Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик - Уравнения математической физики (2010) (1127878), страница 14
Текст из файла (страница 14)
или яп. |яет«я коцо'шым и|п|ерк |лом | 0 «2 11'). Границу о будем очи!я|! гля,|кой (лиоо кусо*|по- !.!алкой) дву| горою!ей повсрхност! |о,шя 0 С Е' илп гла,|кой |.шбо кусо шо-гладкой) кривой лля 0 «)к' бе| особых точек и «|!м|ик'.)мк'с*и'|и|!и д:|я 0 С К грянгп|а .| мохк!'Г со|'тоять иа о|(пой «ли „|пух го «к. В каждой точке глн„(косги л |ада,,|пм кек гор ш«*пи«п |ш от |и пи! пи|о к Л |шрма;|и и, (!!( — 1; то|;(и апре,и«и пя д '|роичво;|ная — по нормали п. 1(впрах!ей, «тсржеш д:шпы l С)1| льп!ех! как о|.рапи'и;и~уго область 0 =- (О = .|' < 1) с границей д д |') |.) д —.
(а: =- О)()(||! = 1) = . ° =: лу'| дп „к д(-<я) о||, | дт, «| ограни н|цпяя обля«ть 0 =- (О < л < рос) с границ! й о'=- (я —.. д д : 0), — ==:,||о| !О|5!мой 0 =. ( — ео < л ~ тос) г)ид, „д(-) „" |||щя Я=. ь);;р|я кру|а О.=: (О < о|+ ! < |1||) =- (О < г< |;ай ", -. < д сд ' 2,) грапипей явля| с!я |жруи|п|х|! о'= (! = !(!), — = —;,! ш дп, д|., ""'ра Л =- (О < л~ + р-' + г! < г„) .= (О < г < |ь — — < О < —.
О < р < 2-«) 2 2 д д | ряпш|ей >п|лястгя сфера о = (т =- |;,), — = — и т.;!. да; д|., Х раап| пи|" (2.1) было кык|д|||ш !!и«и, для |п|рп|)ия|««|: г|г|ек | бласти О. |и границе д опо м|ок|'т и не кыпо. ш|п ься. !1|обы кыдслить ко«крепи.|й процесс .|сплопроводностп к об:пи|си О. :|уж!и дополните.|ы|ая ипфорл|ация, которая часто дасгся па | р;шши| .11 Рассмотрим пскоторые киды такой информации при ' '~ О. Если и |вестно. что граница Яоблясти 0 поддерживает|я при шдяшюй темпера гур!.
то а(Р. () =- )|(Р, (), Р й .'|'. | > О, где | ( Р, () |а.(шшяя функция. Это условие цаи п|я! тся краевым условием первого рода, или )т.ювием |1ирих||е. 63 ди,(Р,1) Если на 5 известен тепловой ноток, то -1(Р) дп =. (Ж(Р,1),п(Р)), Р Е 5, 1 > О. Это ус.ювие можпо записать в ди (Р,1) виде = 1'(Р,1). г;(е и(Р 1) заз(пиная прп Р Е Я.
1 > 0 д71 функция. Его называк>т краевым условием вгпорого рода, или ус(1ОВием Ню1маяа. В краевом условии можно у"!Сеть обмои теп;«>той между телом П и внешней средой. Если известив температура внешней среды ц „...,(Р. 1). Р Е б, 1 > О, и> по,закону Ррьн>аи>нс( обусловл( нный т(ч>лообх«ч!Ом поток теп:!О и ! ш1>сз з. «Мс. Нт г1>ан!(цы д5' пропорпиона.«п (и(Р. 1) — и„„,.„,(Р, 1))(зо'. Если на грашше д дс йстиуют еше и распрсдсле!шыс по ней( источники теплоты, то Они создаю'1 дОпОлнит(',;!) Вые ИОтОки теп:1Оты *1('р('3 л. В 1>с>зультате приходим к краевому условию тпрегаьего рода: ди, (Р.1) да т 1!(Р)и(Рд) = 11(Р,1). РЕ д,1, О.
где у(Р) > О и>1(Р, 1) знданнь«' ((>ункцни. Пример 2. з. Возможны с. !едткппие краевые условия на концах стержня д, !ипы 1; и(0. 1) = р,(1). и(1. 1) = р,(1) первая краевая задача: и,(0. 1) = 17!(1). и,,(1. 1) =- и (1) . вторая краевая задача: ц(0. 1) — 11! и(О, 1) =- О (1), и (1. 1) + 11„и( 1. 1) == !17(1), где 11( = ( опвг > > О, 1(и = сопя! > 0 третья краевая задача. Возможны комбинации краевых условий разных типов на концах стержня.
° ди Грапицу,(>' называют 17(еп,(аилолираиан1тй,. ес.,(и — =- 0 071, всюду па 5'. Тс!х !Оизолировап может быть либо один копсц стерж- пя. Например, и„(0, 1) =- 0 нли и,„(1. В = О. лпс>о оба кош(а. (7!я области П е Ж> или П е >(1з имеет смысл бо;«с общее ди (1', 1) краевоеусловие о(Р) +3(Р)7!(Р1) =- х(Р1), РЕ (>.1> О, да !де о(Р).
3(Р). зс(Р, 1) -- пзвестпь«функции. Задапнос ((>унк- циями си 3.;х. общее краевое условие может возникнуть, если в неко>О1>ых тОчках г1>апиць! Ь известн> 1 значсни>1 искОмОЙ '(емне— ратуры, в друп!х точках границы плотпости тепловых потоков. в третьих происходит обмен ты шотой с внешней средой по за- коцу Ныотопа и действун)т пото шикп топ:ц)аы. Такое краевое )сс)ОР)ие ия)ывастся „юлальиы и: ОР!О )а!1ИГывяспя Б каждОЙ От- $5.1ьцой точке Р Е. О' во Рможиы и пелокальиые крас вьи условия. ~ в)$'5ываюпсис ицформа!$1ИО О фуцк$1ии 'и в ра511ичцых '!О')ках 1$)$)ПИЦЫ. Замеча$$не 2.1. Если съ = О, 3 $в О. то ихцюм краевое ус.ювие 1,ирих.$с. Если ц ~ О, 3 == О. то . краевос условие Нсймаца.
В щ 1а'и' 1!хц'иио с ')рсл! пм крас'вым уГловисм !а цс' Г крас в1!м $.$)$овисм Чирихле и ис с краевым ус.иц)исм Нс)$мапя) булем ;1рсдцо,)агать, Рто сс1Р1 .- О всюду иа О'. Тот.щ краевос ус.ц)вие ди ди 3 1) — + Ли = Х мО)кио '$Я1$Р1Гягь в ЯРЬ$15 — + Йи = $й Ртю 6 =— дп дп о ~ = —. З,цсь оулем изучап )влачи то.лько Г краи выми ус ловияо .)ц Рппх трсх Рииов. ° Замечание 2.2. Рассмотренные краевыс ус.ювия лицщщыот», щпесп*по функции и. Возможпы и пслипейиыс краевыс условия.
иыряжшощпе более сложпьц. физичес кие закоцомериости. В Замечание 2.3. Об,щсть 1) и се грвиица д с опились вьш$е фиксироваипыми. Но при щ5мсисиии температуры тс.$а может происходить и$мсисиие его физи аско!о состояния. )цшри:нр !к рсхол и 5 яси, ской фазы в ! вердую и ш наоборот. На грани по д $$)1$ кцк)го перс хода сохряцяс гся пос1 ояп пая .1смпсра ! уря зятвери ваипя (исп! плавгсси$$я), цо сама граница б движстся, ра)делая ша фазовых состояния вещества. 11о ря )пьц с)орс)цы с)' имеем ,)15 )п)$с цаооры физических параметров (с. р, )с).
оире.ц лающих !$роцессы тенги)проводиости. а иа самой границе .') лолжец вы- 1!Оли)п ьс)1 Оя таис' тс;! !лоты. уч$!тывяю!пий те1$. 1Оту зятвсрде15ЯИ$!я ~ 111111 п.цп).$1)ц!Р!). В зада'ю О фазОИОм пе1яхОлс' грсс)сс)тс)1 1!айти $!5 только температуры двух фск) всщес-пщ, ио и зако)1.$вижспия /иыдст155$0!цс",й их $$ГР!5151)сл$!0$1 !ра1И1цы О($). ° 2.1.2. Начально-краевые задачи для уравнения теплопроводности. Определения их классических решений Да.и!' будут и)у и иы )ада Рп для ураввецця и, = и !ли + )1111„1).
и — - и1ЛЙ Ц„ 12.21 бб с. )юс гояипыми кояффиниеитами, Под"нркисм, однако, сго пх осиоани«' с яойстиа спрапсдлиаы и для аиалогп'псых зада ! с у))аииспи! и (2.1). Ее и! «б ! «-и Х) и ас! Ис иия прост()аи«)испи)ях )и рслн'ипых М !7 1) им!с"г ! рани!Иу Ь. ')о ссрася)о!'о ус:соиия )ш .Ь мОжет «кя иплнся не!ос )ато сно,)ь! оирс нли ипя коикрспсосо решсиня урашн иия (2 2). 11оп! Нш)м шпс ио сс)л! )сос ))с)ос)ие и( с(Х 01 ==.,;,(ЛХ) а сшси ь! с,)) и) )сия и )яс с )па тс мисра сура и момшп времени Е = О. Пск ко. и ку и ирос транс п« асс х ш')аапс имых псрсмс иных гипс 0)и)оскс)сп* ! =-: 0 яа.ше)ся характс рис-)шкой ураша иия )222). Ис имеет с чин:ла ири 1 =- 0 иы дааспа сгие, например з)и*н ния и,(ЛХ. 0)), 11чс)!.
фикгиропа)ш ог)игии !в!«ил с)бссс)с)пь 0 г )амкиутой ! Рапи!«и,'). 11с).,)с)!пил)Х)схп)ллл! Нсс;иснд))ал! ()т )ш:)о)н м лп«)жс с"пю изменения всех пезаиисимых нером! ишях ни)ш, Г)! =: О х (О, 7~ = ((М. О! Млт 12. ) ~ (О. 7(!. ')Имки)п см писппсгц)с)л! мп«))сес! Но ХХ! — — 0 х (О. Т1.-- .((ЛХ,))) ЛХ б ХХд —,.!О 71Х. где 77 = В: ~,Ь. Ес)п! Т= -- + х. то )ю„шгасм С) —.— 12 х (О, и .). Ерган гого. бу,н м «бо)иасапи, Г) ==,Ь' х (О ( 1 с Т') Пи ссо)н)со-л))с))с)с)я с)с)с)и си для урашн )шя тс')«лепр)я)сдпос ! и «тапи.и я с лсдуюпсим обри:«)и: и,, = и Ли - Х(ЛХ. !).
(ЛХ, !) Е !'2. 2) и(М, 0) =-.-(ЛХ), Л1. О. (2.3) с)и(Р Х) НОР ) —,(Р,)), Р е Ь'. ( 0 (О. +ос): (2.1) дп « -с- О > О., о > О. Л =. О. Фи«сиру!)м п)хн!')Но:пн)ое Т '- 0..)а;и)л) «нрс,'«и)опия л:)с!се«- числ)иг рсин )и)Она ишпш -к)теш!х.нсдач а ссуше 1) С 'а' а Ои()к д.,ь! Х) сб К и Х) С К) опре,са н иия аналоги шы. Определение 2.1.
Классическим решение.м первой начальлсо-)сраевой задачи (с) -- О, 3 — 0) шшыиаеп я функция и(М. Е)). к«тор )я удоя;«|и )ршт с,н д)!«И!им т(ябоиапиям: Ф и(М, Ц пспрерыя)ш а:)ам«Ну! «л! Пилиидре бХ), й и(ЛХ, )) имс'с'!' сн'прерыинию прои.п)одпан' ии и„„асс и .
с ЛХ = — ЛХ(:г., )а =)) и от«рис)ом )!или«!0)с. СХ! и ),«)и)сап)ерш'г а )н)м ураапению (222): ° и(М. )) пршспмаег.)адаииые и (2.:1) .И)а н)пия при ( =. О; е н(Л1, () удои.«таоряет крш'Ному ус.«)аик) и(Р. !) == 0(Р. 1). Р г! .Ь, при ) > О. 66 и ( Л1. ) ) 6 С ф, ) Г с.о ' (С',)1 ). Определение 2.2. Класси сеским реше)н!ем второй )1о "сально-краевос! зада,"си, (с) к О. Л = 0) па1ы))ас*'11 51 фупкпи51 »,.11 1), кОтОрая 1,!ОКО ТВО1»11'1 еси.);, )ОИП1м грсООВапияки в и(ЛХ, 1) и!сц)ерывпа в )амкпутом пи)и)идре О,: 'О(ЛХ.
)) пмсст и!и)п'рывиьи' п)»)ииис)'Псы!' 'О,„и,. и, (ЛХ .11(,г, !), В)) в )амкиусом Пплии ця С)). Скрс)мс. бьгп может. и'угреш;ик топок 5)с).исти Х) и момент врс Ои ии 1:= О): е и(ЛХ. 1) им. ет пеирс рывиьи прои!во,исьи и,, и„, и,„. и., в от).Иь!.15)О! !Ишии,цк Х)1 и у.совлетворясп в ис м ура!И)шип!) 12.2)! ф и(ЛХ. 0 )ципи!мш 1 )алаппьц в (2..'.1) иш и иия при 1-- 0: да(р,)) е и(ЛХ. 1) у;юв.и творя!'г крашюмм )т„и)впк) ' —.. О(Р.)).
,1. прп ! ~о 0. Определение 2.3. Классическим решением тиретьей начально-краевой задачи (сс ~ 01 псь)! И)ссс"115! фуикция в( ЛХ, 1). )О) п)рая у;11»5 к'п)орж Г 11к6О!О)пп)!м, )ц)иве)сс п)и)м В с»цки с!и!сии и .2, ди (Р.! ) 1» с ипым крсц Вым )тси)кис м»- Л(Р)О(Р,!) = ),(Р,)). ди ' '= ссй прп 1 ~ 0. Гшюр)! о к!исси и с )сик рс шс'шшк. Ире)и!)а'и)!тсс м, по .5!5,!)синь!с' и )с, -1 .1.; И)И1'1» «* Замечание 2.~. Нообксспимым условием суп!ос!гас»5)5!)ия к, ииь и Оскшо репи иия !ш иьп !и) краевой )аца ш 12 2) (2.1) яв шегся : 5» ласоваипс* папа п,посо (2.0) и кр иъого (2.1) условий: с') "(Р) ').;:(Р) =- ), (Р,О). Р ~,')'. ° с)п Замечал*ив 2.з. '(исто ш) шпкакп сада )и, рс шеипя которыя :и чо! ут улов и ! ворять трс бовапиям.
пре гьявлвп мым к к»сит!); гс к)и!с рс шс-ппям. Наиримс р. можс г пе выио.иьгп ся соглаеоваИ1' иа'са;1ьиОГО и крас'ВО!'и ус,ссший. )5)кис' рс'ии'иия иа)со иопиОпь в иекото1юм о!)Обсцюшом смысле. ° Не сс!е,!ус г )реоова и выиосии иия ураииеипя (2.2) при 1 =- 0: ::)кое требовшшс !шк. И)л),п» !и бы о! рани сш!ия иа функцию;., и сгзггсствегггго сузи;ю бы класс' фуикпий и, которые желателын) считать решениями.
Требование непрерывности решения в замкнутом !!испи!,г1)г Сггг существ«ива Лля с,'гинствешюсти решепия зада ш. Аиалсц.ичво можно определить классическое решеиис начально-краевой згада'ш и лггя более общего ураввешгя (2.1). а также дать определение классического решения задачи «общим краевым условием при о =- ст,'Р) и 3 = Зг,Р). Тогда необходимо потребовать непрерывности зада,пых функций с. р, )л Р, р. си ), т,; достаточно пгп ребовать пс прерывпостп производных и«ие а. „пппь в тех точках Р е,с)'. гле съ(Р) ~ О. 2.1.3.
Асимптотические случаи задач для уравнения теплопроводности Область х) может быть и неогрпнпчегпгой. Рассмотрим пекоторыс пре,сельцые (гг«ихгпто ги-геские) случаи па примерах задач с со!вой ггрострггггствспгггой гп'ременной. Допустим. си о длина стержпя достаточно велика. а изучается распре,гелеиие температуры с) ержвя !)да.ги от его концов и в тот промежуток времсци. за который краевьк ус:ювия це успех)т с ущес!вс цно пов:шять ца г емпг ратуру.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
