Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик - Уравнения математической физики (2010) (1127878), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Проведем оценку этого интеграла в области Я. г; )„-(2 Ь+х) / ~ — — +г) е (Й 1), Инте| рал ~ ~х- + — )е ' Ив сходится, следовательно, интеграл 2) — х (2.43) равномерно сходится в окрестности внутренней точки об- ласти ~.,-. Анвлгн ичпо доказывается равномерная сходимость интеграла ~ С„,. (х,»;1),р(»)а». Действительно, -х 100 С„(хз',~) =- —,( — — С(х.~:1)+ ', С(х.~:!)). (х-~)' а-' 21 йа!!' В силу обобщенного принпнпа суперпозпцпи функция х а(х.1) = ) С(х.г:!),р®г1г, удовлетворяет однородному уравнепию теплопроводности в области Цс!, а в силу произвольности выбора =- и 'Г однородное уравнение гсплопроводности будет выполняться в области гэ. Осталось дока!ать, что функция и(х, 1) непрерывно примыкас,— т ет к функции х(т), Выполним замену г =-, полу !им 2аЛ 1 г а(г,1) = — ) е'-',р(х+ 2!!ей)<1х.
Так как по;!ынте! ральная функция мажорир1 ется функцией Ле ', интеграл от которой скодптся, и!пеграл ~ е ',э(х+2ахЛ)Нх сходится равномерно по параметру 1 прн 0 ( 1 < Т. В силу непрерывности подынтегральной функции можно осуществить предельньш переход под 1 г !ваком интеграла: !ш! и(хд) = —,р(х) ) е ' !!х ='р(г). Следов-,,Зя . х вительно, функция и(:г. 1) непрерывна в области Ц и непрерывно примыкает к функции р(х).
° Залхечание 2.22. Из доказательства теоремы видно, что С,(х., ~, '1) = а!С,.,(!г., г; Ц. ° Зал!ечание 2.вЗ. Можно расширить класс решений задачи !2.33), (2.34). сс:ш допугкать в условии ограничспньп. к!!со ч!!хь нет!рерыеные функ!!й!и,р(х).
В этом слу'!ае построенное по форму:и (2.3о) решение и(:г, 1) буднг при 1 — О+ непрерывно прп!!ыкать и '.~э(х) в то'!как сс псн1)ср! и!ности, и В каждой *!о'!Кс разрыва первого рода функции,й получим 1 !(:в,1) — — („-(:;! .-0)+ „-( „+ 0)). ° 101 Залзлечан»зе 2.24. Если две функции зз!',х) и»р»1х) удовлетворюот условиям ироды.лущей теоремы, и при всех х, — ос < х< +ос, выполнено неравенство ~,р»О() — рл1х) ~ < е.
то отвечвющзпз им рспп»пня (л»1х» 1) и ил1х, 1) задачи 12.33), 12.34) удощк творяют нера- лзлзнствУ',»л»1х. 1) — ллл1х, 1) < < е пРи всех 1х,1) Е Я. 1Доказательство как в 12А2).) Иными словами, р(чпение задачи 12,33), 12.34) й(хчлойчиео по оп!они"пню к вОзмунл(линям в на'лал! пом ус!к)вии, ° Для некоторых функций,р реп!ение 12.35) задачи 12.33), 12.34) удастся выра:зить через ф»лзлк»(»лю о(л((!!бок (л(1 1,.) =- — ! е"" й».
я 0 г — с,» чрп Иолзезнопомнить,что ) с л(1(х=ч(2я, ) с"' (1о — — —, схЯ вЂ” з)=. = — е(Ях) .. о 2 Задача 2.5. Найти функцило»л(х» 1), удовлетворяющую сле,лун»щпм условиям: лл, = о и...,— оо < х <+х,1 > О» и, .== сопя!, г < О, и1х,О) = р1х) = »!! — ( Опв1 х ) О Уки,лил(не ( е) Выли!явите замену псрелпзпной интегрирования: о ==. Вы должны получить 2и Р ь»»л и(х,1) = + ] е '" (л(» = и,+и; и,— и, г 2 и!+ил и» вЂ” и! х + ес) 2 2 2ич(л ич + лл„ Захл(тите. что 1пп »л10,1)=. ', и что в соответствии с ч!~ 2 и! + 'и физическим содержанием зада ш 1пп л(1х.1) = ' ' " .
° '- к 102 2.б.З. Решение задачи Коши для неоднородного уравнения Пу! ть г)х, Е) непрерывная и ояраиичеииая в Ц = К' х10 < Е, <+ х:) фрак)1ия. Фиксируем т ) О. и вместо прямой Е = 0 в качестве носителя начальных данных в задаче Коши выберем прямук) Е = т. и, = а- и,, + Е1 х, Е) в Е,)., и(зв 0) == О, --ос < х < +оов (2.44) (2.15) Дахйзгз)7м,!)ьсп)г)0. Выполнение ыа'!вльного условия при Е = 0 о и видно. Выполнение уран!пения в Е) следует из того. гго и, (х,Е):= ~ ц (х Е,т)гЕт+ и(х,Е,Е)- — — а-' ) !',, (х.Е,т)!1~+ )(х,Е), в я и,, ~х, Е) = ~ ня, (х. Е, т) <Ет. ° Замечание 2.25. Реш!ние .)влачи Е2г44). (2.15) ыо)кно:)а))исать в виде и1х,Е) = ~ ~ С(х,г,;Š— т)~Д,т)ЕЕг,с1т.
в — к Такой интеграл нв:зывается соертпьвой функций С и Е. В 2.6.4. Свойства функции Грина. Ее физический смысл Очевидны следу н)шис свойства функции Грина уравнения теплопроводности нв прямой: . °, 1 в « ° м. ) = Е ' ' ц' щ. ) !! ~ 2 у,)овлетво1зяет у1завнег)ик) и, == гги„. а при Š— т па )я;)ыгому !алонии) и1х, Е =- т. т) =.:= Ях,. Е), — ",с < .г < +ос. Рассън!трим семейство таких задач со все)зо'зможн! )ми т > О. Теорема 2.12.
Функция и1х.Е) = ~ ! 1х,Е.т)!Ет явзьяетгя рея пи нпем:задачи Коши для иеогЕноуюдпага уравнения теплопровод ности: 1) С(х. "Г,; С) определена при — ос < х < +зо. — Ос < Г. < .+)с, 0 < С < +Ос и удовлетворяет однородному уравнению теплопроводности по перел!енн! !и х и С( 2) С(х.С,: С) >О; й) С(„~; )=-СК,х;С); 4) !Нп С~, = О, 1пп С.~ = -)-зс 1наибол(е (угпественн(ге ( -В, ' ' (-.О) ( войст во) . Задача 2.6. Постройте графики фупкпии С ( нри фиксированных г, и С ) в разные моменты времени. Что происходит нри -,х'? При С вЂ” 0: ".
° (Рункг?ия Гр!И(а им(.е? опр(дслшп!ый ())и(и( н ский смысл. Вудсы с'1?ПВ1?ч ч!О и(х, С) т(ъп1сратура О(скоп(ИШОГО ОднороднО- 10 сГер?кня. имшОИИ!0 постОЯпные уделы(у к) !еп. Юсмкос!ь 1( = = СОИВС) и обьемну!о плотность массы 10 =- соньп). Пусть 111х, С) .—.. = — 0 для всех х при С < О, а в момент времени С = 0 в точке с координатой с„мгновенно выдели.к)сь «коли и;ство теплотыь (р срабо! Нл мгновенный то и" шый ис го шик ген, юты.
Ес. !и боковая поверхно('ть стержня т( плоизолир(п)ана. то со Временем перс- данная с Г('р)кшО т('нлОта н(' измеюГГся. НО рВсплыв('тгя ИО Всей пр?(х!О(! — х < х < + зс. Тог„ш температура в точке х в моче?п времени С > О. Обусловлс(шая теплонроводно(тьк) в стержне. будет рав!и С1х, с,; С). Если ука;шнный мгновенный точечный исто пшк сработал в момент врехипи т > О, то т("мнература в точке хамоме!и времени С> т будет равна ССх, С,: С вЂ” т).
Вформуле 111х С) =- ~ С1хс,;С)ч«1()(1С, суммируем вклады в температуру и(х, С) От хн'новенных '(о'и)чных ис!Оч!шков теп.кпы рвзп? (х моп?- п(н"гей. распределенных вдогп всего ст( ржня и сра(н)тавших в момент времени С =- С!. В формуле и1.Г.С) =- ~ ~ С(Т.Е,:С вЂ” т)С'1«„т)()с(СТ В « суммируем вклады в температуру иСх, С) от мгновенных то ю шых исто шиков теплоты разных м(ицностей. распределенных вдоль всего стержня, но сработавших каждый в свой момент времени т(0< т< С).
З(ьА(е«(аи((е 2.26. Температуру, обусловлсннук) срабатыва- НИЕХ! М1'НОВЕННОГО 'ГОЧ('.ЧНО!'О Н())О'(НИК?1 Т()П.П)1Ы. В 1ОЧК(" И В моме!и е)о срабатывания С = 0 следует ш(нт;пь бссконе шой: 1пп С( =+Ос. В любой сколь угодно да:!ской от Г, точке х в ( 101 .!!обой чс!и!дукнпийь момент времени 1> 0 тсъшсратура.
обуглов, и нпая действием этого источника, будет отлична от нуля: 2.б.5. Сведение начально-краевых задач на луче к задачам Коши на прямой К задачам (2.33), (2.34) и (2..гй). (2,45!) можно свести начально- краевые задачи для уравнения теплопроводности па луче: П = (О <:г < +оо). 1Г' = Р х (О < 1 < +о:). К таким начальнок1>а!'вым зада*!ах! приходим, ес!!и п1)и описании техн!е1Эату1)ы !"!ержня нас интересует его участок вблизи о;пюго копна. но одален!гый от друго! о. Рассмотрим задачи для одноро.!ного уравнения теплопроводпости с нулевь!м краевым условиеь!при ! =-.
О и найдем спо! об пост1!пения их !))уикций Грина, "+! н !ада !и имеют следук'>ьцпй вид: найти функцию и(.г, 1), у!!овг!етворяюп!ую уравнению и, = а-а,,, при (:г., 1) г- 1„!. начальному условию и(!г, 0) = р(х) при .г Е О и ! дному из краевых условий и(0, 1) =-= 0; или и,(0, 1) =- О: или !!,(О, 1) — Ьи(0, 1) = О. 6 > О. 1 > О. Предпо:южим. что на всей прямой — ~ < х < +ос определена непрерывная и ограниченная функция Ф(х). Введем функцию Г(:г,1)= ~ е '"" Ф(ЦЖ,.
— !х! < х< +ж, 1> О. 2Д!!'1 ' „. Утверждение 2.1. Если Ф(х) . - нечетная функция на зо < х < +ос, то Г(0, 1) =- 0 при всех 1 > О. Утверждение 2.2. Если Ф(х) четная функция на зс < а < +ос, то (!,(О, 1) =- 0 при всех 1 > О. Ъ'тверждег!ие 2.3. Если Ф(х) имеет ограничеш!ую пропзво,щукэ, а функция Ф, (х) — ЬФ(.г) н!"итпая на — оо < х < +х, !и Г,(0, 1) — 1!Г(0, 1) = О при всех 1 > О. Доказательства сформулированных упзерждепий злеме!парныы, Пред;югаем читателю пров! сти их самостояте.п но. Из г !.верждений! 2.1 2.3 ясно. по зада*и для уравнения и, = !!!и„,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
