Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик - Уравнения математической физики (2010) (1127878), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Обобщенным ре>иением первой аачально-краевой задач>и (2.46), (2.47). (2А8) называют функцию и(ЛХ, 1] с конечной нормой,') и~ (> в, сс. и> и(ЛХ. 1) удовлеп>орж т красному условна> (2.48) и тождеству (2.50) для лк>бой функцни >'(ЛХ, Е), имеющей все обобщснныс первые цроизводньн. из Хв(0>) н удовлетворякнпсй (2.51) и (2.52). Определение 2.6. Обобщенным решением гпре>тьей (второй нри Л ив в 0) начально-краевой задачи (2.46). (2.47). (2АО) г>аз»>ва><>т фу акции»>(Лй () г конечной нг>Омой ), '»~~, „. <юли и(ЛХ.
() улов:>он>оряет >т>ждсству (2.51) для лк>бой г(>ункцнн г( ЛХ, (), имею>цей все обобщенные нсрвьн' нроизвг>днь>г из Х ( СХ>) и удовлстворяк>щей (2,51). Теорема 2.14. Каждая нз задач (2.46). (2.17). (2.-!8) нли (2.46), (2.47), (2,49) нс может иметь более одного обобщсшкв о р> щения в смьк:лс и>пег ральных тождсг гв. Докг>зи>нем>с>г>ва Пусть задача (2.46), (2.47). (2.48) и.>и (2. 16). '2А7). (2АО) нмгет обобщенные решения и,(ЛХ., () и и>(ЛХ, Х) в сыыс>н' шпсГральных то>к>юнга.
То>да функция а(ЛХ, Х) = и,(ЛХ, Х) — >г>(ЛХ, () является обобщенным решением задачи с Х= 0 и .р =:. О. Выберем онреде:и иную в т (), функцию в(ЛХА) =- ~ п(ЛХ,т)дт: она имеет обобшеш>ые нро/ >' н>водныс», =- — и. », = ~ и, (ЛХ т)>Хт (ЛХ=-- ЛХ(т д с)). н аналогично можно запигагь г„, г,. Функция си ес»срвь>с нроизиодныс нринад.>ежа> Х,(0т). При Г ( = 7 цмссм»( = О. Кроме того. г!. = 1»!. г(т.
но>тому в за> да и (2.46). (2.47), (2.48) пг>лучик»>)г =-О. Лля выбранной функщц> в >впишем тождества (2.50) или (24>8): ) У'- -' ~и> еа' дгиг(ии, ) г)г>н(>>и(Л!,т)г(т )ХР»г((=0, (251) гь ~ ) (и!+а- ц)ас1)!и, ) дта(1)!и(1(1,7)(17 ((1!)!!И+ 77! ( 7' +О," ') '!1(Р)и(Р,() ~ и(Е',7)йт(151;72 = О.
(! Покажем, что ОГО, . ГО Ы„Г(М, )ОфгиО(— Ф. 1 Т )отас1)!и (МЛ)(1оо (11О!м! ) О, В и 7 ~ Ь(Р) и(Р,() ~ и(Р, Г)717(1О),(1! =- 7, 1 (7 =.— 1>(г~)(( (г:)а~ ы,иго к О (2.55) (2.56) (2.57) Т 'тейс пяпельно о ~ ...((Р((й =.
~ ') ... (1НШ )1, и 1эавенство в (2.56) (а О О следует из равенств Т Т ! —. ) ОТО (У!.2),) О'О (М, )О )М.= О '!' = Г о.~.(м, ),Го и(мсм)О= О О 7 - 7 о„(ио(м,,),1о..,о(иск~!,— О О 1' 3 -7 г ~ (ог т) Гоге! (о!О)а~О = О Аналогично, ~ ...!Лс)вгй = ~ ~ ...гЛЛгЛЯ, и Равенство н (2.57) г, х а слелует из равенств г !' У = ~ и(Р,Л) ~ п(Р,т)гЛтгй== !' г '! = ~ и(Р,т) ~ и(Р,Х)гЛЛс1т =.—.
1 и(Р,—,') )! и(РЛ)гЛЛг)т— с и !! х I* Г ~'. )( ~'х!нй —. Г Ом!,а) —.!. а и Учитывая, что )!(Р): О. получаем неравенство (2.57). Из (2.54) в силу неравенства (2.56) получаем ) ихг)0!гйЛ < О. откуда и =.= 0 в (ЛЛ; То жс самос сх!едуе! из (2,55) в силу неравенств (2. 56), (2. 57) . ° Замечантге 2.20. Проведенное доказательство являет! я лишь схемой рассуждений, поскольку прои:пзодные в теореме понимаются в обобщенном смысле, а интегралы — в смысле Лебега.
,.Локазвтсльство является строгим, сели подразумевать исноль.ювание свойств интеграла Тсб! !.а, В Следстгьвие 2. Л. Тр! тья (вторая прп й:— 0) нпчально-краевго! гпдача (2.46), (2.47), (2.49) пс х!ответ нмеп более одного к„тсоическово реп!Гни!я. Дс!кп!и!п3гх!ьсп!Оо. Если и!, ит и:пн:!'и'|е!.кне Лн'нн!нин 'Зпдн и! (2.46), (2,47), (2.49).
то и, — ит является класси'!е! кпм решением гнкой ж! звдвчи с,р: —.: 0 и 7'= О. '1о! да и,, — и, оудс! и обобщенным решением. которос по гЛ!!кн!пнн!о!! теореме равно ну:по. ° Задачи для самостоятельного решения 1. Пусть н(т. О температура стержня О < х < Л! ковффвцвентом 1ж геплопрово,пнгс! н /! =- сопаЛ;  —. сопгп ' О. (И ) =, .
Лхако!т! фнхи- !'. !'М ческий смысл имеет кажи!и! нз сг!сдло~цих кра! вых условий: И' . В', 16 . И: т н, (!)!) '= -- —; и, (О!) =- —: !О Лй!) == — —; ги(ЛЛ! =- —". Л ' Л. ' ' Л. ' й 119 2. ИС1Очник '(сне!О! ы и:)н(("енОй мОЕцнО('ти находи'1('я на 1ц)нц(' ст('Г)жня и но,!Нс.( теплоту внутрь стержня. Зациннпс краевое условие для :н ваго и для правого копцов гтержня. 3. Пуси среда, окружакнцая (т( ржгнь ГЭ < х < !. имеет известную температуру и,.„,, „,(!). Какой физический (мьн л имеет краевое условие (Эи — Л вЂ” = У (ич,„,„, (!) — Л(0,!)) (Э == гоня()7 Во 'по цРевРагип Я )!о дх, „ краевое условие.
(ели Э( очень в(лико? Если Э игчезаюше лил !о? Занип(иге аналогичное краевое условие Лля правого конца стержня. Какой физический смыс.! имеет краевое условие -й — ' .—.- Э (и„„,„,(!) — и(0,!))ж ?(!)". дх,.и 4. Пусть вобласги ?Э=- ( — х < х< -Г:х:) !раница ра:)де.ш.)сд вода имеет координату х = Ь(!) в молюнт времени й Пусть и(.х.
В температура льда или воды; ?(о. А„козффациенты тецлонроводности льда и воды: Э > 0 скрытая т(плота плавления.н,да. Отнес(иная к сдишщс (чо и и гы: р, обьемная плотность масгы льда. Что означает угловие (Эи(д(!)- О,!) ?Эи(д(!)+О.!) (Эд (Эд а (?д — 12 = Э(р, —, ( ели — > 0'? — < 07 дх ' (Э.г (?г (й (?! 5. Пуст( ())унк((ия и(т. !) удоя.нтворяе!.
уравнен!е!О и, = а(и„нри 0 < .г < ?, ! > О и кршт)ым условиям и(0, Г) =- О, и(!. !) = 0 нри ! > О. Доста(о шо ли этих условий лля выделения е !инственного решешгя уравцсния'? Улаигни(л 1'нс(мотрите однонараметгн!чсское семейство функций ! (хн ) (хна) и, (х.!) = йн~ — хГРХР— ~ — ~ ?,н = 0.1,2,... 6.
Пу(-и ())уик!Гия и(.г, !) удов(п творю т уравнен)но и, =- а"и„, цри О <,х < ?, ! =. 0 и кра()вым угг!Оен(ял! Н,(0, !) =- ГЭ. Л((!, !) =- 0 !0)и ! > О. ДОГТЕ!ТО'Н!О Ги! ")ТИХ ) СГЕОВИй ДЛЯ ВЫ.ЕЕ.!Е.'НИЯ РДИНС'П)РННОГО РРЦИНН!11 уравнения'? Ухи ли наг, Раж мотрит е сомгйство функций ! и„(т,!) =- гов~ — х)схр — ~ — ~ ! .и = 0,1.2.....
7. Пусть функция и(х, !) удое,,н'п)оряе) )трнененик) и( —. а)и,, нри 0 < х < ?, !. > 0 и условиям и((0, !) = 0 нри ! > О, и(11; О) = иах нри 0 < х < ! Нс ГОИН! ДО('!л!то'н!О „!и нанисаешых 3;и(1 \(лОВий лля Выд(л!с!Шя (динстйш(- ИОГО Осияния уравнения? йхла)алис. Рассмотрите два случая и)меш ння температуры гтгржня; 120 сели к нани!. ашым ) !..ювиям.йюав и но )!повис и О, Какой будет темпери ура стер)кня при 1 +го В каждом и)5 зтих ;п5ух с.!)"Ви'В.
О кйкОЬ! рец)сш)и идет р!")ь: О класси'нскОм и)п! ОООб)цшшом: 8. Сформулируй ! е определение класси шского решения следи ю)пей й)ДВ')И: и, = )те)5„+ Ях, 1). О < х < 1, 1 > О: и(х, 0) = 5)(х). 0 < х < 1! и(0, Е) =- р(Е). и,(1. 1) = о(1), 1 > О. Ехаких! Требованиям 55олжпы удои)и'гйорять фш)кипи ь,~. и. »' 9. (айте физи некую интерпретацию зада ш о 5!)Ии)ршур! стержня а(х. 1)! и, = ае)5„,.
0 < т. < -,. 1 > 0; и(О. 1) = О, и,("г, 1) =- О. 1 > 0; и(х. 0) = нагои(ЗТ'2). 0 < х < -,. В,) — — соцьй. Нйй,ппе 'н(х. 1) и 1!ш В (х.) ). В тйк)к!' зйаи!'Их)огт! От Врем!'Ни илОт- ности теплоиого по)ока через копен .г =- т!. 10. Ла)5! с фишгискую иптсрпрстацшо зада и! о температуре стсржш! В(х, !): 55) = г)еи,, О < х < г). 1 > О; и(0., 1) =- О, и,(и, 1) =- О, 1 = 0: и(:г, 0) = а))йц(б)х'2), 0 < х = и, ии = соцн1. Най;ште и(г.
1) н !пп и(г.!), а тйкж! зависимость от времени п.ицности теплового потока )сре.) копен х.= О. 11. Боковая поиерхность одноро„!ного стержня О < .г < 1. теплопзо.)ирована. Внеипн)х 5)с) о шиков теплоты нет.,1евый конец стержня )югрн)ржиийется при .)схпк рй)ур! и, =- сопя!, й 50)йиьш «рн п)м)шрйгуре и, = сопш. Начально! распре„пление температуры равно ий —, и„=-. сопя!. ! Зш!ипшт(' мйт!'мати'кскт)0 по!'тйнОВк; ч)тОЙ '.5В;)й')н; и'ит:!и р!'чь О классическом решенш!" .Решите задачу ме)отом разделения пере!и н- НЬ)Х.
НйЙдиге пре,ис)ьйог! Распре)нс)5 Н)И*. т! Кцкрйтуры 50»! 1 — ~ -Ьос. Какому уравнению и каким краевым условиям оно удоилеси)Оряе,' ,)) 12. Боковая поверхность однородного стержня О < я < «тсплоизо- 1!ирои нн). источников т) плоты в нем нет. Конец я = О поддерживается при те)шературе 11„=- сопя!. а копен я =- «теплоизолирован. 1Ьшальная ~1) температура 1")ержня равна нулю.
Занин1ите "1а!ема тин гк )ю по)ганоВк )' ')адапн идет 1!и речь о классическом р!чп) нииУ Ренпюе задачу методом разделения перемеш!ых. Найди ге предельное рж нределепие !1)н!ерагуры при « — ) -~-ск. Какому уравнению и каким краевым у! ловиям оно удовлетворяет? 13. Боковая поверхность однородно~о с!ержия О < я < «зсплопзол1ц)овыш, ис)о'шиков тшшоты В нел! 1нг!з Коню! с")ержня я — О )юддержпвж"тгл прп нулевой температуре, а на конце ),' =- «внутрь гтгржня подастся поток теплоты ! Нлотногп,ю И' =. сова! > О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
