Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик - Уравнения математической физики (2010) (1127878), страница 18
Текст из файла (страница 18)
г(-'Ли — /1 (!/. //. и =- и( И. /1,,!/ = й/(г, //. ! «) О. ! . О. 0 =- (О < .г < /ь О < у <' 1,. О .. " < /з/ в (2.сися и~, — О прп / > 0; и(й/, 01 — -(г!/!, )!/ г 1/. 1'спи ши и[,!/. Й преп)явим в ьч! и суммы репи пи(1),из[ х и(дя'с и о.(пой (гз них /"='- О. а,= [и «)явив гож.и(твышо испо. в др[(ой )г)и равпя .)ож;ит) в( п(го пу.)к, и .;::" О. Ра'к!елим и[ ромы(пьи в О.пюро,[цом уря(зпсиии: о[ и«м искатп [т(«пегрпвпа.)ы(ьи' п)стиьи !«[Пи'ппя вп,(п и(й/. /! -- 1(,'1/!'!(/ц Улов.)егвойн<опнн КРа<вомУ лс;шпик) «(э = О.
)лак и в:задачах па О'ГР<'ЗКЕЧ НО:Г<")Е)ЕМ ЬЕ:(Л1) 7 (1) 1'(ЛЕ) 2Т(1) <)3 куда ! р (Л) ) + Х у(ЛЕ) = 0 в В. Т Я -е <)2Х Т(<) = О, Ех( =О, В построенной задаче Штурма - Еиувилля для функции Ех <ож< разделим переменные: У(ЛЕ) =-. Х(. ) У(й) г(.), Л, (х) У„",, (й) х."., (2) + " ' + — = — Ел =- сон.з«К (2.16) Х(х) у(р) г( ) 11оскольку дроби в (2.16) зависят лишь от Одпои независимой переменной.
каждая из них постоянна. Из (2.16) и из краевого ! СЛОВИЯ )ЮЛЛ'<ВСМ ! Х,",(х)+ Л(х)=-1), /у„'„'Ь)+Зу(й)=-0, ~2,.",(:)+ОЯ(х) =-О. Л (0) О Хй) О' )Е <0) О У(12) 0" ЕУСО) 0 2(12) О; при и".м л =- О + 6 + !. Е'ешсния этих задач Штурма Еиувилля 2 (тмп1 ( кп! тп уже известны; «л, = — ~, Хл, (х) =- кш~ — х)! 3„=- ~ — ) . . (-,«1 (т1.1' Ел (у) = вш~ — й)! -)) = ~ — ~ . 7< (х) = вш Здесь ш<дексы пй и, й «езавпси.л<о пробега!о) все натуральные числа. Итак, Х„„лл-. ""' -!- "' + ' (т)п 1 ()<г! 1 (2<1 1'„„, ! (ЛХ) =- Ъ,л „л (х, Р, =) =- яш ~ — х) вш ~ —;у) яш За,мечание 2. 1.). Одному и тому же собсз асиному значсншо Х мО! у! О<)зе*н<!'ь и<!'ко<)ькО .пнгейцО и<'зависимых сООствениых фу)п<цип, <<ли это зпа «)пие ) )<он<по по.зл'<нть при ра:!<<и <ных наборах и!...
и,. 12 ° Ока!11!Рне!е' ийоизпесдеЪиис Двсх .Ъасаппых на Х! Дейс1вР1- мльных функций р(М) и ЕХ(ЛХ) определим выражением ь (Р.д) == ~ ~ ~ ХЪ(Е,Ъ~,Е)д(сп 1)С)ЕСсе!11!Хе,. ТеъгДЪЪД и! Ъпобых Раз пгсъъ ъъ а пых наборов ш. а, I иостроешЪьи1 себе'! вснныс функции ортого- 1, 1, 1» пальны (пров!срыв!). 31!метить, что «1'„ 11олучасм формальное. решс*нпе на !плыло-краевой задачи с Х == О, а „"... ие. рашюй тождественно пулю; и(ЛХ.1) = ~ ~ьа„, „„.1п, и! (ЛХ)схР( — Упп пса-'~~. » п.1 1, где пз„, „, =- — ~ ~ ~ пъ(~.ппс)1п, п1 (г.!Ее)с)~11ОЕ)С, паи О1тобы решить иа шлыиь-красвукь задачу с: Х. не равной тож- ,кствеино ну;по, а „". = О. расложим Х(ЛХ, 1) в ряд Фурье ио систе- мс функций (1'и, „, (ЛХ)) в 77: )'(Л1, ~') = ~ Хп „1(1) 1:;и и,, (ЛХ).
и ппс (,1 1 ппп 1 ) 1;и1 Хп, п1 (1) =- « « Рииснъъе1 Оедем Ринам В в!!де! 1!(ЛХ е) =- х~~ 7пппс (п)1ппп! (ЛХ)" п,п.с ио;Естаь!Овна кот ороь о 11 Ъи одиородсъое уравнен!!с .1 еи !о!О!овод!!о- сти и в и шальное условие приводит к Ъадачам Коши < т~„, 1, (1) кь ЕЪЕ К„„,17п, па (1) = Хп, пх (!), ! > О, 7... „, (О) =- О.
1 е'п1аи их, пОлучаем кОзфф!пи1е!г!'ы 7п. и 1 (1) = ) ехр ( — и ) „, „, (1 — т)ХХп „, (т) с)т в формального рес!ложсиин функции и(ЛХ. Ц в рвд Фурье по систс- мс ( 1сппп е(ЛХ)). 2.3.8. Построение формального решения начально- краевой задачи в круговом цилиндре Рассмотрим нримен!'пне метода ра ! !еления переменных к !юрвой на !ально-крю вой зала !е !р!я ураюи пня !гоп.нв!роно„вост и в б!!ж«н«нlов! кХ!Фво««ю !!!ьа!!!!дХл«П1~ех!но,:поких!, '! го ось пи,!Индра совпадает !' 0 .
а исков!ая те!ми!'рагура !ге !аниса'!' о! ! ог !а иолу !аем па !а,!ьно-краевуго за,!а !у в круге 0 =- !О < г < 1;нО < Ф < 2-„) ! г, !: полярные кнор;вша!ы на нлоскос !и !Ет1е). Р! шепие и == п!ЛХ. !) бу;!! м !!апи! ыввть в полярных коорлиьютах: ЛХ =- ЛХ!г. !, ). Ра!!леляя !Охо! тргшс пв нные переменные и время в о,!норо;шом уравю нии !еплопров !лности, нрп;и м к вада !е Штурма . 1и тип. !:!я: Ь ! (ЛХ) + 1 Ъ (ЛХ) === ††,'г — ~ + †, -.'- Е Г = О в ХЕ. 1 <д 1 дГ! 1 д-'Г ! г !Е! ! дг г'-' д!,.-' Г~, = О. ! (ЛХ) = Г(г.ь).
1 '! ЛХ! =- ХЕ ! !) Ф ( !с ), !И!г)) 1 !Е-'Ф(ь ) — — ' ~ !!' (!,,') -!- —,, Е! (! ) !- У,Е! (! ) Ф ! !:) =.= О, ! сЕг !!! г- !Е!:- г-'!'! !Х !' г!Л)! '; Ф",„ — ~ — — ~г — !+ 1хХХ!= — ' "' = р, — — соня!т д ! Хг~ Ег! ' Ф За.!!!лю на собственньк пщ и;иия Ф",, -~- ОЧ1! = О, Ф(ь', —.— Ф(! + 2я) имеег нсгрш!на.п,!и и 2в — !и рполи'исков рсюю!пя !!!, и ко !О!и р =- в-'. « =- О, 1 2,: Ф,,1, ) = !х!в! ло) и Ф ! е) =, !и ! !и 1. Тог.!и „!ли фупкпин ЕЕ( г) полу !аем нри каждом и, = О. 1. 2...
! 1 !Е! гЕР!1 1 и-', — — ! '! — ! -~ 1 1, — —, ~ с!' == !)., О < г . г;, гд!! !Ег, 1 с! !~Е!(11)! < ! х.Х!'(г,) == О. ! 2.17) ",1ак!стих!. иго |ГЕО. '''1 < аое. и по можно,попускать.побьн: ;ийс!в!!!еипыенп! иния !,. !слн с !итать !(г, ! 1 = Г(г. !, '- 2я!. В хала и Штурма, !пувпл:!я тож! ра"!г!ни!к! переменные: — 11 'ли5И на !и рокнониык 11 -- Муг, )г)!)) — Л~ —,=! !рц!н.)ит ур))в1)гиии и ) 2. ) !; к ви !у .
11'111) 1) и 4)' А1 ''> '1 Ц) У)))инни!н' ) 2. ))5 ! Иан )в)н) гц Я)1)1)ининого Басс!) Фл 1' 1н)1ым и .и ки)и н: !то1иниони)1 пац !ИИИО1гц ц))ц)индри'бег!Игн и51. ФуикЦнжми. У оловшо ог))вни !шина )и и ИУ) и: 1 )он н)твонцо) ф1цк!шц )ц)оголи !Ирвого ))1)ца,)'„',д), 55 ц)',).шшш 1)))ц) — !) 111н р), мо.кио !!Ин п! ( оо1'1 !к !И1ьн' лш'ниии у,. Оии ци.!Инн) и ! О)н)цми т)ц!И1ннцц ..),, )цХ))! )=- )!. '))1))цнц нц1',7,) 1)) = () ц,н)н..н ! к))н' нцк;)н;о но- шкк!Ныг!ьн!Их м 1)ИОД )ц. )' '. 1. '....., И1)номУ У. ) И гак. Иа.)а !ам )2.) 7) у.иц),)отво))5!И).! функции г)'..., ';1') — — 1 —.- О. 1.
2.... ),:= ) . ').. )))и! н -- )). 1 . !. 2.... мы ин!и. и !Нк гтн1'нныо функ;!ии )'„, ) г. ! ) .1', ! );,;, — — (: Они нн ишн )и о! ы. ) )ри и .—.- 1. '.... к 11, ! ). ').. кажлом) иноору иил) кгов ц. ) !1)ц")аюг льи .Инн !!Ио и ЮВИП!МЫ!' Гобои В1 ИИЫ! фУ!и.!!Вц: Р) нн ниц)н)нн))) и:.! ш,и,но-кр и )н!й цн11 н).):ь! у!Ишш ни)! 51- и.нн))) 1!н.ш кц и в н) ли~)л)н 1! ) !),:.
Ин )инин))) !Оиьн ! "пц нно и),)ю. и 1 иу.и вым !5))ацнык! ) !.шшн м) !шл! !и к)п и ю!ш и!',,'. 1,.)) — ~5,.)„) ),, — ) 5).,; !)ы','и; ~'-1)', 'ш)ив'))): !1 );он!И)цнии)ы ы ..), 1 Д,, "н:!Ио 1)аи1)! 1!! !и!!ни н ! ~) т!.'«!Ин)! и 1.. !); . - Д) !. ) И 11. '1 !Ц 5 О)О !И),и!;ШГ! 1!1 Ц Г) ш а)Ц)»НК ирои и)г.)они) лиук ф)н)5)ин) ) р) г. ! ! и и 1! г. !. 1)н и)ицц).)у !Р (!) =- ~ ~ Р(г ! )д(г( )!()г(1(х:(окй)йгь Ортого!т и ио( п, !( Вес сом г) (иск мы (Обсгвепн! (х функций 1 Г,,() и пайгп ))1„1)) . З(ынечан((е 2..! 5. ! 1илин„ц) и и ( кш' функции явля (отса специпиьиь!гип (!)1!!!л!1!Нял((з мат(!мйти «( кой ()п(зики.
К г(ру(ему кг(йсс(. специй(!ьных ф( нкций приво!(и г л((ТО,! рй 1'!(ли ппя 1Н 1км( нпых в шаре к с(!)~ ричсския( ()1!!!!лц!!йй(, выражйгошим(я пр(г) по .,Нгноьчы у!((я('(!!!др(1. ))!Ногочис (ен пыл свойства рй:!.,(ичш.(х спепиальиых функциЙ, ('иста)м ор Г010пйлы!ых полииОмОВ:пжйт В основе построеш(я и изу и ния решеипи:)йс(ач мйтема ги и(кой физики в практи (ескп важпых обшц-п(х !) 12 Р!. 0 С 'хх'. ° 2.4.
Доказательство существования классического решения первой начально-краевой задачи для однородного уравнения теплопроводности на отрезке 2.4.1. Достаточные условия почлениого дифференцирования тригонометрических рядов Фурье и, =. и и„. !.с. !) (- (,)1.. и,',О. !) - — - О. и1!, !) == О. О < 1, < 2', и),г, (П = ~г) ..'с сх !1. 12.
19) !2.20) 12.21 ) ~)1стос( рав;плейпя (п'ремсппых .!ш'г (ро1)н(1,.(! Но( !Ьеии !(и(' на !Ьь!ьно-кРасвой )а !Н*п(. ТРебУетсЯ ещ( л(ока)ать, !го пог!Ро( нпОе фОрмй(ьнО( 1к!Пнппс яв!И( пи к(йсси п(кпм 1к и!еппсм )и И1 репи шкм в каком-либо и!Шм сл(ысл()., л (я .)1О! О п(обх(цп1- мь! !ОНО!и!итсльш и' пр(ЛИО:(ож((ния О Вхо,'(я!Них в усг!Оввс ьн Ла ш функпиях. [окйжел( с(!В(есп(с!Овина( кх((пси (((л!Ого ргш(т!(и! а нй, пркхк р( (п рвой пйча;(ып)-краевой зй,(а !и для однородного урйвпения 1(плопрово.пик-(и пй Огре!ке.
11 згол! с,(у шс !! == 10 < .г, < !), С~ —.= )2 х 1(О < ! < Т)1. Щ =-!3 х 1(!) < ! < Т) . и имеем за, !азу: 12. 2:1) Лелллла 2.1 1обобщенллый принцип суперпозиции). 11усть ' „(г 1). и = 1. 2.,'1.... !асзпыс рсинпия лии(йполо опшро лио(о диффереш(па.!ьпого урависция 1.)11,) = — О. и все входя!Ппе в Л .Вн)>фер(ашиа чьцы( операшли пал функцией н1«.1) =- „" (.'„П„1«.1) и меж!н) 1ц)О))О;п!'и иут('м по'1, н'ППО!'О Гц!ф())('рсицировйни51 атО1'О ря,(а. 1О<,.ц! <)>уикпия В1«п С) х,шв.нгпзоряез уравиепик) 1.)1<) =- О. Доля),зй)п(льстно. Г 1 )н~):.= Ь1!~ С„п,, ! =- ~ ( „1~),в„] —..
0 ° 1;1 ).н)як( !Пн <))>их!п<и (с1«), зй)1йи(н)Й и иц !((р!О)у(мой пй Оз1н'зкс -1 < « . 1. в ряд Ф>.ры ио обьцсй тригоиом(три н ской (.и- ("!елн) 1. сок — « ~, В1П вЂ”.г . н: 1, 2,..., П1к' П!О„!(ийет 1)Озлн)>киость Нерио,ш н(кого иродо, шаши й)ш всю ось 0«.с периодом 2). )хнэффици(изырялаФурье — +~ ~ А„< ок~ — '.г~-ь В„В)п~ — « фупк!пш и пмшот вид '3;н'сь 7' > О произвольно. В и. 2.2 бы(ш доказвш,! (соремы о ппн"1веп(нк"и! )кпн)1п!51 п(рВОЙ пй !й.)ьнО-крйеВОЙ зй,(й ш и О(ГО с("!ОЙ'ппюс>'и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
