Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик - Уравнения математической физики (2010) (1127878), страница 38
Текст из файла (страница 38)
26. Найдите ло! арифмн некий потенциал двойного глоя отре.ска -а < .г < а на (ад!1 с пшстоянной плотностью ось. 27. В полуплоскоссги д> Она сйгунайдитерепсенис Сада шДирпхсн для сранскния „1апласа В Виде .кна(ьнфмн'шскОГО посс!щня;са дВОйпОЬО слОя. 197 28. Найдите рс"шепни зада си Дирихле для уравнения,1аплаеа в круге в виде логарифмического потенциала двошнно слоя.
Запзссззссте з го решение в виде иптегра.сш Нувсгопв,. 29. Найдите потенциал простого слоя сферы е постоянной плотностью р„. 30. Найдите логарифмический потенциал проетого слоя отрезка -а < х < а ца Охр с постоянной плотностью рв. 31. Найдите объемный потенпиал шара е пск"соянной плотностью ре. 32. Пусть функции сз(хс у), исСз; у) гармоничны в области 0 С Из (в декартовой системе координат Огй). Докажите. что функция сс1х, р) =- =- хсссх, р) + са(х, у) бигармонична в?). 33.
Найдите собетвенньп зна сепия и собственные функции. -сзсз(х, у) =. ) сз(х, р) в О =- (О < х < ?п О < у < ?з), сс,(0. 0) =- О, т,.(?и у) = О, 0 < р < ?з, г„(х О\ = О, г„(хс ?з) =- О, 0 < х < ?г В каких случаях зШСача Неймана для уравнения Гельмгольца имеет в О елинствсчшое (ссеедссссствессссое) решение? 34. В слу сап сферической симметрии (и= сс(г)) найдите гобственш се знв ~ения и собственные фушсцпи задачи — с1 сз =- Хсс в зпв)зе [! < г < а, и!, , =- (). В гмьпсле какого скалярного произведения гобспзепные функции. сзтвечак)зссзсс различным сссбзственнсям знанниям.
ссрссзГссссецзьзсы? Решите задачу Дирихле для уравнения Гельмгольца сзс~+ г г =-- 0 в шаре <) < с < а, з з з з сс) = ие —— - сопвг. 35. Ршпите задачу Дирихле для уравнения Гельмгольца з з ч з с."ссс+ си == р;, = гопьС в шаре 0 < г < а, сс), = О. 36. При р > 1 решите задачу Дирихле д:и уравнения, Лапласа в Ь и(г„р) —.= О, 0 < с < а. О < .р < 2ть гов (гс," ср) и(агр) =. ~', 0 < р < 2л.
Найди се 1 1 , '(сз, ) т )сс„, ) 'сзхх?у д?зя полученного решения. Прн каких с с р рс шелиа сз? г.,р) можно понгроитсы минимисвлруя интеграл Дирихле.' Глава 4 ЗАДАЧИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ Волновое уравнение !)с) ()и',1) = а лч)си(М,1) +,Г(11.1) описывает ма:)ые колебания. его решение )ввисит о! то )кп М(х. )л х) в пространстве и от времени О Эсо уравнение гипс рбо.п! к)скосо типа. Область изменеш)я прострапствеппых переменных в )к!.
2 или к!' бучем обозначать через О, а ее граиипу -. через с)'. Для выделения копкре)ного воле)ового процесс!и вувспа,сополпительная информация об ис'комой функции и(М. 1). тСелательно, стобы такая информация приводила к )соррек)пой постановке )адачи цахохкдения и(М 1).
4.1. Задача Коши для уравнения колебаний бесконечной струны. Формула Даламбера. Корректность задачи Коши 4.1.1. Классическое решение задачи Коши на прямой. Формула Даламбера (:1.1) изучение простейших волновых процессов на )ием с задачи с а*шльпым даииымп дл у авислшя и„(х.,!) =- а"и, (х,!)+ 1(х,1) 19)Э с одной прострапствепиой переменной хи временем О В зтом случае область 0 = ( — ос < х < и- о), о'= я, 1: О. Вели шну и(х, 1) удобно иптерпретировачь как поперечное (в плоскости Охв в направлении оси Ох) смещсчп)е в момент времени 1 той то )ки бесконечной струны.
которая в с!к тоянпи покоя имела коор.пшаты (х, О, О) в Охух (покоящаяся струна совпадает с Ох). Величина а = сопЫ > О. Задача Коши для уравнения колебаний (4.1) состоит в нахождении решения (4.1) при заданных начальном отклонении струны п(т„О) и ее начальной поперечной скорости п,(х,О): ! ии(г1) — -а'-'п„.(г,1)+ 1(х,1), — л <г <+ос, 1>0. (4.2) п(х О) = р(х),п,,(х,О) =- ~,(х), — зс < г < +ос. Определение 4.1. Классическиль репиением зада т Коши (4.2) называется функпия и(т, 1), определенная и непрерывная вместе со своей первой производной и,(х, 1) в области — с <:г < < +ос, 1 > О, имшошая неп1)е1эывпыс п1хшзоднь«' ии(г, 1) и п,,(г, 1) в области — эс < х < +ос, 1 > О, удовлетворяющая уравнения> колебаний и заданным начальным условиям.
Зальечание 4.1. Прямая 1 = О, на которой заданы па ~альпыс даппыс р н ьп не являеття характеристикой уравнения (4.1). ° В силу линейности задачи (4. 2) се решение можно представить в виде суммы решений двух задач: ! пи (х1) = а-п,, (х.1), — ос < .г < +ос, 1 > О: (4.3) п (х О) = зэ(х), и, (х О) = ь:(х), — эс < г < +ос ! 1«(х 1) =- 'и„(К1)+.Пгп1) — < г <+ 1> О:. (4.4) и(х,О)=0, и,(х,О)=0, — ос <х <+ос, Рассмотрим сначала задачу (4.3). Предположим. по су~дествусг ее классическое решение.
Заменой независимых переменных приведем уравнение свободных колебаний в (4.3) к его первой канонической форме, содержащей смешанную производную. Для этого запишем дифференциальное уравнеш«: характеристик (ах) — а-(а1)2 = 0 и найдем его интегралы. Поскольку ах — аи1 =: О. аг -«ай = О, имеем два семейства характеристик: х — и1 =- С, = сопь1 и .г + а1, =. С, = сопв1 (на плоскости Ох1 это два семейства пара.шсльных прямых). Вве.1см новые псремевшыс С, = х — а1 и О = г+ а1.
В резул тате замены переменных уравнение свободных колебаний приводится к виду 1'с«(1„0) = О, где 12((, т1) = и(х(С., О), 1(С. 'ц)), Легко найти общее решение этого уравнения; Сс (С, 1) = У (~) С (( В) = ~ У (() 1~+ Л (В) = )' (С) + Л ( 1) где ~, и ~, - произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции. 200 Вернемся к прежним перемсспным: и(х. «) = — Гс(х — а«) + Ях 4- + а«).
Последнее равенство означает, что обще решс нпе уравнения свободных колебаний представляет собой сумму волны 4!. распространяющейся слева направо по оси Гйг со скоростью а, и волны ~,, распространякнцсйс'я с той же скоростью а справа налево. Профи.п! во.п! «! н Д со врссмсснех! Не лефо1>мирз ются, поскольку в рассматриваемой моде. ш колебаний нс учитываетс я трение и другие ис кажающпс факторы: происходит только смещение профи. сей волн со скоростью а вдоль Ох и их сложение (для более реалистического описания колебаний следовало бы учес:тгь например, силу трения, пропорциональную скорости а,(х, «)).
!!тку:са 1 1 С У;(х) =- — (: )- — (,:Юа«.- — ', 2 2а 2 «(:г) =- —,р(.г)+ — ) о(с,)Ф + —. 1 ' С 2 2а, 2 бчтсоовательн. ( ) (х-а"' ("а') ' 'Г' .(.)1 2 2а -«, Формула «4.6) называс тся фора!ус!о!!,Лалахсбсра. (4 б!) 201 За.иечание 4.2. УРавнение иа =. ага,.„не месшстса пРи замене времснп «на — «. Этим выражается обратимость механических волновых сц)о!Сессна во врехсени (как будут свнгагься во.псы Х(г — а«) и Л(:г+ а«), если «заменить на — «2) И Выделить конкретное решение уравнения свободных колебаний можнсэ. например, с помощью начальных условий шдачи (4.3).
Определим функции «! п «! из системы уравнений и(х О) = «(х) + Л (х) = т ( г), — зо . ( +ос, (4.5) и, (.г,0) = — а«! (х) + ал (,г) = сз(х). ! де штрих означает пропзводнусо по по:шому аргументу функции одной переменной. Инте!'рнруя в'!'орое уравненис'., пс!ссу'псеы «! (х) + 4, (х) =-.,~(х), 1 —. Г! (.г) д- «; (х) = — / м (с ) с«г, + Г". С = сопя!,, а 4.1.2. Корректность задачи Коши Теорема 4.1.
Пусть в (4.3) функция р(х) дважды непрерывно дифференциру«ма, а функция»(х) непрерывно дифференцирусма при — эс < х < -~-х. То> да класси некос решение зада*>и (4.3) существует, единственно и определяется формулой Даламбера (4.6). Дакаттсльсгпво. Если «$>ункции,р(х) и >й(:г) удовлетворяют условияк»соре»ы, то н> воср«дс и>анной >0>о>юркой устанавлина; ем, что заданная формулой (4.6) функция и(х, С) является класси >вским решением задачи (4.3).
Сиота ма (4.5) определяет вид р«'ц>ш>ия (4.6) одно>нанн«>.В Рассмотрим наряду с задачей (4.3) зада >у > йа (х,1) .= а-й„(г„1), — ос < х < +со, 1 > О; (4.7) й(х,О).= ф(х),й„(х,О) = « (х), †:>с < х, < -;-сс. Теорема 4.2. При:побом конечном Т > 0 для лк>бого числа г > 0 найдетг я такое число 8(е, Т) > О. что если функпии ~р, к «>, « в задачах (4.3) и (4.7) удовлетворякп неравенствам га>р < р(х) — ф(х)« Ь, внр <>р(х) — «>(х)« 6, (4.8) Ъ, я .л.; ~ъ.
>т> решения задач (4.3) и (4.7) уцовлегворяют перавенс>ву впр <и(х,1) — й(х,1)< < е (4.0) нрпо<1< Т. Д»каз>нне.,>ьспи>г>. Из формулы Даламбера (4,6) следует неравенство 1 <и(х.1) — >1(х.1)< < ~>,>(х — »1) —,р(х — аЛ)< + '> 1 ' О> + — < -(х +а1) — ь(х+ а1)<+ — ~ р(г,) — «>((,)<>1~. 2а ь> 1«ндг> и> (1.8) вог>учаем 6 1 <н(х,1) — й(хд)< < — + — -~- — 2а16 = 8(1+ 1). 2 2 2а Если решения >адач ('1.3) и (4,7) рга сма гривакпся только па, отре;>ко времени 0 < 1 < Т, >т> па этом отрс>ке времени выполнено перавенгтво (4.9).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
