Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик - Уравнения математической физики (2010) (1127878), страница 17
Текст из файла (страница 17)
ито опи выпо.п!сны прп всех 1 > О. Ото!одц! для рйс! мй !риййех!о!! ий'!йл! ио-крйе вой:ы,,лй'!и ио. !у'!л!ех! Х(О) =- О. Х(1) .=- О. !!!об!! иййти ии!!ресукяц!и и;и фуикции Х!и). и»до реши гь крассйухы!адик!) иа соб! ьйн! ьи!ыг,оиьяен их для обыкпов! иного „гифферейцийгп ш»о у)хлюп пия о!!их и!! льио Х! !): ! Х,", ~:г)+ ХХ (л) =: О. О < .г <!: Х(О)-=О,Х!1) =-и.
12.11) 3»дй !и (2.1!) !сйзывй! тгя зйдй и й Штурм»,'1иувплля; в и! й трсбуе!гя найти все пш*ияшя п»р»м! три х. при которых (2.11) имеет и!'!ривий:п,пьп репи пил! Х1а), и укйшл ь вге ег! и решения. Такие шй и иия Х называются собслтлиенными значениямьь и !иве !шо!цис им Х,'х), ис р»йиы! !ож;ц.с!вгв!ш иу.!ю. л!обстпвеллными фуниццямлл зада*!и !2.11) )оии оцрг,.!е.» иы ! го шостыо до !и иу.!свого посто!шцого мпожп ге;ш). При Х < О об!цсг репи ии! дифференци».!ыиио урйвне!цш в!ороси поря !кй и 12.11! имеет впд Ас ' " л- Ве' ': и,! крйевых уг.
овий в 12.11) по.!у шем А =- В == О !ироверьге!). 1)ри О оО»!ее )х'иц'ни!' у Ой»пеппи им!'.с!' »ид А.л: + В. й ио, !стйиоик» ют» кр;и вые условия сповй,цн л А == В = О. Б с,!у иц Л > О обще!' рюигши,!иффере!ший,.!ыии о урйвнеиия имеет вп.! А соь ~ч ) ! ) + '1 йш 1х мл ). й и ! кр и вых у (! ююлй !!о ! '!й! м А Вып (х ) 1) — О. 1 !егь пе и зя по !ожить 11 = О: ци гер! стк»пи! и и шй и"ния Х цйй,[ем !ю !нх.илии !о триго»ох»три'»»кого урйюипия.
Дл!я р»ссчнтрпвйемых крй! вых условий !и рвого род» яп ! 1яп, Ег !и !й!» ш )Птурх!и ., 1пувп !!я репи и». то у)живец!и,си! !11) ий и! )х и!йть го и ко ири ц х ' . ко!(ср! и окй3йлись гобс! в! пиыми !нй и.нпл!хи! зйдй*!и,!лх! Х1,г),!1рп кйж,!ом тиком ),, и».!и ийй ги обще! р! пи ингур»вненпя о пня и г!.п по Т!1). В сп !у.!иие1|- ногггп исхо,!иой зй, лй !и ! умма прои'зв!гд! ппй Х,,1л) Т„! 1), !цвг'и!ил!цих р»!.шипым Л„. будет удов,и'!»орлы ь у)ив»с!и!ю в юггны: ирои !водных и иу:и вым кр»! вым ус.и!виям исхо,!пой ий !й.!ы!окр и вой !и.!й !п. '1!обы !иий!!и окоп !йтг.!ыин ге рс!э пю. !ш,ю »! и!р ггь кок!хРиии! !мы т!ой л!ии Йной комоп!иции. и! хо ш ш! !и !йюш !о! я !»!кй и иююьсювйши их! цй ш шпо!о угиишя. 1!!!ыми г, шв»ми, из вю ю! г,!ожцы; реишпий игхо.шого ур»юн'ция ((г./).=- ~ Л„р!!) Т„(/).
кон)рьи у,(()в «тво/ииог крйевым )((лои>ям . И»ЛО (ООО/)»1ь (.«ик"пк ии(к р( ии)ии(, ) доил("1 «0/>як)и!((> «:еи)мьпому уело«ик>. Лг!я рй((мигривйемых кри«ых ус,ижий и(/«гого />олй иолу ии м /-„ив '1;, (/)-=: /'„ехр1. ) — — ~ /, С„-.— (Оия!. и =- 1. '2. 3.. и с/!Ов)!ство/)я!Ои!Ие краевым условиям об)цс( роше«и(,рйв!и- ,1 и)я т( и.!опрово,иик !и и(т./) =- ~ Г „ь(п~ й;гсхр! — ~— /,' ~ / /'о)())фици( и! ы с',. мож!и) иййти и«ий !й,>1,«о(о у(л!««ия /пп, ;/>д/) — ~ ~с,, вп! — г: т".~г).
д.!и »того и».!о Ри>.!Ожи'!'> Ки ьии!Ук> ий //). // ()))'икциго гбг> « /и!д ФУ/)ь(' >и) ('ист()хи' фт икций '.),/).)) и у ". 1: ! '« ', /к...; р /пп !и-ц ме в!и/ —.г' /. Тог/!и С„рйвиы к(ыффии!иеитйм грурь( ей икц!и>,;,/))/ ио си( г( м(' ) Х,/.г) ).
П(к тро(» 1«ое репи ии(' яв (ж'!Тя иокй )иппь фо/>малы~! !)и ий/ю ;це:к>к»в»ты по опо т;и)иле! воргк т гребок»виях!. Ир(;и яв:и»- :ым к клйсси*!е( к>ги /к ии ипям. В и(с! «оп!и. И>с)о локй>йть, по ;, лу и!1«ый фу«кцисигйльцый ря,! можно ги) !.й и«о /и!())()яр( и!«цк»с» ! ь ИО / и лвй рй >й ИО .!. ь ся в)(» о иуж>и ! искоторь«' р ! .« ' . фу (ции.,-!',)). 2.3.3. Ортогональность систе>иы собственных функций Р и'кл».!ывйя р('ик'и!!(' и»'!й.!ьио-кр)и'«ой 1» ии>и в ряд (!)ур!.( (>о собс) ьк !Киым фуикпиям Л'„/г/, ир(дно«ай(м. гго ьии;и ио и(- ко!Орос Ока«яр«ос пропев(.!( ипе ф! Икций. С'кй.!врио( ирои(ж.— » иие.!«ух !»дйи!п,!х !ю /!/. //,к'!!стви'г(льиых фуикцпй р,'.>д и дбг/ :к>жио о«Рек(и(гь вы/к!жоиием /д,д) .-:= ~ /)(ь~)д(ь()(/г~.
Евклп.!о!и! >!))Ц) фУИКЦИИ д!,Г! го О ///)// Д/>. д). /» Р;Ий МотРЫИ!Ой 1« РВОй ,ыц».!ьпо-кр»(вой кци! К,итк( уб«.!пгься. по /'(',. Л,'! П ири ! х ). т.! . гпс!! ма ~Х„(т)(', ор!о! опа!!ьиа. От>и тим. что ! ))Х„)) = ) кш' — Щ =- —. Козффиппецты Фурь! фуп!опии;,(!) по и!иорхшрованной системе злемеитов (Х„(т)( опредсляют- ("Х,) ся !ак:,;.„= ",, и — — ), 2....
!!.~„!!' 2.3.4. Зависимость системы собственных функций от краевых условий Задача 2.2. Раз„!елите переменные в начально-краевых за;)ачах для однородного уравнения теплопроводиостп иа отрезке 0 < х '= ) с нулевыъш крас выми ус;ювиями других ти!юв (рассмотрите все комбипапип краевых условий первого и вгоро!.о роди). В каждом случае зап!шште зат)а*!у Штурма 1иуви!!т!я.
от в!"!аю!пую исходной задаче для уравнения в частных произволиых; иа!п)иг! все собственные:зпа !ения и собствениьк функции. Заме!!и!е. !то для второй красной задачи Х! -- О является собс!ясиным заа иппем. Проверьте. "по каждая пз построенных систст! собственных функций (Х„,(.г)) ортогоиальна. Найдите ))Х„)) . Запишите формальное решение каждой из указанных начально-краевых зада ! для уравпеиия теплопроводносгги в виде ряда Фуры по ! воей системе собственных функций.
В 2.3.5. Метод разделения переменных в задачах для неоднородного уравнения Чтобы реш!ггь па иь !ыиькрг!евло зада !у,)ля неоднородного уравцепия !й =- а;а,, + Яга )) с нулевыми краевыми услошп|ми и ну;Гевым начальным ус.!Опием, р!'!Них! спа'$а:!а задачу Ш!урви! ,1иувил!!я. отвечаюшук! однородному уравнсни!о !Ь = ааи„., с теъ!и же краевыми условияхш. Разложим )(.г, !) при каждом фиксированном ) в ряд Фурье по сис!еме (Х„,(т)) себе!вени! !х функций задачи Штурма -Лиупи!!г!я: г,сс,/„(«) = —,",' кочффицисспы Фурье заданной фушсции (Х,Х„,) ~~Х !Г Х (адссь /. играл роль параметра).
Теперь резиеиие исходной ча,сачи можно искать лз виде ряда Фуры ио сисзезлсз (Х„,(х)): и(х,«) = ~~ Т„(«)Х„(г). г.сс кочффицишпы Фурье Г„(«) подле- жа! опрс.иск ыию. '1тобы пай ! и их, ил!!!стал!их! гйн,!иола! аемый вид реп!ения в урашнзние. 11аиримср, в с.,зучае первой краевой зада цл !цзлу"шм 2 Х., («)вш — х — -и 2 'Х„, («)~ — ~ аш —,х+ ! / / ки ., ти Х„(«)гйп —.г. Гели и(х. О): — О. то ~ ~Т„(0)в!!с —,г =:=. О. 12!'- сюда при каждом и == 1, 2, ...
получаем .шя нахож;и ния Т„1«) Х;,'(«)+а-'( — '" Т„(«).—.- Х («) « ~0! задачу 1(сзиик Т„(0) ==: О. Задача х.З. 11айти функцию и(х, «), удов.нтворлиошую следующим условиям; и, =- и'и„+ Хл!. О < х .. /. «> О. Хл! .= с!о!за!. и«0, «) .=- О. и(/. «) =- О, «> О, и(х.О) ==О.О < х< /.
Хзслисзл,ис. Х,, (г) = — гйп —:г. и. ==- 1.2.3,..., собствснньи; функции зада и! 1Пту 1зма .1иулзллзлсля. КозффицишпыФурьс цос"логииюйфуикцллиХл ио (Х„(х)Х суть Осели и='% с.зедУкзпсие и!си!с!:,С„--- — ) Х„кш —,л:с/х = -1«л! / „' / — ".леси! а = 2/ ч-1. я ! разложение се в ряд Фурье по 1Х„(х)1, па отрс.зке 0 '..! = / П т (2/' — ' 1) гйп — — — —. х их!се! вид А == и 2 ' . Л!я ои1)едслеция к[ыс)зфи- 1./!'! — ' ,2- .1 иие!«т««и Фуры ршисиии исхолцой:«яла «и иолу «ясм шляци 1хоиии !«««! ( — ""'( !«((«-.!!. 1, (1) т ~ ' ~ 7; (1) = — ", 1 «' ки Т„(0) = О, если и .= 2««+1. Х;, (О) == О, если и =--.
2Ах 11«!«ут«св! !«' !«и «ф!(иипив ! ы «1«! 1«! « ;«с«- 4«««!1«( (п(21! -' 1)а ( ( (2": ')) "' х(21.- 1) ,. по«тому и(сгЛ) = ~.'Т.ы«(1)яш ' «а «. 1««х!««! ьтс. ! го я(21 +1):с я«и — — — —— 1ш! ««(«й(«== ',,г(1 —.«)= ',, ", . ° Х! 1.У« = 1 2а«к!«иа „.!! (21 -! 1)' 2.3.6.
Функция Грина начально-краевой задачи 1 «'ин'ии«' «а «я'«и — а,'и,, -' 1(««««), 0 с л 1. 1 > О. и(0. «! =.— О. и!'!. 1) -- О. 1 > О, и(.с. 0« — е!0««). 0 < .г - /, (2.121 О! «, !о ио« "«'1««««'иО в иид«' « ~~яш ~ —.г,' 1 /„(т) 'хр — ! — ( («т), «1т. Заисчаное 2.1А О иш«,.шо. пъ основным и метол«ра«- лел«ии>! пер«мепиых ивл!ж'и я пахо«кпеии«си«темы «оо«твш«- иых фу!«кций «Х„) «!«я «и Е11«урх!««УЕиуви.!«!«!. Е«глу гяе отр«'«кя 0 < ««< 1л.н! рассмятрива«*мых краевых условцй полу «а«.
м пекоторыс си«.гемы трииоиохи'«ри и«ских функций. ° 2 ° . (т[и 2' ° .. гп « - --1-.(огй("и («гь'=И(( )'»Р'[~ 11одстявим зти (з! (ряжения:р„и,Г,, ('т) в (2.131 и помо(ьи)! в (2.13/ по!»(/(Ок суммировю!Пй и ив ге! рировапий (-))а ОперяциЯ. ;шоопи ! Оворя. т!я бт( г обо( !сова)ш))1.
Тогз!) и(гг./(= ~ С((г.~:!/тЯг3Х, + ~ ~ С(Я.Е,;/ — т(((Е«т~/(1'г/т. (2.!4( ,,! ! С цягз! Пии тся функцией Грина за,по(и (2.12!. Форму.(а (2.14( покягзыв)[е!. гго згя функция со.(ержзп )з(по (пи(гормвпиго о .зада и. (2.12!. Псобходимук) д.,(я востро(ция се р( и)епия. Зада (а 2.~. Замен)гн и зада и: (2.12! кр;и)вь(е условия )р) ! ими кох(бипашь(ыи пулевых кра()вых условий первого и, или гз (оро! и рода. 1(айдите функции Грина полу и ппых ия (а.(ьиокрги вых задач. ° 2.3. (. Построение формального решения начально-краевой задачи в прямоугольном параллелепипеде Мет( з(г)х! ра'з.их и'ипя и('р('и('пиых р("п(пм (и'рв) (О иа'(аг)ьпокрв(')О«к) 'за/га'(у 5!.ь! )'рав)сепия т(*п:ип(рог)О)(НО('ти (з и/)я[и)(/я(ь)г[«- пои[ ии/и(РО)ьхи ии)и г/с: и, =.:.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
