Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик - Уравнения математической физики (2010) (1127878), страница 29
Текст из файла (страница 29)
ь ный и1я.дел на бескоисчиости. Теорема 3.9. Для еарлшнн чггкои в 0 функции н~х, р), 1хнуля1июй на бес коне шости, нри достаточно больших зна и инях и ) сиравел:швы ие1ли1еис'гва 147 ди А <ди А — < —, — ' < — ',А =-сопи! дх г'-' дч 4 Дог<а и<тел<ге!ива основано на преобразовании Ксльвина гар- ':: монической функции и(М). ЛХ е К<. Пусть К„" открытый круг ра,тиуса а с центром в начаэи координат 0: Я„. его граница; К'„" внешность круга и пусть функция и(ЛХ) гармонична в К,'г Функция и(Л<) = и(ЛХ) называется преобразованием Кельвина функции и(ЛХ), если ЛХ и Ж симметри шы относитсльпо окруж,;3 ности 5'„: ХХо<<ХХоэ — — а!. ЛХ и ЛХ лежат на одном луче, выходящем из Г). Можно доказать.
По и( <<) гармонична в ХГ„, О, Д<<я этого запишем координаты точек ЛХ и У в полярных координатах: ЛХ =- ЛХ(гГ р). Л< =- К(р, ), р=- —. Т и и(ЛХ) = (г. р), (а' и(<у) = с(р. р).=- и~ —,.р . ~! С.нрав<''(лино с:нд<кэн(се соотгн)ш(ни(н (а, ) г' Д,,и(<у) = <'<г и —.:р = —,Л,, и(М) (проверьте!). р а Если и(ЛХ) гармони ша и ограничена в Х(Г„. то у функции ю(<у) в точке 0 нет особенности, <л<а гармони*ша всю,<у в круге К„.
Поэтому в окрестности точки Г) функция и ограничена и имеет ограниченные первые производные. Выпи<и<ни обратное преобразование Кельвипа, полу*ц<м ( г и (ЛХ) = и~ —. р . Если ЛХ=- ЛХ(хи, ум), <<г'=.= Л<(<гу. ух) в декартовой г хх уз р а, а системе координат с центром О, то — ' !,а Поэтому хэ! ум г г х<<+уи ди(М) д<<(<<<) д! (Х) дх, диЩ дус дхи дхи дг, дхн ду, дуи ' г/, ! (у —:хм) ' ! ' дух '2а-х у, ( ! дхм г г" дти г (г .! Из о<равич<'.пиес<и нерв<их ирои<<водных ф<'нкции <<(<<!) в ди(ЛХ) ( ! ок!и;оп<ости то <ки 0 получаем ' == Π—, . Анна<оси шая (.) ' о<шика спрн<гадлива „<ля .
° дум !48 г Теорема 3.10. Д>>я функций двух переменных. гармонцче- сяиж в ХУ и рсгулярпых па бескопечности. справедливы форму .>и Ерина. Доказательств>>!> проводится аналоги шо доказательству в ! Оюс тра пстее и а ом случ ае. ° 1>обы впешняя краевая зада >а,>ля уравнепия,'!апласа имела единстве>шое решеппе. требуют его регулярности па бесконечности.
3.6. Внешние краевые задачи для уравнения Лапласа. Единственность их классических решений Фуадамептальпые решения уравнения Лапласа различны в К' и К"'. 11озтому и условия. гарантирукяпис единственность 3 решений виспших краевых задач для уравнсиия )ап>!ага, раз>>и'!ш ! в К' и К". 3.6.1. Внешняя задача Дирихле в пространстве Х!Х>' с К') Постановка задачи о пахи>к>!еци>! млассгичссхого рсп>гя>>я: цайчп функцию а1ЛХ). удовлетворяющую урависпшо Лапласа Ли .=- О в пеограпи >енпой области Х>'.
пепрсрывную в замкпутой / об„>асти Б = Р' !з о. принимающук> па граэпгце задшшые зпа >епия >>>,Х>) = 1>1Р), Р Р,'>. и Хл>ггяох>е1>но спйшьнлзцуи>сн к пуля> па б>и лонсчвостп (здесь Х>' = К' П., П ограни нчшая облить с ! рапид й о). Класси и!кое решепие >>111) й !.'(В')! Сг 1Р>'), а иь! поп>ая ы о ф „акция в краевом у !., ювии 1!1Р) е 013).
Зальечпние 3.7. Ус.юви! равномерного с>рсх>>ияп>я к ыу>по функции >>(М) па бе!коле шости требуется для едипств! ппос>и решения >адачи. Е Пример 3.2. Расс х>о! рим центрально-симметричиун> зада >у с> а(г) .= О, г > а, >>1г.=. а) = 1. Функция а1г) впс шара радиуса а удовлетворяет уравнению >1а>ь>аса, а иа ! раиице принимает задашкх зна и ние а! > = а) =-1. ! о>да функции»>(г) =:- 1 и и>1! ) =:= а, > удов;к творя>от уравнения> г)а>ь>а! а шк! шара и краевому условшо.
Полу'1или дВй решения НОстйВ;1с'1шОЙ зйдй'и!. Г('ли )'чРсть услоВие па б(сконс"шос>и, то функция и,(г) — -- 1 не подходит. Из,шух решс ний й,( г) =-.. 1 и 717( г) =-- о ' г меж(ю пск(ро>гг! Сем(ЙСТВО репи>пий О(г) = Ои!(7) + )~37(>(7). О + й = — 1, КО!Орос', бу)7(7!' '7ДОВ>1ствОрять поставленной задаче.
Ус.ювие !пп и(7) =-0 позволяет выделить сдинствешюс решение внешней задачи Днрнхле. ° Теорема 3.11. Внешняя задача Дирихле в пространстве Ях ккпкет иметь только одно р( шепие. 'Хек(и!ан((17!ьсн(во этой теоремы огновано пй применении принцш!а максимума в об.тс.п!. ограниченной поверхностью о и (())РООЙ Я, достй гс) шо бс).п 1по( О рйди) сй 71 Пус>ь су!це( твук)т дВВ рс'пиния и!(М) и 777(ЛХ):>й;сачи Х!>и(ЛХ) = О. М Е 0', и(Р) = р(Р), Р Е Х>': и(М) при М вЂ” Ос раВномернО стрсмнтся к пулк>. Введем фупкцшо си(М) =- ил(ЛХ) — ии(ЛХ). Для и>(М) получим зй,'сй'!у Ь и'(71Х) =- О, ЛХ Е ХУ, (а(Р) — О, Р б Я: (о(М) при М вЂ”:х равно)и;рпо стремится к пул)о.
П1н;пюло)ки>>, !То и об:ни"ги ХУ с)Ш((1вусг! тоний М„в кс)- торой и(ЛХ,) В 0 (и,(ЛХ,) ~ 7(л(ЛХ(')). Выбсрем шйр большого радиуса г с границей Я, так, чтобы п>чка ЛХ, лежала меж;!у поВс'рхиОстями ) и Ь„и пй НОВРрх1юсти Я, Вьшолп5!ДОсь н(>рйВСН- ство ~и>(ЛХ)~, < е для прсппвольно малого В > 1). В замкнутой области. ограни и иной пои( рхпостями о' и ч„. >юлучаем гармони !еску)о функцию и(М): и(ЛХ,) ~ 0 и и>(71Х)(и л — — О, (717(ЛХ)(! < =, е > О, В силу нринпипа максимума ~(с~(М,)! < . В силу произвольности выбора числа е ) О и:(ЛХ,) == О. поэтому и,(ЛХ) = и>(ЛХ) в области ХУ.
В З.б.2. Внешняя задача Неймана в пространстве (ХУ су К' Пос-гановка зада !и о нахож,ю!Ши класюйчсс>ово рс>игнил( найти функции> и(М), улов.,й творяющу1о урйвшчшю Х1)н!ласи (й>7 =- О в неограничен(к>й об:йн ти 11 '. удои(и творяющую условию (077, ( Х> ) — »(Р), Р Е Ь', и рйшю(игрйо (ш>1)са(л((й(7)о()л к )г((лк) >ю 6( сд>7 160 лшюч»ос)пи (здесь 0' = К' 1Э, 0 ограниченная область < :!раницей Я. Клас<пчел«ос р<шешк и(ЛХ)ЕС'(Хз')Г'Сз(Х)'), й 'зйдй!Оща)1 сгО функци5! и (Х ) 6' С (о).
'1 ребование регулярности искомой функции нй бескон<з шости гйрйн тиру()т един( гв< н!юсть р< шения Поставленной задачи. Теорема 3.12. Ннснньяя чйцйчй Неймйна в У(з имеет елинств< нное классическое решение. Д<)киз(17(ильсгп<з() т<ор<змы ОСПОИ)зно нй !О)нм(1нзнии пе1)вой формулы Грина в н<о! рани'и иной облйс!и ЕУ. Н(сть в Х) суп(ес!1)у!Ог цва клй(си'юскнк р<н«'ни5! Нзю!пн(й задачи Неймана: и!(ЛХ) и и„(М). То!лй функция и(ЛХ) = «,1ЛХ)— ди(Р) — аз(ЛХ) удовлетворяет задаче (аи)(ЛХ) = О, ЛХ Е Хз'! =О, дн, Р е Я; и)(ЛХ) при М вЂ” ) со равном< рно стремится к нулю; <и(ЛХ) е С' (Р)')(й Сз(Х1').
Нойтому к функции и(М) мож<ю При- л<си!г! ь нерву«1 формулу Грина: Щъ. (Л1)Ь« (ЛХ)(П)и— 7)' = Ци<(Р) (Б) — и) (йг(и17<ьдгй(1и,)(111м. 13 18) д(и(Р) д<(,г Отс«зз(й»та<1«7 = 0 в Хз'. т.<. 7«(Л1) == соней в Хз'. Но 71!(М) нри М вЂ” Оо равномерно стремится к нулкз. Иоятому и)(М) == О 1! Хз. ° За.иечоние З.с). Решение вн< шней чйдй ш 11еймйпй в з!лз. ре! улярн<и" нй бссконс шостп, сущссгвуст пля .,ионой функпии и,=. С(.'5). Требование Ц !)(Р)<1О), ---. О (плинн«1. Е З.б.З. Внешняя третья краевая задача в пространстве (Х1' с К') 11о< гйновкй 'зйдйчи о нйкожцении ли<из< и, <еского 1» !Ьс)<нл: нйй ги <(зункцию и(ЛХ), уз(о(зз!<! !)оря«зн1узо урй!звени«>,'1йз( нзс<! (1« == = О в н<зогрйниченной области Х1).
улов;«творя«ипук) условию ди(Р) — ' Л(Р)и(Р) == О(Р) нрн Р (=,'7, (ц< 71(Р) ". С( 71; 1)( Р) > О; ди 151 '1 Ь(Р) С С(б) (6(Х') нс. раВна!Ождс)счвсш!О нз:ИО) и Х)с!оно.,ис)рно й стХ)асслчссук)сяк ну,ск) но, бесконечно!пи! (Жись 0' = К' ' Х); Л ограни нчшая обласчь с Сранипей 5). К.и)ссическое решение о,(М) Е СС (ХЧ ) с1 С (Х) ).,"'.( Требование регулярности искомой функции на бесконечносчи ',,) 1юзВО:сяс)т Сц)ихи)ни!ь !и рву ю фОрму:1) Грина В 1ШОграш1*и)1шОЙ:.) Ооластп Х)' н дока!Игь сдинсгвсчшость рс)шсния пост)вленноп й задачи. ::;! Теорема 3.13. Если функция 6(Р) > О и нс равна тождественно пулю па границе области, то внешняя третья краевая задача имеет единственное класс'нчс скос рени. н не. Докс)эительт)во.
Пусть в Х)1 суще!ченук)т два классических решения внспшей третьей красной:)ада ш: и,(ЛХ) и 11е(М), Тогда функция со(ЛХ) =. Н,(М) — и)(М) удовлетворяет задаче Ь со(ЛХ) = О с)со(Р) ЛХ е 1)', + 6(Р) и)(Р) =- О,Р е.,9; с))(ЛХ) при ЛХ вЂ” зс равнодп мерно стрем)ггся к нулю: !В(ЛХ) е С' (Х)')! С' (Е)'). Поэтому. как и в случп внешней зада ш Неймана, к фупкпии !В(М) можно применить псрвук) формулу Грина (3.18), откуда еле,чуст О Ь(Р)и-'(Р)1131, + Я (й)!и)н!,игас1со)СХХ)п -.--- О.
(3.19) х и' Поскольку /1(Р) > О, каждый из шггес ралов в (3.19) нс)с)трицателен. Из (3.19) слс дует йгас1и) = О в Х)'. т.е. !В(М) э— е с:опав в !Э'. Но и)(ЛХ) нри ЛХ вЂ” ОО равномерно стремится к нулю. поэтому и)(М) =: О в д'. ° 3.6.4. Внешняя задача Дирихле на плоскости (19' с )к') Для уравнения 11апласл) но, плоскошпи требование раиномср)н)го стремнина рс шсния к ну.,но на бесконс)нос! н яв шется жс',етним, '!ЯКОГО ренн ния хн)жс т нс сущс)стнОнать. Промер о.,). 13 полярных координатах (г, з)) на плоскости расс:мОтрим цс)нтральиО-сихсмс'три шую зада !у Дирнх.,!С) Вьн кру— га радиуса а и 1: Л)1(г) =-- О, г > а: и(г == сд = 1. Л1(!испо пес П)пить двй 1и)пн)пия з)(п! зй:)йчи: и,(г) = 1 и 1п 7 )лл (г) --= —.
Д1)у) их,ппшГН)о п()зйвисиь)ых р(шшшй у агой зй1п а. ')я*)Р1 и('!з НОско:1ьк)' ООП)('.с' р('«1е1п!с' ур)пзиепия (ли(7') =- О имеет впд и(г) = С, + С!пг. Ес„)и нотр(бошпь. побы функция и(г) равномерно стрс милось к пули) ия бескопс шости. то пп одно из -)тпх рспп(.ппй и( 1«)дходит, зй,)я*)а )нз иьнег рс пни)п!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
