Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик - Уравнения математической физики (2010) (1127878), страница 22
Текст из файла (страница 22)
и 1З с к1Эйевыы 1 с !Овины п(0. 1) =' 0 надо !П)ставит! в соо! в! ТСч вне гадачу Коши пп !!се!1 прлхюй для уравнения Г, = а- Г,. с на !аль- ;р( — х).х < О, ных! у!левиса! Г(х.О) =Ф(х) = Вада и ! кр гегым (р(х),х > 0 105 ус;юанем и,(0, () — -- 0 надо поставить в соответствие задачу Коши ~з-.( — х).х < О, с начал!Ным условием Г(х,О)=Ф(х)== За!(Вн! с ~,р(х).х > О. краевым условием В,(0, () — Ьи(0, () = О надо поставить в соответствие задачу Коши с начальным условием (/(х, О) = Ф(х), где Ф„'(х!!) — 6Ф(,г) = — р'( — х) + (кр( — х) при х < О. Ф(х) =-,р(х) при х > О (предполагаем наличие ограни инной производной! у функпии ф. Рен(ение задачи Коши относительно (У(х, () можно записать в виде интеграла Пуассона (2.35), тогда при х ) 0 получим я (.,() =(1(х,() = / С(х.,(.;()Ф(()(((,+ ~ С(х.(,;()(р(() ((,.
Н п(.рвом с!!ага(.мом От ингег(пц)Овяния НО (. Перейдем к интегрированию по — ч~, тогда решение исходной задачи с краевым условием у-го рода, у = 1. 2, 3, будет записано в виде , (х () --- ~ С, ( "'() й К) ((, в Задача в. 7. Найдите С,(т! 1; (), 1 = 1, 2, 3. Запишите решения задач и, -"- а а„+ )((г, (), (х. () 6 ((1; в(д 0) = О, х е ь(, с нулевыми краевыми условиями 1-го рода прн х ==- О. О(г!Иегп.
При О < !г < -ь..с, 0 < (, < +л:, 0 < ( < +ос !" О С( (х,(,;() -= С(х,г;() — ( (г,— с,:() -=-' 2~(1(ав( ( С;(х.1,;()=С(х.~;()+С(х. -~;()==- — с ""'"' +е 2.(за!( х С(,(„.,((() =С(х~!()+С(х,— ~;() — 2((~С(х,— (,— („()е ' 1С,= =" — '.0('-'' — "- ("- '( 1;(( С(х.,",: () (1!унк!(ия Г(н!Ня у(зявне1п!я т(.нлопрОВОднОсти ня прякн(й ° 106 1 2.7.
Понятие обобщенной функции. ()лФункция и функция Грина. Понятие обобщенного решения 2.7.1. Об аппроксимационном подходе к определению обобщенных решений Услоззия нячялы!О-крас'ВОЙ зала "ш из!и 'зй;сй'ш Ехоннз Лля урй15- !«)ния теплонроволности могут не допуск!ос се к)исси !е! кс)го рен«ния. ЕЕанрихзер, может нс выло:шяться согласошшис паильного и краевого условий. Таку!о:задачу (наювем ее условно Р) рй:!умно рас! мятринать кйк предельную для последовательности задач Ре в которых ! Ог.часонйние этих условий имеется, а выход краевого условия ня залйнное в Р краевое условие происходит за короткое время за 15.
11ри Ыз. — 0 получаем задачу Р. а пре;ил и(5)Х, 1) классических рсн«ний !1,(ЛЕ, 1) нриннмйсзм зй рсп!Снн!.':)ядй !и Р. Аналоги'н«) можно р)зсзсуясзз!Т!'ь н В с)11'за!5, ко!дй Вхо:[янсис' В зн! !сыпное и, илн В крйевое )"сзювие функ!си!з !«з оолйдйк)т свой- и!вами, которые требуются для существования классического ;к !пения.
С" подобной же аппроксимйционпой !о !кн зрения !и,со расз мятр!и!ать и ид! й;п1зиЕ)ОВйннОс. !юнятие эмгнОВеннО! О тО зе !нО- , о исто шика э, ню !ример. в за,са шх лля неоднородного ураш«)ния с нмс)юШсзй Особенности И!однородно!-!ью. Чтобы поставить такис:зала !и. приход!пса отка, ываться от желаемой гладкости решения или от его ненрсрывпосги в Ч.
рассматривать вьпюзшнмосз.ь уравнения в специялы«) опрс;июпном сь!ысле и т.д. Тогда Возникает )зонрос О гом, кякис фузпс- 1!ии еле,!уст пязывап, рс п«пнями. Чтобы стро!о опре и)з!Ить с)бойл!!1!)ннх)с. реи!Стзе и(М. 1) н нвссти нсобходпмыс для этого мйтс мйти «! киз.. коз«-!рукнин. . Я,зо указать, в каком смь«ле данные задач Р, прибзшжают данны!. зй;зй !и Р. и В кй!.ОЯ! смыслс решс ния 111(М, 1) схОдяг! я к и(М. 1). Это можно сделать разными способами н ! ребу! г 1!рнн.«"«нля !юнятий функпионялы«)го янй.шзй и теории функ!и!й.
3)!ес! же мы ограни шмся описанием па инту!пи!!поз! урош!е. 107 2.7.2. Понятие обобщенной функции. Использование е-функции в некоторых задачах для уравнения теплопроводности Функция Грина [функция влияния мгновенного точечно!о исто шика) (у[х. С: ! — т) - это изменение температуры в точке х за время ! — т, которое обусловлено м! Иовеппым вы,[елеписм «теплоты» ср в точк(' ~ в моче!и времени т.,)вдали)и я следу!ошими вопросамп.
Что подразум(вается под мгповепным выделением конечного количества теп:к)ты'? Что значит выде.)ени( те!к!Огы в едюктвенной то !ке.' Можно лп укьманный мгновенный точечный исто*шик теплоты учесть в вп,н) неоднородности уравнения теплопроводпостп.' цуги вопросы приводят к важному поцятию е-функции ма!ематическому обьскту, который не является функцией в обычпом смысле. Пусть пй прямой — Ос ( х ~ +ос имеется достато"пю большой запас «пробных функций > )5)[х). Можно считать, что все они бесконсчпо диффсренцируемы и обргипак)тся в нуль на бескопе 1- ности.
Функциопвл 5' это отображение. которое каждой функ- ЦИИ [ ГТНВИТ В СООГВЕГСТВИ() !ПС)!О; ФУНКЦИЯ Ы . НРГУМ()НТ функпнопйла. Действие функционала с именем ? Ий функцию [ можпо )йписйт! в виде [~. (А. Н()с бус1ут инт(ресовйт! лвнейнь!е НО тв (1>у пкционй:!ы [и в Опрелех!()Инок! сх!Ькле и()пг)()рывн)!е НО (, ), Некоторые и;5 !и!х мо)к»О зй)[йть с помо!цьк) обычных функц!и! х )!х) и при(!)ои !! им им(наэ1их фупкций: [), (г) — ~ 5 [!5) м[х)((х.
х Дру'1'и() (!)уцкционьгп ! Исль')я зй,[й1'ь таким способом, например, [(), (г) — "- «)[О). посл(днес равспство опреде.шет функционал с Именем е, который и называю! )()-функци(5!О) (сосредоточенно)! в точке з =- О). Если мы хотим иметь возможность с;[вигйть значение аргумептй х пробпой фупкитш (. в эточ рйленсп)е. то ввсдеч функционал с иъ!енем ()[х -- х„) по прави.!у !б!х — );,).
[:) ==-. (С(хв). 2НКИХ! Обрйзом, СОСР(дотоЧЕННйя 15 Нуд( ()-фу?Пкцяя - Это с[х) ЗХ[есь х нельзв Ра(:сх!й'г!)Нв!г! ь кйк !Ц)СУхпп11 ч)Ункции В ООычпом смы(;кч ()(х) (:[ипый с~~~ел, имя фу пкпион!м!й: йр! уме!гг этого фупкцпоцйлй пробная функция !... Указанные линейпьи и непрерывные цо (; функционалы называю! обобщенными фр)«Ь Ц((Я.М(Ь !08 Иногда действие функционала й(х — т||) па пробнук> функцию ц |апигывают в пиле ~ б (х — х„) | (х) |!х, понимая этот шп |гграл ;и|бе как единый симаол, 'экниаалснтный (6(х — л,). ~.') = с(те).
либо как результат приближения Ь-функции обычными функциями. Говорят, что последовательность обобщенных функций ();,) сходится к обобщенной функции ); если лля:побой пробной функции х числовая последовательно|-и (!«. |. ) сходится к (~. с ) при и — « "с. Тем самым обобщснпу ю фупкцик| 1' можно приближать, например, обычными функциями )«(и) в том смьнле, что ,.|ля:побой пробной функции |..
л|равсдлнво предс.|ьнос соотноп|ение ~ /«(.г) |,. (х) дх — (,Г, М) при и — "с. Это вовсе и| и |начах ст, что ()„(и) ) сходится к ! при каждом фиксированном:г. Вспоми|||с предел прн 1, — О+. функций С(г,'г,:!«) = — е 2ч)га-'~„ (Олт ~ г,. !пп С(.г,с,:!)= Последний предел не является разуг,о; ~ -!- х, х = г, мным образоы определенной функцией. На, самом дслс речь идет о схолимости последовательности обычных функций С(т, г„, !«) одной переменной х (г, -- параметр) к с(х -- ~) в слабо.и«смысле.
т. е. в смысле обобщенных функций. Бессмысленно говорить о «значенииь с-функции в какой-либо то |ке х, но ее можно приблизить обы шыми функциями с любой точностью и 1 каза|шом пып|е сх|ыс. нь Поняти| оообнн" пней функции дает возможность выразить в математически корректной форме таки| ид| ализироиапныс понятия, как иитенсивност| мпн|венного источника теплоты, обьемную плотность сосредо|очснной в одной точке массы и т.д. С другой стороны.
это понят ие отражает |от факт. что реально нельзя и и н рптыпаченис ф|юической величины в точке, а можно измерять лишь ее средине |пачения в достато шо малых окрестностях данной точки. Выберем диффер|ипп«русмук| обьгшую функцию одной иерем|.апой Ях) и зададим функционал ~'| (1', |,:).=. ~ 1'(х) |.,(2)|!х. х !1ьппш.птм интеграл по частям и вспомним, что мы выбиралн пробные функции «,(х). де|я к|лорых ы( — х:) = ь:(+зс) = О. Тог- 109 4 да (/', ь ) ==: — ~,Е(х) эм(х) дх = — (/', тэ'). Производная любой обобх щешюй функции определяется точно так же: если 1" обобщешшя функция, то ~' имя функционала, действукпцего по правилу Ц', х4 = — (Е., эг ) для каждой пробной функпии ы.
Тем самым все обобщенные функции имеют обобщенные производные эпобого (О„х < О, порядка, Например, разрывная обьгшая функция 0(х) =-= 11..г > О иьпгет оооощенпую п1эоизводпу ю О' .=- е(х), поскольку (О', ю) = — (О, с'') =- — ~ 0 (х) ад (х) дх = = — ~ ~.'(х) Нх =- ~~ (О) = (6 (х), сэ). в Вели у воск пЕэ<эбэнык ~)эункций э0 суппсгвует п1эе~эб1>аэова~эие Фурье ц> (можно выбрать такой запас функций ~~), то преобразоээаши Фурэк обобщенной функции Е . это функционал Е, действующий по правилу (~, ~,,).— — (~, ~,:) Можно выбрать эанас пробпык функций ~, онреэк ленных на инта рва.
и' — 1 < х; < 1. '1 огда обобщенные функции можно рас- 1 1" тп кладывать в ряды Фурье. Например, Ь(х) = — + — ~ соь — х. 21 Последншй ряд. который в обьгшом смысле расходится, надо нонима~~ как имя фу нкэщонала. действие кото1эого на Еэаз.кэ>ким1ю я , я яп . яп в ряд Фурье по сисгеме (1,сов — х,нш — х,....сов — хлйп х,...) па .-1 < х < 1 функцию э0(х) ана пн и шо дейс ~ вию фупкционши Ь(х). В самом деле., с одной стороны, с (х„) =- ~ б(х — х„) с>(х)й, а с,цятой стороны, е 1 1 яи )' ~ — + — ,'~ сов — (х — хв)~ю(х)Их = ,(21 1„, 1 110 '(( ' — — / !.'((г)(!»)+~ ' — / сой — "х(((х)(1х сов — '' х(-1- (! г + — / гбп — х!)(х)(!») вш — (х„= 1,(((1;!). (1/, ИО( ко(ьку 1.
ргс)ло)кими в ряд Фу!и (. Сле»!Овй г()5)ыю. ())у икцио (! 1' яп )шлы ( им(пйми ()!.! —..г„) и — + -~ сов — (х — .г(!) действуют (21 1„, ! ), пшйково. Задачи 2.В. Докажите. что ий ивп риале 0 < х ( 1 2, )(и, )(п, 6(х —.х!)).=.— ,'5 вш —;гып хи, В 1„., ! 1 Аналоги шо можно выбрать зйпй( пробных функций с:(х. 1) и ввс(ти обобщспныс функции как дей(твуклпие ий )р .Типсйи(!(' И()прерывпы() фуикциопвлы. '! Огдй можпо Опрсд(лит ь (бобщсипыс !йстиыс проилводиьн обобпн)пцых фупкпий; Ы.(»)=- — ((.м,),~.(Р)=-(У'.1.(),(Л!',1,)=(-!) (Х.ь'„'.,) И).л. Х)рйвпеиие теплопроводпос(и и, = а-и„, например. ознй шст !('Исрь рйвсиство обобщеппых функций и, и и и„: !и,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
