Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик - Уравнения математической физики (2010) (1127878), страница 23
Текст из файла (страница 23)
),:) = (и,-и,„, () 5Ь(я»побой (. Теиср) е)йповигся я( ио, кйк д(й("пив мгновенном) (оч("шого исто шика теплоты записать в дифферснцийльпом урйвиеп)ш. Пусть в то !к( !, в момент и1х)мспи т мгповеппо 1)ыд(''(и.,к)('ь коли'!Ос! ИО '!си)ют1 1 1) !т('мпер()гури ет('р)кия до мО- и('(ггй т бы.)й н~:, нч(ОЙ ). Гогдй Диф(!)ср(*ими)ып ИО(' урйвиеиие бй- 1«ней г('плоты им('(т впд сри, = 1((1„+ С)()((х — ~~.
1 — т) или и, ==. и и, 1« — й(х — !,,1 — т). ср !1О определения) фуикции ! рина решеши м итого уравнения !(ри ! > т являе (тя и (х.1) =. 1*' (х.':1 — т) —. Если )п то ишки тспло- Ю ('р ! ы распределены по простршп )венной перс мециой и по времени. )О !к:(' их д('.Йствия ийдО ирОс)'м)1ировй'1'ь. !!опягис Обобин)иного рщисния .)йдйчи .(,)я д)к)х))(рсш(и)!ль- 1«)го уравнения или:(йжс то.!«ко исиоль)овйпш оообщспных функций в постановке задачи может существенпо упростить от- веты на многие вопросы. Задача 2.9.
Найти функция> и(х, Е), у;ювлетноряющую слг. дующиа( условиям: и, =- а,"и,„, О < х < +ос, ( > О, и,(О, 1) = о(1), ~ > О. и(х. О) = О. О < х < +ос. Рещение. Перспиппги условие задачи. используя Ь-функцию. Задание потока теплоты в тгшке х = О меж((о рассматривать как источник теплоты мощности (((() = — Ь (1), помо(пенный на конце стержня. Следовательно, при фиксированном т уравнение и краевое условиг можно записать в виде /( (т) . и, = а и„+ — (((.г,1 — т). ср Так как источник поставляет теплоту па стержень во все моменты времепи т, О < т < 1, то решение исходной задачи имеет вид (г, ) =1~-'ч"")',(г,~ = — ( ° ср где Сг фупкция Грина для уравнения теш(опроводности иа луче с крас вым условием второго рода: ('(=-"я,а(- () - — ) (.(.— ( -~)а 4аг (~ — т) И г=-а (х,+г,) — а- / (2а,~Я вЂ” т)) сх1)1 —,, ' и(т)дт = 1 -'(-т)), а — — ехр —,, н (т) (1т.
° Я а,й:т т~ йа-'(1-т)! Задача 2. 10. Найти фуикпию и(х., Х), удовлетворяюгпую следующим условиям: и, = ахи„О < .г < -(-хч й, > О., 112 и(О, Е) =. 0(К), 1 > О, н(х, О) = О, 0 < т < +ос. Решение. Для решения задачи достаточно решить аналогичнукз задачу с неоднородным сшационарныль краевым условием.
Это у.тверькдает приицин Дюгьмеля: пусть функция Г(х. 1) я ел я ется решением задач и Г, = а2Г,,,О < х <+ос,— х <1<+х, (0,1<0, Г(0,1)=О(1)=[ ' Г(х.1)=0.0<х<+х,,-х <1<0, гд тогда и(х,г) = ) — Г (х,Р— т)р(т)пт. Действительно. при фик„д1 спрованном т > 0 функция Г(х, Š— т) удовлетворяет зада и Г, (х,1 — т) = а-Г„(х,1 — т),0 < х < +ос, —,х < 1 < -'-ос, Г(0.1- т) = 0(1- т),-х <1<+х, Г(хЛ вЂ” т) = О,О < х <+ос,— ос <1< т, дГ(х,1 — т) а функция 1" (х,1 — т) = р(т) ' удошн.творяет задаче с дс й-функцией в краевом условии: 1; (х, 1 — т) =.- а2Г„(х, 1 — т),0 < х < +ос. — оо < 1 < +х. 1г (0.1 — т) = р (т) О' (1 — т) = р (т) 6 (1 — т), — зс < 1 < + .с, Г(х,1 — т) =О 0 < х <+х.— х <1< т, Для функции и(г,.1) =- ~ 1 (х,1 — т)от имеем О и,(х.Е)= ~ 1',(т.,1 — т)сЕт+1г(х О)= ~ а-'Ъ;., (х,1 — т)от=а-'н„(х,1).
и(д 1)— : 0 ири Е < О. а при 1 > 0 и (О Е) = ~ ц(т). 6(1 — т) сКт = р (Х). 0 Легко видеть, что при 1 > 0 Г (х.1) == 1 — его ( ~ 2ач'1 ~ 113 Замечание 2.27. Понятие обобщенных функций и некоторые операции над ними оыли здесь введены на интуитивном уровне. Чтобы строго изложить и оршо обобщенных функций, надо прежде в«сто го шо задать множество пробш зх функций зи и специа;и ным образом ввесии в нем сходимость. Это требуется для оззределепия непрерывности линейных функционалов 1 и корректного введения оззерззцшл над ними.
В 2.7.3. Обобщенные решения начально-краевых задач для уравнения теплопроводности. Интегральные тождества сч = а Лнзз + 1(ЛХ. 1), (ЛХ, 1) Е: Хзззз (2.40) зз)г = з(ЛХ), Л1 е В: н) =0 (2.47) (2. 18) и. нз (2,40) где Ь Е С(Гт), )з(Р): О. Случай пеодпоро„пзых краевых условий,замсзизй искомой функции сводится к случаго однородных краевых уз ловнй, почзгому буга м 1нзссматрзлва гь только (2.48) нли (2 4()). 114 Г)окззжзм (згя интуитивном уровне рассуждений). как можно двумя способа ми ввести понятие обобщезшого решения начальнокрасвой задачи для уршшз пня теплопроводносгп.
Пусть поззрежиеззу В ограничшшая область в (ч" «замкнутой границей Я, и =. 1, 2,:1, В =- В,ОЯ; (и .=. Вх(0 < 8 < ТХ открытьш цилиндр: В„= В х (1 == О) нижнее основание (Ззз В, = В х (з =- = Т) езхз ззсрхнсе осповапие; 0» — — 1) х 1Е. = 01; В; = — Хз х 1з' = ТХ: Г1з.:=-Вх(О<1<Т~: Гт=,~'х (0<1< Т). Пусть в сзт поставлена первая или третья (вторая прп 6 за 0) начально-краевая задача относительно функции н =: — и(ЛХ, 1): Пусть существуют последовательности функций (Х») и (~.»). ко горью при любом Т > О ринполи рхо сходятся при Х вЂ” х: Մ— Х в С(з,»1 ), 1 —,р в С(ХХ).
Пусть нри каждом 11 =.=. 1, 2, ... гуЩ(СТВ'!('Т КГ!З(1('!З'Н!('.КО(' ОСИН!НИ(' и»(ЛХ. 1) НЗЧЗ 'П ПО-К1йЮВОЙ 'За»и'!и с фупкциями Л и 'р» Вм((тО Х и .,".. 1>сг!з! сз"щсс'!15у('г за'и!й'- рывная в»,З функция и.(И, 1), к которой прн лнзбом Т; О кл!ки зсскис решения сходятся равномерно: а! — и в С ((>11 ) нри А — зс, го и(ЛХ, 1) называют обоб!цвннъ(м, Хзгиз(»пнем исходной зада ш.
!! '1ВстнО(ти, клзссичсскос 1и ш(ни(Ь (зсли ОИО сущест151(т, я!5!я(т(я »ОООнзгчзным1йзп!сни(зм. 1р!я (ту1цсстВОВания 1й!(н(ни>1, ООобзценнОГО и указанном смысле, необходимо выполнение сл(дуюп»их условий: / Е С(Х! ), р ер С(ьз): 1шз и(ЛХ,1):= р(И), И Е ХХ. функпия н(ЛХП) -и »,ювлетворяет уравпснию (2.-16) в смысле обобпгешн !х функпий; ~ н(И,1)( — 1,,' — и-'»>>!1,)()ХХ>з(11 =-.- ~ Х(ЛХ,1) 1, (ЛХП)(ХШ»!(11 !ля !!обой пробпой функции я (ЛХ, 1), бс(конечно днфферс!щируемой н отли шой от нуля .!ипп в некоторой ограничешюй подобласти (к!ласти (,! Обобщенное решение единственно и нспрерывпо зависит от Х н р в смысле равномерной сходимости.
Можно онрсде.!ить обобщенное решснп( начально-краевой зада ш в другом смысле, ("ели по-дрзтому понимать приближение функций Х.,р, и функциями Л, рь и»,. Пусть для определенных в 111 де!зг! Вительнь!х функций и(ЛХ. 1) и (и(ЛХ, 1) (уще( гвуют инт(- (ралы ( из (ЛХ,1)(10!!(11 н ~ (1»" (ЛХ.!)(ЗХЗИ(11 (зто зшпн ьпзак!т в Ь» в, зн г( иг- Е„(01), и»Е Хз(ХХ() ((и — и»((, = ~ (и(И,1)- и (»>Е.1)) (Шз!(11). (з» 1!ус !! и(ИЧ 1) н и»(ЛХ, 1) имнот обобщенные первые производные ;зо пространственным нерсмсш!ым, являющиеся (ооы*шыми1 функциями из Хз((ХТ), Тогда Можно ввести ска.!ярпое Нропзв(- .!Снис (и,и ),„.= ) (((зго(1!(и, дго((ии()+ и!(»~(И(!(Хг и (вклиДовУ (л Норму !(и((„, = 1~(((.11) и.
приближать функзпзи Х:,". и будем в сзн нхп', схОгшх!О("и й 1» --' Х ПО ПОрм(' В Ь (((511.,".» — >,: НО !и!1)м(' В Х.з(ХЗ), и, — и (ю норм( !, 'и — и» ', „. 11О Теорема 2.13. 11рш(а;(лежащее С(в (с',с!. '0 Г! ) классическое решение и(Л, 1) первой начально-краевой задачи (2,46), (2.47), (2.48) удовлетворяет интегральному тождеству ~(-й(+ а'(йтаб„,,йгаа„.))4Р(с(11 = сь = 1р.
1Ри+ 11и(1Р„(11 ог о( для всех функций и(МА) Е С (ф.). удовлстворякицпх условно!м и(о =О (2.51) и(г = О. (') 1хг(ассическое решение и(61, 1) третьей (второй при й =. О) начально-краевой задачи (2.46), (2А7), (2АО) удовлетворяет интегральному тожде('тву ~ ( — ио, + аг (йта(1(си,йга(1 (со))(1Р,(й+ аг ~ Ь(Р)иис!ос (С( = о( гу „еи(1Р + ~ ~и(11(,(с(11 сь ос для всех и(М,1) сх С' (с,!! ), удовлетворяю(цпх условя(о (2.51). Докс(ос(гаельсспео. Идея доказате.чьства теоремы состоит в сг(слук>п(ех!. Умножим уравнение (2,46) на произвольную функшпо о(ЛХ.
1) указсншого в теореме типа и пропнтегрируеь! полученное равен(гено по (с(г. Применим вытека(ощую из теоремы Остро! ра,.(ск(п о пс(ре(йсо (11ор((йлу Грина: г ди иЬ ц,и(1Р(с =- ! и — (1Я вЂ” ~(йга(1 (си,йга(1 (!с()(1Ри о г с~ !' о з ((с и нро(п! (с! рируеы ((е по О; й с Х'. ° 116 Зал(ечание 2.йо, Интегралы здесь еле,(уст понимать в более пшроком, чем по Рихнц(у, смысле - — по г7ебегр. ° Опреде.нпие обобщенных решений начальпо-красны:с задач основано на инт(.'гральных тождс'.('.Твах для их класси"н(скпх ренн(ций, Определение 2.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
