пно<<п этого рени>шя при Р > О необходимо по>ре<>овачь 1)ОХ > О. Об>цс< решение урне«ения 12.36) имеет вид Х1х) = В,е '"~' -' —,Вче"л', где постоянные Во Вч зависят от лм ! мнимая едюшпй.
Покажем. что д. ш огрш>иченности этого рс>ш ния необходимо нот1>«бова и 1шХ =" О. К<ли 1шХ . О, го Х = <е"'. гд< О < <: < и илн ;««2><. 1О<дй л<'7 = л1ге' ' " ', <и = О. 1. и <! )<:, ) . !<: *и>+ л:+ й(л<~Ч( с-( — '', (, ! ( — + +). 1Ь>скольку — ~ О и — ~ —,. то ыи ~ — -5- т ш ~ О при и> =- О. 1, 2 ->н ' - «»1л А.).—..»(<г .' — +- ( ( с у:»" о! рйппчсппыми либо при х > О, либо нри х < О. 96 71<<я этого проведем некоторые интуитивные рассуждения.
пель к<и орых устинович ь йнаг«н ик> с мсчодом разделения !«'1к'и!'«нь>х в '>й;[й'<йх нй кОн<в<НОХ! Отрс'>к<' н>м<'ни!ия х. С!ро!'Ос ° <Окй я г<л н стВО фОрм >< >ы ( 7..)о) д>ню в п ..6.2. ')йсч нь«реп«пия урн<>не«<>« 12.33) о>дем иск пь в виде «1х. О = =- Х(х) Т(1). '«Ог. ~)/ < 7<' ==. соня!. Рй>делив «срем< нпь«в <2.33). НО> ! >'! И и Итак., Х =- 1! > О. 1г й К'. Такпь! образом. имеем решения Х ( г) =-.
В(Й) е"'. т Е К', и Т (1) = А (1) е "' !', 1 > (). Искомые ограни и!нньн час гные решения уравнения (2.33) получаем и вале и(т.Ю,Л) = С(1)г"' " "' '.С(й) = А(1:)В®,/г Е К'. Функция (, 1) =- 3 С(1)е ""' а (2.38) и(х.О) =,р(я) = ~ С(!')е'ьг(ъз (2.39) Соотношение (2.39) яв:иптгя разложением функции,р(х) и интеграл Фурье: С(/г) - преобразование Фурье функции,р(г): ('2.
40) Замесим. что формулы (2.39) и (2.40) имеют смысл только при !'пенна:!ьных ар!!дно:южениях относ!ггелъно функции .,". !3, !с!. ! О, э 6/: инте! ра ! в (239) понимается в смысле главного значения. а в форт ле (2.40) шгге!.рал несобственный. Подставим формулу (2.40) в (2.38) и поменяеь! порядок интегрироааппя: ьЬ,Е)=. ! — ! """ "'гЭ!)„-!ъ!4! Ц2.4~) (2!! -х. -х !(закопность этой операции требует обоснования).
Вьгъислим интеграл У(сч3) = ~ е ' ! "!" й, к!перый является х внутренним интегралом в формуле (2.41) при 3-' = а'!. о = т — г,. Д.ъя этого вычислим его пронзводну!о по ц: 97 4!я !ю будет искомым общим репи!нием уравнения (2.33). если этот щсобственный интеграл,:зависящий от параъптров т и й схо.и! !ся в области 1! к непрерывной функции и(г, 1). ограничен в !',,!, н существу!от частныс производные и! и и„. которьн можно вычислять под !паком интеграла. Из условия (2.34) находим 1 А | у ! е Р ) |1[у 23| 'х.
= — —,, е'"" ' + —,, ) |ос ' '" "|й =- — —,.|(оь3). 23'-', 2,'3'-' 23-' С|к';[свят! л ы |о. |[|[Я,У(|ц 3) полу чапо;[ифф||р||апи я| |ы |ое урви|1,1 (||и 3) са пенис: ' ь —, У(о.З) — — О. Вго рсшепие имеет вид до 2!|| ~п~ У(|м3) ==- 11(З)( 11(3) =-У(0,3) = ) е '|" гй = — ~ е ' |1~ =— 1, Я 3 3 ,Я Отек!да У(епЗ) == — с " . Подставляя,У (х — ".аЛ) в форму- 3 лу [2А1), полу шм [рорхи|.[ы|ос реи|е||пс задачи Коти в виде ии[|сгряла Пу ксана (2,35), Несколько иной способ рассуждепий со|стоит в слсдукнцсм. Предположим, что существу |от преобразование Фурье 1 ( 1!) функции |р(х) и прп каждом 1, > О прсобрязованис Фурье и([ь[) функции а(х, 11 (но персмепной х).
Применив преобра[|ованис Фурье к равспствам (2.33) и (2.34), получим задачу Коши для обыкповснпого дифферевциальиого уравнения: ди (1|,1) + а" 1||[[(к[ !) =-- О, и (Л, О) = С (к). д! Очевидно, что ц (1,1) =- С(1!) е " "' '. Теперь. обращая преобря; зованис Фурье, приходим к формуле (2А1). Для обосноваппостп такого способа рассуждений | ребуется предполагать, по при всех 1 ) О функция и(х, 1) удовлетворяет условиям и( [:к, !) .=-- О и и,(.- ., 1) = О.
Введем обозначение С(х,~;!)= е '"" . +[а фупкпия 2Ла'! называется функиией Грина уравнения тсплопроводности (2.33) на прямой. 2.6.2. Существование классического решения задачи Коши Докажем. по формалыклс решение (2.35) является класси н:— еким рсшс пнем за,сачи Коши в Ц =- 1с' х 10 < ~ С+«х:). если функция с удовлетв»ргнлт сстегтвснным требовашлям. Лемма 2.2 (обобгценный принцип суперпозиции).
Пусть при всех Й ( — оч; й < + "о) фупкцшл и(х, 5 й) являются лслсзл~ыми решениями линейного однородного дифферснциальног» уравнсшля ь(лс(х, й сс)) =- 0 с псзааисимымп переменными х и й Пусть все входящие в У дифференциальные олссрации по х и 1 над функцией и(х,с) = ~ и(хчйх)сй можно проводить путсм диффсрснпироваплля по;л линком что«» интеграла. Т~гда фспскпия и(х, Ц удовлетворяет ураннешпо ь(и) =О. Д о к й 3 си у ~ ел ь счп ело. Х Ц ]-= й~ ~ ( ЛЯ)а( —— ~ С5(а(хьййф~1=О. ° Теорема 2.11. Пус'ть .р(х) непрерывная и ограшлчснная функция на шсловой прямой: (ч.(х), ~ ссс при .г й И'. Тогда формула п(ля с) =- ~ С (х,~;1)ЧсЯсК при (х,8) Е С) опредс.опт класси и;скос решслшс зада ш (2.33), (2.34).
Дслксилисссельс тслсх Докажем «упи ствовш|ие и ограниченность с,— х функции и(т, ~). Сделаем замену ш ременной " =- 2слйх + т и оценим интс грал (2.35): ~лс(сз~)~< — ) ~ч",(х+ 2хи Й)~е" й < — ~ е - й =:: У. (2А2) я Из признака Вейслрссстрасса вытекает, что интеграл (2.35) сходится раллномсрно в »крег пюсги, побой внутренней точки (х, 1) области С1. Следовательно, функция ц(х, ~) существует и оссрсиси'илна. Д ш применимости обобшешлого принципа суперпозипии до«таточно доказать, что иптссграл, получшшый форма.,сьным дифференцированием функции и(х,1) = ~ С(х,»;1),р(»)Ы». сходится равномерно.
-~с Докажем равномерную < ходимость интеграла з ~ С, (х,»;1):р(»)д» вокрестпосгилюбойвнутреннейточки(х, 1) е Ч. 3С 1 . (.-»)', Так как — = — — С(х,»;1)+,, С(х1»;1), топужнодоказать дЕ 2Р 4а-'1-' равномерную сходимость интеграча (2.43) в окрестности внутренней точки (х,1) Е (1, „=- зс' х (е.,т1 для любыхе>0и Т)е. Сделаем замену переменной г = —. тогда получим ипте- 2аЛ ' 2ачР1р (2а чЬ + х) / С(хэ г+ 2а Й".,1)( — — + г1) 2 1 г( 1 .,) р(2ач'гх+х) е Уг(.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
