Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик - Уравнения математической физики (2010) (1127878), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Гриню или интегральным прелставлением функции и(ЛХ). Залаечан|ие 3.1. Е|'.ли ЛХю Е К' с ХЭ. то точки Ми ЛХи пс могуч совпасть. Тогда правая часть формулы (3.11) равна ну|по. Ес.ш ЛХ, припали|ежпт гладкой гранппе области ХЭ, то вырс|ать спу то |ку можно сферичсс ким куполом. В пред| ле ато будет иолу- сфера, поверхность которой равна 2ке2. То(ага формулу 13.11) можно (к реши ать так: ( ХХ( ~ о (г);г ( ~ ))„, 1 ШЬ«'1ЛХ) в ХЭгь(г„ и1М„), М„е ХЭ; ОМ« ЕК« 1В: «1ЛХ(г) 2 ,М(г Е К Я вЂ” гладкая в точкеЛХ«.
° 3.2.4. Формулы Грина а области на плоскости 1Х7 с К') 1!усть тын;рь 77 ограниченная область на плоскости Оту, гранила д которой явля(тся достаточно (ладкой кривой. 11 ингггег(7(«хгь(г(г(1 (дгггрм1(ргс Грггна О + — (хг1у = фСг777 — ХХ(7х „1дх 77у) выберем сЭ«1х. д) дп 1(х, у) С =- (((худ) ', Х! = ((1х,у) гЭх ду где и. в б С' (0)( С' 177). Т((Гда полу'гим ти:7)В(7ьа (71«7(хг(7лу Г~игггй ди Л агг(г(7х(777 = фу — (7! — Ц 7йг аг1 гг,йга(1 г()(1х(7у, 13.12) (> я " г( где и едиви шая виещняя нормаль к кривой 5; (Х! элемент д;плггы дуг.гг; (7х(!у элемегп площади.
й1(гггяя ролями в 13.12) и и и. получим вгггорую фор.м(7«г77! "рина: г( ди дв1 ~ ( 71 — (ах(() !ха!7 = ~ ~ —,- > — ~Й! (3.171) да (Эи, ТО'пк7 'гак ж1х как в 7;лу"1Вс '1!х'х пс;5агпи'имых пс!5('м77П15ых, пмво.(им и 5 (;5.1:.5) т(57ип7 1о (оспо1515ую) ф75рл57Р1у Ррют: 1 7( 1 д71(Р), д — (17 !и — 75(Р) — (1П 7(!1,-- !!С51„13711 д77В ! д7 и„ и(М„),М„с Рл О.МВ~К1 П: 77 !Л17~) 2 .Л1„.д.
о' — гладквя в топке М„. — — и л771(7М)!17 1!Х7!у= 1 ! -'1" и !151п,, 3.3. Основные свойства гармонических функций 3.3.1. Свойство гармонической функции утверждение 3.1. Если фупкцпя и(ЛХ) 1гармо15и 1сская я ограни к1ппой области с5 Г хс75 с до< тато гпо1лядкой границей 771 7ч ди(Р) дл Дока.5пгпсл17171715о. Положим в первой форъ7у51С Грина 77(Л4 = 1, 1огД11 по(1У 1им о и — 7(Я == Ц~ 77Ьш(0+ )л ~й1а1!77.йга1!и)7!В = О. д В гак как 7л(1 = О и пга1!7 =- О.
° И"5 ДОКВ15аиНОГО СВОй1СТВВ С.1СДу11Т 77собтодаЛ1015 1(11ло15ье 7.'р757СС7пеова7171л !7с7пе(1пя внутренней яадачи 11еймаиа для у|эавпепия Л!ВП51яс15: !эеп175ни15 падачи Ь71(Л!) =-().М Е Рх =- 17(Р) дп дп,,; 1'5'5 Здесь М = ЛХ(17С,((): Л177 =- М77(й7. 7у77) фикспров1пп1ая то 1ка: Ри5151„- расстояние между Л1В и М: 1п — фуидамептальпое 51.5(,и,. решение уравнения !!Впласа иа плоскости: и Е (17 (75)(7 С~ 1!1). может существовап только ес.щ Ц !/(Р)/Б.=- О. Условие разя р!щпмости аналогичной задачи /щя уравнения Пу к.сова Ь!!(/РХ) = — !'(ЛХ),ЛХ Е Х1,— = !/(Р) дп дп с,! выг!!я,п!т !ак: Щ Х (ЛХ)/1Ш+ Цо(Р)/15' = О. Это у!'донне также вытекае г из п!"рвой формулы Грина.
если поло кита п(ЛХ) = 1. /Ри.ц! !е!/ки!! см! кс! но!.пд!и го 1с~«вн>! с«- с!опт в том, чт«стационарный поток т!'.п:юты [пссжимщмой жидкости, напряженности злсктрического поля и т.и.) через замкнутую поверхность,'~ равен суммарной в!личине всех исто нщков (зарядов и т.и.). находящихся внутри 5.
Ан !/!огпчно! н! !/!!х!!/!ихп/е ус!!овне раз1и!п!имостн !ада и! Н!!йх!ина д !я ур!цц!ения,'!а!!/и!са итие г знато и для плоской оол!Итн В. огрщщ пашой кривой 5; ~ п(Р)/11 = О. 3.3.2. Формула среднего значения 'Утверждение 3.2. Гс/ш и(ЛХ) !"!рхюни нская функция в области В с К', то д/н! .побой точки ЛХ Е 0 имее! м!сто пред!гав:нние /!(ЛХ).=- „Л и(Р)/ХЯ/. где Е;,/ сфера радиуса а ,1„! Л с центром в точке ЛХ, целиком лежащая в Х/. Дока..!/!/пс/!ы//!//о. Применим трез ью форму.!у Грина к шару К„' с поверхностью Е;, 1 сг) , д ( 1 ) 1 да(Р)) и(ЛХ) = — — Л а(Р) — — — — дд/, 1 !, ! д/! ХХе!/ Х/г!/ 1)п д( Так как — — у "! и '!' ы! 5 и я ~/и / !и /! дп ~ч'!/ /, щ/ да Π— //д =-О, получим ...
дп в 7 ЛХ) —., О» 77>) гХб> ° .И~ее, „ В случае гар>юни некой функции двух переменных и(ЛХ) .==. .:- — у и,(Х )>7>>„где Х>, окружность радиуса и с пептром в 2га>, >и >Очке М. целиком лежа!1>ая в об.!асти г»рх>о>зич>зост>з ~>;чнспззи л(ЛХ). 3.3.3. Бесконечная дифференцируемость ,>гтверждение З.З. Гармошгпская функция бесконечно . »зффере>>цируема. Довез»н>с.особо чтото свойства еле;>уст ич третьей формулы Грина. При ЛХ е 0 поверхностные интегралы являк>тся собственными и их можно дифференцировать но координатам точки ЛХ , нооое число раз. ° Залаечание 3.2.
Гармоническая функция во >зсех внутре>шнх гочках О аналитична, т.е. в ок1>з>гг>н»сзи .побой точки ЛХ й Р р>з:злагжття в равномерно и абсолютно сходяпшй<я с гепенной ряд. При ап>м радиус схолнмости ряда пе меньше. чем рагттояпие до границы,'~. ° 3.3.4. Принцип максимума (минимума) гармонической функции Теорема 3.2. Пус>ь 0 о>рани и нпая область с доста; >очно гладкой гранипей >. Пусть функция >з(ЛХ) гармоническая в 0 н ненрерьпзна в области О. Тогда опа достигае> воего чаксих>ального и минимального .значений на гранино области Р, т.е. шах»(ЛХ) ==- ншх»~ЛХ), шн»>(ЛХ) =- >з>ши(ЛХ), игл и:з >пй >их Дениза>г>сльсг»пг>, По тео1>ем> Ве>нйнн>расс» функция ЫЛХ).
>п>нр> рывная па замкнутом ограниченном множестве 0 с Лхз, достигает свое>.о максимального значения. Об>озпачих> й = шах»(ЛХ) и прс>зг>оложих>. *гго это значение догтигае>ся в з»й >к*котоРои точке ЛХ„(.~:„. >Хе. й>~ й О. пп> тРи области О. Рас< мотРим гх)?гру Е„' 1>адиуса а!: цггг?ром и точке ЛХ„, целиком ??г?яг?нцу?г! в — я„ 0 1??>! агой сферы наншнгм формулу среднего значения: н(И„)::, Дн (Р)г?3?, (, Я н(ЛХ„)?15? = и(И„) 1 1 4та! г „,. 4вг?-' !.я„ Таким образом, возможно только равенство.
Этг? значит, что в каждой точке сферы Е,"' значение функции и(ЛХ) равно А. в про! ианом слу гас раас?к"пзо в формуле не бу,тот выполняться. Те?н рь рассмотрим сферу Е;,'" с цшггром в то*гкс ЛХ, е Е;,"' ра,гнуса ао целиком лежангую в области П Анало! и шо нредыу ущг му покажем. ?то и(ЛХ)?„, „, =- в(ЛХ,) =- и(ЛХя) =- А. Можно и„ построить такую последовательность сфер );," с цгчпрами в то гках ЛХ„е 0 радиусов а„. целиком лежащих в 0. гго последовательность точек (ЛХ„) будет сходиться к точке ЛХ е 3. В силу на?него построения и(ЛХ„) = а(ЛХ!) =- А для любого и. Так как функция и(И) непрерывна в О, последовательность (и(ЛХ„)) будет сходиться к и(ЛХ).
откуда с.?едугт, что и(сЛХ)=- А. ,.1??г? доказатсльсп?а у?верждггния о минимальном значении гармонической функции вместо функции и(И) надо рагтмотрсть функцию е(И) --- — а(ЛХ). В слу'ше 0 с хг.'~ меняется только вид фг?рмулы среднего зна*н ш?я. Е Замечание 3.3. Фггкти к?скн доказано болг.е сильно? утвсрждг"ние: функция н(И), гарь?они к?скан н 0 и нш?рорывная в О, п1н!нимакн?гая мг??ксн: га.'и ног' (или мини!!альянс) 3на'гг?ниг' в 0. является ноггоянш?й. ° Следст??вне 3.1. Если .гве гармони*в!скис функции и(ЛХ) и г1И) ненргрынны вооласти 0 и и(ЛХ)(н, < ??(ЛХ)(н,, то всюду в 13 н(ЛХ) < а(И).
'Х??кгыа??гс.?! с?нео. 1 гйъхюни'?г?скг?я г1!ункция а'(ЛХ) = ? (И) — а(И) будет ненрсрьниюй в 0 и н?(ЛХ)! > О. В силу нршщина мини?н,х малыпно зна и ння в (ЛХ) > О всюду в 1). И И ! ?Онгнцигш максиму! га г'лг:,густ йг?аой !овос??гь ре?ненни вну— .грг ннсй:зада ш Дирихле. Рассмотрим две зада ш Дирих.?е: ?ли,(ЛХ) = О, ЛХ Е 0. и, (Е')! == р,, (!'). г:= 1, '2. И8 Ввсдсм расс!овина мс'ж;пу ч)ункцияз<си; !(!)») Ь р4 !! ( ) ! ( )~ !(в, в,)=~~, — .~~с(,)=- ях!а,(ЛХ) — .(ЛХ)~ я< О Определение 3.2. Рсшс.иие зада ш Дирихл< пачывяетея устолгчлзвььлл, если для любого е > О существует !)(е) > О .тако<, что из исравеиства р(рп рз) < 6(е) ел<дует р(пн и,) < =. Теорема 3.3.
Для внутренней задачи Дирихле. ес ли р(рн р,) < е. То р(в), зв) < е. г(г)каязгзп)ел)<<и!)гзо. Заметим, что функция и(ЛХ) = =- ! армонк и)- ская и всюду положительна Рассмотрим функцию !)(ЛХ) .=- и (М)— — яя(ЛХ). Из пршщипя макс)и)сули! следует, по если ца границ< облас та И)г, < е, то )в(ЛХ) ~ < е всюду в ХЗ. ° 3.4. Единственность классических решений внутренних краевых задач для уравнения Лапласа 3.4.1. Единственность решения внутренней задачи Дирихле Теорема 3.4.
Зя„са ш Дирихл< для урашн )пы,')апляга пе может иметь болес одного клястичес кого рсзшеция. Доъгзгзг<71)гь<зьстпгя). Допустим, что сущс'сгвую!' два решс",пия задачи Дирихле <зз(ЛХ) и и,(Л)ь Введем функцию з<(ЛХ) =- гз<(ЛХ)— — ьв(ЛХ). Тогда <)(Л!) будет удовлетворять условиям и Е С Я; сх с(ЛХ) = — О. ЛХ Е Х)!' (Х)) = О. <1)упкция в(ЛХ) являсзтся решением задачи Дприхле с о;шородпыми краевыми условиями, По геореьн; Вейсрштрясса любая и< прерывная функция в замкнутой ограни !си!по!! облаг"ги достигает свсято мякснмалшнио и хпшималыюп) значений. Если г<(М) > О хотя бы в одной точке области Х). чо опя достигает <во<то макси)и зьно! о 'з)за и пня внутри об пити Х), по это цевоз- ! 3!) можно В силу прииципа максимума, так как 1>(ЛХ)~, = О.
Апа; логи !По доказыаается, по о(М) пе может быть мспьшс нуля внутри 11 Следовательно. о(ЛХ) !в е О. ° Замечание З..Х. Едипстясппость решсчшя зада ш Дирихл( В о!.рапичепиой области Х? С К' сохраняется и В более общей нос) апоике, допускак>щей кр(гочио-нспрерыаиьге (Х>гуггг(г[гт р(Р) В крае!30м усс!ОВии: па крипой )Х ВО(5МОжиы т0.1ькО тОчки ра:ЗрыВВ первого рода р(Р). В такой зада (е требуегся найти функции> г!( М) . )а[та!спич(('куто В ь> и ис?прерьпзио пр?гхп !к!поп[3 ш и задаппой иа о функции р(Р) В !очках ес пс прерьпппкти.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
