Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик - Уравнения математической физики (2010) (1127878), страница 35
Текст из файла (страница 35)
(ЛХв). (3.46) дам дп и дп(ЛХв) 71п(М„) дап, дп„ Свойство 3.9 вытскае г из (3.46), (3А7). ° Задача 3.2. Запиппгге (ЗА6). (3.47), вьюрав нормаль к по- верхпости д, епсипгюю по отношению к об.пкгги ХХ. И 1 спппшя виут1>сипев и впспшеЙ 1а.,та ~ 15сймаиа мо кпо иска гь в виде пота пциалов простого слоя» подлежащи. ш опре,а летию плотностями, Условие олнос горошпто ока ~ка (3.-17) является иптегральиым (см. (3.45)) уравнением сРрслгольма в~просо рода отпоситсльпо р, к которому сволится ппд»п1пчшлл зпдпчт 11еймана (:5.38): при (дс(ЛХ)) ЛХ6 д известна нормальная проишодпая ~ =- д(ЛХ). Ив11п и тсгральпос уров~гни» (3.47) разрспиьмо при условиях д 6 С(д).
~ д(Р)ддг == О. причем его общее рсшспис ивнев вил р(ЛХ) + + ~,(ЛХ), ~ лс с произво.:п,пая ш»стоки иая; йв искривив. и пес р<)пк пис соотвс тств) ю!Пего одноХ)одно<и) ин! <)! раль ного урш)неи пи (при д са О). Огск)да следует сущс"ствоввние решения )ада !и (3.38), (сл!л д удОВС(етВОря(!1' ук<а)ве!пым ус:ЛОВияк!, Х<пе()51(лл задача Неймана также сводится к ии!с!р![льнов!у уравпеиию <1)ре,вольки! вторспо рода. которос 1)ыражвсг одпо- сторонний скачок (3.46). Интегральное урввиепие (3.41)) разре- пшмо для любой функции д е СХ(9). заданной в краевом угловии (требовашк О д(Р)(Ьр — — 0 излишне). Полому в слу !ас' нспрс- рывнОЙ ())у акции д рсшсп1и'.
В(ив[и(Й '5адв'[п ! 1Сйх(впв В 19)с)стр<о[" спя (йщс)стВуе( и дв('и:я В Ви,[( ПОП)нциа)[в про("1ОГО с;ЛОя, 3.9.5. Логарифмический потенциал простого слоя Н „[15ум('рвом с)1)''<а(' поз('пинал аро5''!О!О С,1ОЯ '!)(Ц).—.= р (Р)1п — <Пр, ЛХ 6 )К', обладает свойствами 3л), 3.6, 3.7 по- тевциала врос гого слоя в пространстве. При атом 1ш! 1 (АХ) .—.. 0 и 'тогда и только тог;.ш. ког;Ш ~ р(1 )<11! — 0. 14ВК и в слу'1вс воя тсш[ивла,[войно[о слоя. и условиях односторонних скачков 13.46). (3.47) по(тоянпую Йт5 па,[о заменить на т.
ОупшстВОпанп(' рш[к'ни)1 Впуц)(*!пн'Й 'Ла,'[а'и! Н('Ймшш;[Ока'Ль[- вается аналоги (ио иросграис!!!<пи!Оыу <лучвю. 1'сшепие внешней 'Лада п( Нс'имапа В Ж ('('пи'.с'1'ву('т тО)п кО, ('сли у д(Р)<Пр = О, Лк)- скольку одвородаог иитегр Ллы (ое урввисиис), с оюзпое уравнению. к ко)Ором\' с[5Одит(п[ Вис'пп(яя за„1в'ш Не!й!ывиа. Вм('('т пОстОяииос нетривиальное решение. 3.9.6. Объемный потенциал П[сть !5 гочк(5 Х'!Й)осгрвлк:твв пв,хо;[итси !вряд [и,!и хин<в) (.
Б го [кс нвй:поденна АХ он (5<х(,ииг! Вс!<ктроствти кско(5 по.н. !П)- г< пциа, ! Которо! О п(~УХ) =.=- —. Е(СПЛ В оо)!аи! и Х) прес!р(51<с! 1)а Х55'(1 р Пир<,к.!епы:)аря;!ы < обьемпой п.п)тностью р(Р). !и в мв.!Ом об)кгвк дбрз!попо и и Ларя.[р(Р)(11)1. который В и) !к( ЬХсо 5.!аш р(Х') /кп/енцивл /ХЕЕ„. Тогда потшщиат, сопдавгпмый в ЛХв!!ми 11гп !аря,!ак!и в О. (3.32) 11 / Свойство 3.11. Об ьемпый потепциал (3,32) вс!о,.!у в Я' имеиг и! прерывньн !астньк произволпые первого порялка по коор,шнатам точки ЛХ. Б /Е/)и/!Зв///ель«//!//е т()ебуе !«я обо«иова гь яакоиио!'! ь )!иф!))ерепцировапия интеграла (3.32) по коорлипатам тишки ЛХ !нш и!аким и!и!'!3)/!.,!а, ° Свойство 3.12.
Обьемный потенциал (3.32) яи.,!яе!!:я гармои и п)ской функцией вне об/ин ги О; Ь в(ЛХ) =- О при ЛХ ф 1Э. Ч/)и/)!/!!пель«!////г/ !милует ич гого. *гго при ЛХ ф 0 поте! ра ! (3.32) «обста/в!пый. и /л)/ — — (1 ° ( ХЕ/ ! ) Свойство 3.13. Есп! п.илвосгь р е С' (О), !о в об шети 0 ооьемиый пот!пцисо! (3.32) ) лов,п. !!я)()я!"! ) ()ашк!ппо 1Ь а«сопя: Л!/(Л1):=. — Лгр( ЛХ) при /(Х 6 !>. !) /Е//)г/!,!/!!//с /ь/ "и/в(' '!(яб''е вся обо«иовам !') пзиг! вои/ппц! втор! !х проц!водных потеицпа. !а (3.32) в 0 и вы шслить Л//(ЛХ) цри ,(Х- О.
° Свойство 3.14. )пп а(Л1) =- (). ,! / Дг)к/!.//и/и.! ! /"т/)/) еле,!у«т и) формулы сре, !и/и о !пачепия Лля инге!ра !а (3.32) по ограни и пцой облас!и: Объемпьп! иогепцпал (3.32) яв:!я!'и я !пггегралом, !авпсяп!пм /и параметра /11, Ее:ш ЛХ ф О, то иптеграл (3.32) собствсшп!й: !с„!и ЛХ е О. то пес/)бствешп!й. Булсм по.!агать, !ло /)б/!аст! О конечпа, а п„к)п ность р ограни и.!ш и равпа цу)!ю шн О. и(Л!)= Я1(Р)!Ог.
!)- Е 72, 1 Очеви,пк>. что ) О р(!))(1Ш), (уммвр>им чяряд в !). В л 3.9.7. Логарифмический потенциал В плоском случае аиялогом об5ьемиого !ютеициегп( (3.32) являепя логарифмический ион)пциал (3.:56). Ес,ш р Е Св 5П), !о иотспциал 1336) удовлетворяет в области !) ура!)и(ии!о ()и5Л!)— = — 2кр(Л!). ("войс"Гво 3.14 объсхик>го пс>теипиала;!ля 13.36) ие ('ОХРЯ ПЯ(ГГС>Я. 3.10.
Бигармонические функции Определение 3.7. Функция и!'Л!) Ис( кольких Лей(хгвительиых перемгииых ижывяс тся бнгармонической фу)скис!ей в облас ти Ь>, ССЛИ В!3 Опа ОИРЕЛЕ)Л(ва, ИМЕЕ( ПЕИРСРЫВИЫЕ ЧаеггИЬИ' ИРОП 5- ВОДНЬ!С ЛО КТВСРТО!О ИОРЯДКЯ, ВКЛЮ*1ИГ(,1Ы10 И УДО!5.(СТ!5[Я)Я(Т бияармоническолсу уравнении) (3. 18) с) Ьислт) -. 11, л1 6 !).
(', !О"(ки 6>си!(я приложспий паибол>п>ес и!а !(ппс ихк;!От бигармонические функции,!Вух ис ремеииь)х: !) С ЛС-. В Декартовой д'и, д'и д'и систехк коордииат Оху Лсли(х.у) =.= —,—,2, ', Р дх' дх'ду' ду' 1 ас>сх>О!'рим (' леДу югцую кра('Вую '>Яда'!у: пай!'и биГЯрхюии'и'- скук> функцию и1хс у) в огряли !Сииой об:иг!и !? (: Яс'-', исир(- рыВВЛ!О Вхн'ст(' (' !6>Ои'>ВО.И!ыми и('1Н5ОГО поря,!кя, В 0 и )дОвлстВоря(ОИ1у!О ия !'раниц(' ~> 06:1яс!'и с) кр)и'Вы>! ТГ11015и>!м !(Р1 ) у ( — — УСЛ(), = у(Л!), (:5А9) ди(л!) ди г.к Л! = — ()!1х, у); — прои )волияя по ворча.)и к 5', ! и у ')ада даш!ые пспрсрывш и функции пя ко!пурс.().
Ес!Все!5 в>скос реик- иис и е С ф). ( (л1). 18-1 Тыкая !ада !а гкхтикыет в [ь<оекой теории дпрдыоспп! отцо<'илльио функции ныпряжепий: изучаю гся деформации упругой сре.[ы. к(ц)тияа кОТОрых О>[ииакОВВ ВО Вс<.'х и;1О<'костях. О(ц)ал,кльпых 1«которой пг!и< ко<ти. Апаы!О!и пшя теория ра<ех!7!!ри- 7!7<е! и !ада !и црос!раис[во!шого х ц>ак!< ра, па!ц)имер.
<>б ии ибе ш к 1 1.«.. о1 «.). С' «'.: Сй 1 и> (1[.7[ д) ГИ РХПОС ! и ГОИКОЙ[ О;ШОРОСП!Ой У ПР)той ПЛВСТИПКП ПО 1,К Й<"ГВИ( и 1>вепре,к)ленцой по ее поверхности нормальной силы < поверх<!О< ! [юй и !Отвес гьк> 11г, <Э) ),:[<и! и! Веря< т п«>[порп [иому Оиг ц>- моии и'< кому уравнению Ь(а[11са д) = ог'[я. д).
[3. 50) !Тк' !И>ст<>яппи! <( Опр<"ю:1я(гп'я '10:1И1ьшОЙ п,1а<'типки и >и>:!Т.[('м 1Опга. Решепи< уравнения 13.50) следует по,г[ишггь краешем )тловиям, описываюпшм характер закрепления грюпщы плаегинки. 1> случа< «шделыппой» по краям плгптинкп на ее грапип< О [Олжпы Выпо>шя[ьея )словия БАЛХ)!п, =-О. ' =О. д(< [ЛХ) (3,5>1) д>1, И>у и цие краевой за [ачи .[ Им [и пейн<и о нео шородпого урави< ния 13,75>0) требует прежде в<.е! о вьысшггь. единств<чшо ли 1>ешеиие задачи 13.48), [3.49). К задаче [3.48), [3.4<Э) приводит и мод( лировшше Обтека[шя )адаппо! о контура 5' плоским сц чени(и О,[породпОЙ !Весжи[ш« >!ОЙ жидкости. Теорема 3.19.
Зада !а 13.18). [3.49) не может иметь б<ии)е ( юного решения. ДО)<(1)<!7><ель<;!В<<о. Пусть им('>Озс>1 дйа 1к'пп'пия В!. 71, задачи <3.18). [349). Тогда функция 7'= и, — а, удовлетворяет уравн<нию [3 48) и кра<вым условиям [3.51). 1)о второй формуле Грина С1, д 1~, <9 ХХ ) ~ [(7 'х) — )(Ь ь')<1<17<)д =- <~> ~ХХ вЂ” — 1' — )<Х) выоерем <)>уикцпи У,~' дп ЭЭ„) 1(.= г, 11=- (".>!( Тог.ш Д[Ье) <<г<)д.=. О, Отку,[а Ь1: =- О в ХЭ. Поскольку ы[ЛХ)(и, — — О. из пршп[ипы максимума,шя гармонической функции 7 пс>лу" ии)м г е— е 0 в ХЭ.
° 185 3.11. Внутренние краевые задачи для уравнения Гельмгольца; случаи единственности и неединственности их решений .Зап)зсаппое в ка|и)пи'и)скоЙ фОрмс ли1и'Й|и)е ур)з<зие!п<е э)<лип- з Гич(('к<п'0 3 ппа (' по<.)))ая)п<)аз!33 КО.)<))<3)3«1!«.'Итп<)л<« 'М в, + )))и+ а. +р,<1,-3-р,,и„-; рхп,+ <1)3+ С(х, р, в) =-О Я можно <имепой иск<ни)й фупкпии (-:.У )= )( да)'-Р(- —,(1)<в+Рр+Р =)) 2 ирив<сти к виду ),„+ )„, +, +: + Е (, у, с) = О, ('1. 52) где с = <1 — — (р), + р] +.1)з): ]3 (3)з<). ) =-С(в.]ив)хехр( — (р,:г+ й ' '' '' 2' '4 ..
р)С -< р<<е)) (проверьте!). Если с —: О, то ( ],52) являет< я уравнением Пуассона. При ( ~ ~ О уравнение (].5)2) называется ураенениези Ге<!ьл(гольца (см. п. 1.1.О). В Игр<|ныл<пито области П С К' (или!) С: К" ),|ля ура!Пи иия Гельмгольпа л<0)кпо постав|си, те же .зада |и, что и для ъ рагзпепи й 2]аплас(3 и Пуассона. например. ( краевыми условиями Дирихле. Неймаыа пли с краевым усло|зием третыто рода.
При этом важно, со|зпадает или ие <овпада(т коэффипие)п с ура!зиепия (].5)2) с каким-)и|00 (Об(т!и!ниым '!па'!спи<'м ОператОра -<з (' (ОО(в('гствуиицим одноро,|иым крас и )м услови(м. Если число с является еоб("! 13('пиым;и|а'и'пи('м 0„'|Поре;п10й крае!)ОЙ:за;(а'(и для уравпепия, !апласа, то класси'и скос репи пие краевой задачи для ур!0)п(пия !ельмгОльиа ес)01 с]пи<-!Иуе!, 30 за|идОМО |иедипствеш|0. Если же |пело < отли шо оз соб(твеппых зпа и пий однородной краевой за. !ичи для уравнения, !апласа, ! о класси ик'кое решение о.шородиой или неоднородной краевой:за.|ачи для уравнения 1 е:п мголы |а едиш"пзеппо. Пример З.ф В прямоугольпом парач, !елепипеде 0 = (О < .с < ]е О < у< 1,. О < г < 1) найдем <обспинные и!а иния и собствеппьи. фуикпии оператора — Л с кра('вым условием Д<<рихз!е.
Собствепш и' зпачепия -)то те зпа и пия парам(тра Х. при которых суще- 1<]6 ! К" (д) + 11лЬд) =-- 0 1 (о) = о.у (1, ) =- о, ! Х" (;»:) + с Х (л) .= О, х(о) =- о,х(1,) —. о. (тс»г» Х„, (т) =. сй!» ~;»: (х»г») о., = ~ — ~, т = 1. '2,.... П '1 (-и У„(»д) =- вш — д . 2 —,и =1.2,..., га(в) ь-»г(в).=О. г(о) =-о,г©---о, Уь (с) = в1п~— —,к=!,2,... ., (»и и А'" 11оэтомусоб»твешп»езна пнин Х„,„, =т' — ', + — ', + —, гд» 1» 1»' ' т.
»»„А: независимо друг от друга пробегают все на»уральпые '»псла. Каждому собствешюму значению 1»„„» отв»»ч»»»гт собствеп- ная»()ункция '»»щ „» (ахд. с) = нп! ' —.'7: в!1» — 'д вш — в . МОЖ»т! ».»у чи гься. что одно и го ж»; соб»» венное 3»»ачени». л д»»»"».»и» ствуют ветр»»ниальны» решения уравнения»о„+ е„„+ в + М' =- :- 0 в В, удоп»»гги»1в»ющие краевому у»»»»овинз»»(х = 0 на границе Я »й сити П Собственные фупкш»и н»ой зада ш л»ожно покат» в виде »(д д, в) = Х(») У(д)Х(л). Р»сс»»в»»»»» у1та»»»»»»»и»»»а»»»а»у»»»вузе функцию Х»»(г) 1' »»(д) 7~ (г) Х(к) у(д)Х(г). получим + + = — у, = сопв1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
