Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик - Уравнения математической физики (2010) (1127878), страница 33
Текст из файла (страница 33)
!1ве,им функции ш,(ЛХ1 =- С(ЛХ. И,) и и>з(ЛХ) = С(И, ЛХ,) и при)и юо! к иим вторун> фо1>му.(у Грина в обла( >и Х> (1( и ~,'Хз ":), (дс Х( и' ПХ(',и-' п>ары ра,(иусов е с (и и грами и то >ках И, и ЛХ): 170 ш (7))) 1Л7)Ьи,1Л1) - ((5, 1~У)7зи, 1М))Ю5( и 17очч к "5) =ф.,(р) 5в'(р) —,(р)5 '(р))55,,5 , 71$ (р)5 7(р) (р)5р,(7))55.
77(, ( )5 (Р), (5)575(~)) 5 дпр 11в, 5Д(,;(Р)''" —.в,(Р)' '" )55,, =О д7)) д7) р ) ле )юрмали пр к поверхностям '. ' и Е,' -' )шправлепы внутрь 5П, "И, шаров К.и' и К"-'. Носледпяя формула озпачает, *гго д)()р ' д()р .,11151(7.57)' *( "')-о(р рг)' '( " ')115е-5 1)пв длр (3.28) Функции (в((Л1) и в)7(Л) виу(ри шаров К')' и К,.'~( ((нпв(т("Пя ШН) удОВЛЕтВОря Ют ура ВПЕПИ(О 11 пи. (Шве НаПИШЕМ ИП Г(грррц(Ь- по( предсгавлснш* фупкпип (())1Л1) в то )ке Л17 и фупкции (5)5( Л1) в точ ке ЛХ) ( ,(,557)=Ц(;,,(Н) — 'Л вЂ” -' — ' а(Н,и,) ' ~55с , д (7 (Р, М, ), д ил 171') ) дар д)) р =)1(5(7'.57)='("") с(7(н,) — "( "")~1,', ,(7 ~ дп) ' дп,), 171 Учитывая, что функции в))1Л1) и и575(М) удовлетворяют уравнению Лапласа в 0':Л7) и П ЛХ7 соотв( тствепио. а на границе К области ь) пршшма(от нулевые значения, получим .,Ггг)= фмгггз "~Гггг!-аГги !~ 'Г~!)~в,.
= гуггг !')г!г =-ХХ~ОгРгг) ! ' '! — Оге'.гг! ! " !)гЯ, ;-гг ( г)гг! г)ггг Сравнивая иолу иашые выражгвия для гг~!(ЛХ,) и гг!г(ЛХ!) г формулой (3.28), иолучгии ггй(ЛХ!) -- г!!,(ЛХ!) = О или С(ЛХо ЛА) = = С(ЛХгг М,). ° 3.8.3. Построение функции Грина методом зеркальных изображений Функция Грина зада ги Дирихггг С(ЛХ. ЛХ,) допускает различ- цыс физические интерпретации. Примем электроегатичгжкую ицтсрпрсгацшо. Пусть поверхность Я, ограничивающая область 11 гй К'. г,клава из идеа;и ного проводника и заземлг ца.
Пом!- 1 стим в точке ЛХ, внутри Х! электрический заряд величииой —. Ли Этот !!григ! ии„гуцируст риги!реле.юиис зарядов иа .гХ, поэтому потенциал элек!рг!стяги ггг! ког'о поля в области !3 (в вакууки' в 1 систем! единиц СГСЭ) ракен сумме цотсшгиала - поля )вХ)!!!!, 1о и"!восо га1иг,!а и ио!щи!и!:га г(ЛХ. ЛХг!) гк!,ги ицггУциРгигаии»гх зарядов. Эта сумма и равна С(И, ЛХв), Если мыс!и ши! убрать ин;!уцироваипые ца Ь заря„гы, то для сохр шеппя прежнего потенции.га С в об:исти 0 придется раз- местить некоторые точечные заряды вцс цоверхио!.ти Я, которые в 0 го ! !идут гк! гс с иотгш!ив!им ц Э! и:Заряды явля!!!ття;!ергоцицыми относительно У и.!ображг виями заряда, цомспг!'ино! о в точку ЛХ„. Такой прием полю иа т, ! гя г!б гаси и врос!ой геомстри- чег кой фг!1жгы цайти ц(ЛХ, ЛХ„) и во!трои!! г~уикциго 1 рива.
3.8.4. Функция Грина внутренней задачи Дирихле в области на плоскости (ХЛ С ))1 ) Отли гие случая двух независимых исрсмсциых от только что рассмотрециого состоит в характере особенности фупдгглгси гальио! о решения уравпешгя Пац. иса при ЛХ =- ЛХ„. 172 Определение 3.6. Функпия С'(Л1. Л1;,) называется фуи>сцией Грина внутренней задачи Дирихлс для опер»тора,1апласа в !> С йс, если: 1) г>(Л1.ЛХв)= — 1п +»(Л1). где функция е(Л1) гармо2т.
~ Гтгснс нична всюду в области В 2) С(Р, Л1,) = О, Р Е о. Функция 1п имеет смысл электростатического потен- ( 11.ии, 3.9. Поверхностные потенциалы двойного и простого слоев. Обьемный потенциал 3.9.1. Потенциалы Основная формула Грина в огр гниченпой области 0 С >к' с достаточно гладкой грапипей Ь даст интегральное представл< ние функции и 6 бв (В)Г>Се(1З) и(Л1) = — Д вЂ” -- и,(Р) — ~ — ) савв 1 ! 1 ди(Р) д 1 1 Ц йп с Дн» с1>>г д7>л В>си ! ~О и(Р)„„ (3,21)) > ле ЛЛ е 0: 12, и расстояние между точками Р и Л1.
Формула (3.'29) содержит интегралы трех типов: О р(Р) Ле» (3.30) пиала в точке ЛЛ 6.0 с >к-, создаваемого равномерно заряженной прямой линией, перпендикулярной плоскости, в которой расположена область 12, и проходягцей >срез точку Л1и. Поэтому для построения функции Грина можно пользоваться методом .>сркальпых изображений: кривую о.
ограни >иваюп>ую область О, надо рассматривать как направля>опгук> для бесконе иного ци, линдрического зеркала, образу>огцая которого перпендикулярна плоскости О. Ц у) — ( — ()), д ( дпи ()11 и (3.31) 114 (3.32) Р). ка?Кдый1 ии ко!орь|х их!ест Определс"нный 11)исзи !ес)кий смыс,ч. Иптстралы (3.3(И. (3.31). (3.32) иалыиьиотся соотвен"|венно по- п!спи иолом прас|поко сгол, )го)с)с)и!1 1)а, иьи дооп иоео с лай, обйемяым 1)опге)5!спилолгг фупкции р, и.
р )глоптосгти,:5!|дцг!Ошисз йти по- тенциалы. Интегралы (3.30), (3.;И), (3.32) являются интегрй, изми, 'зйиис:я|кими от цар!зхсезро!5: коорд|зийты Го |ки ийб)цодеиия М Я151|ЯК)ГСЯ Г|йййй|С"ГРЯМИ, Ииптралы (3.30), (3.31). (3.32) называй)г но)о!по!госзсгкггз!11 по- пст!1|илам!) (в Жх). 11аря,|у с ними можно в!|ости ?)оес)1)пс()мггче- 11)ти) 1|о)с!ей)1!гое!и (|5 К ). Ос|ювийи фо1гх|У;|й Г1иииз в ОГРййи к)и- ной области ЭЭ С К' с достато |но гладкой границей Ь'дгзет интс- гра.п нос представ.,|ение функ| цп| и е-: бп (ЭЗ)5 з ба (ЭЭ): 1 г( 1 дп(Р), с) ( 1 (11)= — г( — -- () — ( — 1 Эг— 2)с х ~ Й)55! ди! дог ~ И)си ) 1, 1 — — О Ли (Р) 1и с(п),11)Э1,, (3.,'53) 11! .51 1лс'.
Я)зргзх!е!ргзх!и л|51|якпся кООрдиийты ГО'|ки 1)! е О. Формула (3.33) с одер?кит |ппегралы трех |.ипов: ф р(Р) 1и «11, 1 (3.34) )11 л 5)) о(Р) — /1И вЂ” )1111„ д ( 1 (:1. 35) дп,, 11йп ) 1 О р(Р)1п — 11т),с)1)1,. (3.36) Лгг! Зйдй ьи вьг!исси ния нотеициалов (3.30).
(3.3! ). (3.32) н (3.31). (3.35|, (3.30) их!с!1)т сах!Остмпезп нос фияи некое:знй ни|ие. Нас йти и)петра.,|ы бу„|у| интересовать в оган)ином в лиг|и с вопросом о с)Эп)с'1)пгсзс)с!оп!си реп|с)и|и задав ) гирихси) и 11ейхсана, которьн' '3,'и сь б",|с м 'зйш|с||йй! ь и Ви,|с' с анси (ЛХ) = О, 37 С- !з. '1и х =.(Ф):,('=~ (Л). (3. 37) Л(,(М) =:О,37е= В. ди — .— (5(М):(7 с 6 (Л). дп (я, (3.38) Пк»)ываи(ся, ч го рс ин пис 5», Гали Дирихле пре,сстйпляет сс>йой иотешсиал двошюго слоя !331) (!Ии! (333)). (шотиос(ь 1> которого у;юв.(етворяет иит(хсральиому > раап('иик) с!)р(д)'Ольх(а второго рода. 1'с'пк иие:)вдави !!еймапа иредсчав.:)я<ге собой пот( шпшл !Они того слоя (3.3О) (или (3 31)), пло! вость р когорого также ,!7(ОИ>и.'творя(.'ч ипт('Гр,!.и,!юх(! ур»!Июиию укйзйии(н'О типа.
!1(Г>и гому сущ(т))юваиис решешш зад» ! (3.37) и.ш !3,38) !» такж( оо ! Ис'и тву! Гй)х 1 ис иии!К.)!1 (!! 1) с,и;;ст " 5 ори срред! о!!ьх!», 1101( ши1вл !332) (пли (336)) в об !Ю>ги 0 ! дов(егворя(п уравп(- 1(ию 11у»ссоп», ИОЙчому 'ии"п1ОГ репи*!Ии' ура»(и.'иия 11; ассоиа ((т<!ствеппо искать в виде (3 32) 1и.ш (3.36) ) с:)а,!»»пой плопи>- (тью р. 3.9.2.
Поверхностный потенциал двойного слоя 173 11у( 11 в тО'1к(' ! 1 )ц)О('1рй(н'Г15» Й пако;(1пся 3(ц)яд — (ч и ий р»сттояшш Ь от исто в чо >к( )>, заряд +(! 13 кочке паб.,)к>,ки(ия 37 ИОТ ш гни ад со(дав»емОГО »тими 5!ц)яп!ми Й>ик ц)и'и ск(»О ио!я с с равеп (г(117) = ' — (и вакууме. в сист(м( едииип !'ГС';Г>). Л,и 1)елипииу о = (О> и»!)ывают в(, и()иной ио((сипи! д!(!)о>!л! то (ки У ! и ! 1 Ои)к!де.1лкп' о(ь (>иве,(н Г1, им11>вв;и!П(ую 01' — (! к +с: мохи !и диполя спо векчор и =.
вЬ. Ес.ли Ь .(ш,(о по сравнении) (' Р )(("!(»Ипп(>п! Л(, и и Л„и, (о к выР»ж( иию н)37) мо>кпо>Ц)имени ! ь формулу .! игр»)ока: 1> ( 1 1 ) !> (3 ( 1>) Л>,и Лви ~ 1>, до Л) и 1;и и едпии'п(ый папр»в()яни>сий виктор о<'и дшн)ля, а то(ка Л* лежит между 1>5 и Р, иа зтой оси. 1>у>сох! сйлижссп, Л! и Л, в, со и, фикс прова(шой оси и, Го(»риис .1(ели'и)(1 (>ИГ)(ьья 16 -! О.
с ' 5, к„). Тогда в пр(чссси' иолу'п(м то- 'и"шый дино:зь, 1)асног!О!к!!нный В точке Р. с зз!'ыо и и вели'!иной момезгга и (пс следуе!.,зумазь, зто за1зяды гзротивоположпых знаков комп! нгируют;цзу! .зругзз! мы вьшо:шяем пре;и!льный переход с сохранением момента н при —. е — з — зс, +гз — з +х.). В гочке М этот точечный диполь соз,заст потенциал Х) ( кз(ЛХ) = — зз — —, где производная берется по координатам дпе Хт! з! ) то «ки Р в нап1завгзении оси и: д ( 1 ) 1 1 1 РМ вЂ” ~ — ) = йгаг) — ~п~сов р, йгаг1г — = —, гугзз, Крз! Хчш ХХги Фз! РЛХ~ 1 1 где ига!1 — = —,: (и( — — 1::р угол между и и вектором 1"! и ХХХзп ' РЛХ. соа р Итак, зг~ (М) = зз ХХХ !! Пусть Я . двусторонняя гладкая поверхность, и, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
