Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик - Уравнения математической физики (2010) (1127878), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Тогда получим задачу на всей числовогг осп: ггг == а ц„+ 1~,,т. й), х е= г — ".с. +:с... ! > О, гг(хс 0) = ))(х). х е ~ — зс, +ос). Эта .га.га га па:гывасгся зала кгг с па щльвым условием и.пг ггггс)п чей Кг)гигг Лля уравпсция тепгпшровоцпо«ти. Можно сформулировать и другую ! гредельпую зада"гу: краевое условие иа левом коцп«сказывается ца температуре расс матриваемого у "гас гка стержня, а краевое условие на правом коппс пет.
Тогда получаем задачу на, туче: пг =- ггггг,, -г- ))хг Ц.,г е«[0, зс)., ~ > О. и(хг О) == з)(х). х е 10. -г-х.). псрвая краевая за,.сача: игО, й) — — р(Е). 1 > О: г)горка краеьая задача: и„(0. г) .== г)гг). ~ > 0: третья краевая:)а;га га: гг, ~0. г) — ггигО, г) =- г~( ~), Е -. О, lг > О. Лца:гоги'гные зала'гп меж!И) цосз'квит! и в с)!у*гас ггесгсолькпх прос трав«тасиных переменных. иаир!имер. зада гу Коши во всг м щ)осту)аггстВг) К . 68 Д)я Ограни и пиой и ш и(огрйн)з и ИНОЙ облйсз.и г> ( )Й>йн)зце)! ," возможны задачи с краевым ус:ипзием. Но без Начав) ного: ('ели $$3>чй(>тся )Й>оцесс 1(и)ои1>овод)их"ги и мох)шго) В1)ели)ип. дй.;кки(. о) нй )й )ьио) О,.) О влияпие нй )в.)ьпых 3(ло>Зий )Й>йк)ич((ки )и 1>е( гш т ( КВЗЫ)>йться нй из!')й(МОЙ 1( )пи 1>йгу1)е; Оий будет ОИ1)е.)(- шться завис)пппм от времени краевыл! у( ловием.
которос можно Г')иттсгь 'Зйданиым ирп в('('х ( ) — зсз Пример 2.2..>аг)йч(3 без )ш шльпого ус.эвия и, = — (си„. 0 ( .г < З х,. 1 ) —:х., а =- соц>Й ) О, '$())Й $'$ '=- '$$>с(>й(! ')). ~ ) — х.. Н(, = сопя). ' = с(иий -~ О, Г 1 удовлетворя!От функции п,(г.~)=- иьехр — ~ —— ~Й„) х(ок ~ — ~ — — ~, $)з).г.~)= и(>ехР ~ — — со)и ~~ з- ~ — — (ИРО- $и рьг(!). Ес(ш иод решением поп)глш)ь ояр($>$$(чь)(иу>о фуил)1$$1>о ()(ъпи рйтура ие м(ок(т принимать сколь уыцшо боипии зийче- )$$)я). з О !о!сом (ди)и)1 иши и>(' 1>еииппс а)).11 11. ° 2.1.4.
Понятие корректности задачи Дз)я Задач в(ах укй 3)зппых типов пало опре;и*лить. каку!и фуикцп)о и следу('1 (чи гать решсиием. При зтом в(липка!От во!|к>сы о сй($$($(3$1$(ЗО((т($$$( рсии пия. ш о (3())п(( й(ве!И(ос)$)и и пеирс- $)$ (ВНОЙ 'ЗВВи('изиктп 1я'1И(иия От )зхо>1нОЙ ии(рорм)п)ип айда'!и ! г.е. Об у(( $$)О((л($(во(п)$(1>( п)опия ио Огиопи 1313!о к мй.)ым ВО зм>- и)опиям фупкций $'.;.. !). ш 6.
>з мйльи )шме(и)шя зги. фуикпий .К))жны)Й>иводи)ь к мй)ыл) изх)еи(ииям р(и)опия). Есзи! 1)(пи иие УИН.'С Г)3(е !З (ДИН('ТВ(',ПНО И 3'ГГОЙ!'!ИВО. ТО ')й>)й')У ИНЗЫ)ЗВ)о!' 'Л)О)>- ;а(кп>но $)о(1$(а(зг)(3$$$(о)$, В(йлсе О)д>Я1 ИОкй:Зап! ! Ош)Овиы(' (1>акты. 13)яр)зжй)ОИИ3(3 кор!а'к(ность ни ш.!ы!О-к1)й( ш,)х за,)й $ „1.)я ЗЙ)йВИ(иия 1('плои1)0130- п)ости и О)Й))п)и ниной об.,)ас)и 1).
Д()я корректно(зп задач в )(ео)1>йии ичш))х Оо.)йстях з)и 'зй..)й)и ий;)О уто )ии!1, Нйи))илн)1>, и Зала и. )лоши,)ос гато шо иогр(бовать ограниченное! и рсш( пия. ,) с,идоииг(льно. и шрйии )е))Нос>)1 функц)лп ".. 0,)иоиремеипо ~>$)ииим и мс!О,)ы р(шпшя з)их Зада 1, За>иечаи<ле 2.6.
Изу юпне теплофп >и неких процессов может >п>иводи <ь и к ><екаррслтавь«и зала >ам. Пуггь, напри>и р, их=-ах<>, 0<т 1.0<1< 7'<а(0.,1)=О.в(!,1) =.—.О,0<1< Т. и из измерений известна температура в моме>п времени 1 = Т: и(,<л Т! = (Х(и), О < к < 1. Требуется иа>пи р(и) = и(<а 0) в па >альпый момшп ар<меня 1= О при всех О,:г < 1.
Эта. и ли>огис другие >влачи, свя >аипые с раз><собра>пымп и хм< рванями. «екорректпы и требуя» приял< кп<ия <>и;циа;>ьпых ме>одев исс.идоваиия. 1 2.2. Принцип максимума для уравнения теплопроводности. Теоремы сравнения. Единственность и устойчивость решения первой начально-краевой задачи 2.2.1. Принцип максимума Докажсл> осповцук> теорему, пз ко> орой вьгп кают важно>ппп< <'ледствия. опи< ывакяцис свойства реп>сиий уравп< иия и плопроволности.
Пусть Х> ое1ки<вченнил облагп>ы Фиксируем произво„п,пое Т > О. Теорема 2.1 (приццип максимума). Елла< си >еск<н> решеюи. ураинппя и и юпроволиости го =- <г<зи. (М. 1) Е ХХг, псар< рывпо< в:<»мкпу>ол< ип>и>и>>р<' С?>. впугри зтого цилпп><ра це меж«' принимать <начеция, большие, >ем значения при 1 =- 0 или па > рапице .<>'06!асти Х>.
Доя<к>агп«ли<та<><> 13всцсм обо>иачсипс А:=- шах и(ЛХ.О): и(Х>,1) . !Евдо,<окал<. Р Г .л.<.',<> г,) зать, что и( М. 1) < А лля всех точек (М,1) е Х<><. '+< и утверждение 6УХк'м Локк<>ывать от >0>огиви<>го. ПУ<"гь в точке (ЛХл, 1<>) Е С>>. функция и(ЛХ, 1) до<"> и>;и"< своего максимального зпачеиия, больпк>го А. т.с.
><(ЛХ„. 1„) =. А Ч- =... =. ) О. Рассмотрим в< иомогательиук> <)>уикц><>о г(ЛХ., 1) =. и(М. 1) ч- о(1е — 1)., <х > О. О <евидпо, что <>(ЛХ<>, 1а) =- <>(ЛХ<>. 1„) = А + с. Ееперь оценим макгималь>ю< зна инис а(ЛХ, 1) иа грани>к .<> области Х> или в начальный момент вр<.
е мшш: шах е(М О); <>(Х'.1) < А -'.-<>Т< А+ —, если и <— 2Т 70 Рнким оОрн)ом, мякнимн.)ьнон .1!Пн)енн фс нкцпи н!'И. 7,' !!н ! РЙИИ!ГН Ив!ПИ)7$1)Г) Мс!НЫНС. Н Х) !и КО1ОРОС! СН И!Й НННН' $$$!Н1~)$$. С.)с)гсо)$)ггсс и ио, !у!пои!аунг гс)нк $ )ЛГ> 7,.1 вну)р)1 )си.!)и),$)н).
в которой срупкннн 1)ЛУ. 7),со.ькнн,нк пп Й)1, свое о мнкгпмумв: ~ Л)г!. 7д С Ц). н! ЛГВ ),',) " Г,"Л~в 7н~ '- Л =. 1 Йк квк $>17О О!'! тон- КН МНК! ИМУМН. ГО ГН).!жнЫ ВЫПО)ИЬП и В Уст)ОВИН,С.Ь1 и'РВН)Х д) . $7Г' пропнводнн)х: йг)сс! И)$'ы. 7д -= О. — > О! — ! — $), ! Оон сд 7 !) ':, сд 7 ~' 'н $! ,1! $7 ))в$ 7 —,= 1 )х)н — -! . О $ н ин вторых нрсн))нс).С)сых! Х))г)ЛЕ О) - О су)7 $! ,н $$, ЛОСК)ОТ!И)Х!.
ПО гг!О,НН'1 С Ьс Ф)$)КИ)1$! Нс У. 7,'! н~Л)'. 7) == «',Л1. 6 — о$7„— 7,', о > О. $))т)с!1)н7М,. 7д = „1)$$1$!1$ЛГО 7,,1 =-О. 'Х))В~Л~.. 7,$ = .Х)7$$,,И!. 7,'; '. О. дн~ ! дв — — --О ~>О >О. д7Р) л!! !д7 и "и; '/ 1 !яким ОО1)я)Ом. и ГО')к!' 7 $1!. 7$~..)сноси!с)$ !$$1$:!1)$1 $)с).,н)сГи ())т. .') Ин" О. и, > О. г.сх !н !)ынс). пьй 1! н сдн)11111 и)н ге1. Кн)роги)„1!ик-! и. $1р инни к протиноре нпо.
$Е Завсе )ание 2).7. Прнп)$1)и )!Йкесмумя нв.!ж'г и вырнженсн м !О*,О О и НН;.П!ОГО С1)!)КН)$,. 1)О ГЛ) НЛН ПОРСМ)ПНН Г! и О! М! С 1 Н !юпыной )емиернтурой к моегнм с мс пыгнй .и ми! рятурой. т.с. О)$)г! с кйс:! ! и >. 11~и) о)! ) 1$')н)и1 1$$'$!" Ин!ксн) и !")Окс В '1$ и, и)11 ! 'По и!)И))о $)т! к док!ым!ному )о,!Вко !)ъ угвсй).к)$$ $)ин). ))$ Д, ь! с)!!пО|х),сп)н О у)ывнс'ин)! '1 $1$, )ои1)О)$!). с!1))с'1 и с п|)явс',:$, н1В ! Йк)к' &н1)ни!'и .) !!)н)),$11)си!. Теорема 2.2 ~сгриицип вгииимумя7. Е.н))с с п и гко) ренин)н гон!1111 ннв $1 и )с)прови,снос "1 н и,.=-. н-','Хн ( 17 71 с $$7, ис !)рерывпос нх)ки;том $)1)т))И.$1)с с$7, н)*,$ ! р)! В)!Огс) $11$$!н! )Л»$ и! х!Ов с'! И1)н;н1)1Й1в исн'!Риня.
мс'н) И1$)сх 'н и 'и!Й'н'иин и))11 7 О И.1н ин $',)я!гипс Л оолнс"$ п 1$. 71 Дои!«!г!и!ех!яство. Функция и,(ЛХ, !) == — «(ЛХ, () также р! ниии! урйвиеш!>! г! !ц«ий!оволпо! ти. Л1йк! имй. !вио! и!й «ииг;!:!я фуикции ги(ЛХ, ()яв,!!«тея х!и«их!й;и пых! .г;Гя фъ икции й(ЛХ, (). С;.,!егк!вй!е.и,!«и ! прйвегрпи!ог!!, втой !г!й!ех!ы с.ид!ч"! и! «ре,!ылупй;й. ° Сйедстпвие.
И! теорем 2.1 и 2.2 с.!еду! ! приниип энсигремума: игй и иия укйвйииой функции и(ЛХ. 1) лля всех то*«'к (ЛХЗ) Е (Х! !и. жйт между мйкспмйлйпым и х!ииих!йг!вп ых! ее вий'«'ю!ями ий !Х!й3гйцгх шш й(ЛХ,О): и(Р,Е) < и(ЛХЗ) < шйх и(ЛХ,О): в(Х'.!) . ° игй г.г! иг) ги й .!»х и(й!;) Замечание 2.В.
Функция й(ЛХ. 1) = ! оий! шз. шетгя р! п«и!и! м й рйвие!иш и, = а !л!! и ие яр!и иворечит иришцшйм мйксимумй и миипмумй, И Залаечание 2.9. Сирии! ллив «евльииий принцип мйк! имумй и г!Ииимимй: вй и!'Кг!«и«!пи'и гг!и'и!я и = сопв! ф! ик!и!я в(ЛХ. удов,!е!ворягошйя условиям ириици!и!в мйксимухш и мииимумй. ие мож! т ирипимй и своих мйкгимуъш и мпиимумй в (Х! в !очках мпож! ствй В х (О < 1 < Т). ° Прильер 2.3. Д:!!!,иобого Х' > 0 фупкция й(т. 1) =- .!в + 2!!'( у„говд!'ц!оряе! урйвпе!иио и, ==. и-'и, в С)! —.=- (О " т < 1, 0 .
1 < Т) и иеирерьиии! всего !ймыгошив ф == (О < х < 1,0 < ( '-' Т ). Фу«кипя !Их, Х) ир!шимйег в 1!г свой максимум в то«к! т =- 1. 1:= Т и свой хшиимум в то*па:г = О, 1 = О. В За!иечанне 2.ХО. Принципы мйкгимумй и мипимумй их«'кц хи ! то и .шя боле! оошего урйвишшя ср о! = !1(г(1( Л Х) д!т«1!!) - - гХ«, с1 > О. с > О. р > О. Л > О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
