Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик - Уравнения математической физики (2010) (1127878), страница 41
Текст из файла (страница 41)
1х'(-х), т. < О, Г(хд)= ' '' ' 1'(х,(),х > О, ('1 — х,(),т < О. В С~ определенная формулой (4.18) функция Г(х, () совпадег с решением задачи (4.16). Чтобы и) (4.18) получить формулу для и(х. () в области 0 < х < а( при четных Ф, Ф, Х; снова воспользусгася характеристическим треугольником: (х+ а') + '~(а( х) 2 1 1 ''' + — ~ ((ца(,+ — ) „((,)ас+,у.,(.1) 2а 2а, где У а Ф") 1 ~ ~а(! .,г 2(х,г) =- — ~ дт ~ ((г~.т)ас+ — ~ дт ~ (Я,т)д(, + 0 в в «(е -,). г г-' а(! + — ) И~ ~ ~(~~,т)д(,.
а(! й В задаче (4.16) с краевым условием третьего рода и,(0, ()-- — Ьи(0. Е~ == 0 (и = 1, (3 = — й) также продолжим функции;р, ач ~' на всю прямую. Функцию Ф(х) при х < 0 найдем из задачи Копти для дифференциального уравпения первого поря.(ка; 21 1 Ее решение: Ф(лг)=;р( — х)+ 26 ~ е"' ",р( — Е)с!Е„.г < О. О Аналогично строим сЕь(лх) и Еь(х, !) прн х < О, а затем аращпифровываем ь (4.18) н области 0 < х < а«„пользуясь характгрнстивским треугольником: р (х + и ! ) +;р (а « — х) 2 О а' ь ал Нг агл 'гл + — / ач(Е)с!Е,+ ~ ела сь(Е)с!Е+.Уьь(хг!), 2а, а где лр ил .
алг.г«а 1еа' ° 1 "~(,т)«~. О О цг.. 0 аааьл а) + —, ( «т ~ Х(Е,гт)с«~+ ~с!т ~' 2а 2а О а«г —,' г гьг — гЬ г (сравните со случаем краевого условия Неймана, ьлсьаломсьсв 6 = 0). 4.2.3. Распространение волны, вызванной краевым режимом В задаче (4.17) причиной возникновения возмущс ний можс т бьп ь только красной рс жим.
Он вы:эывает бегущую ицьаво волну: и(х. «) =- у(х — и!), где д(р) подлежащая ощндслс нищ фупкппя одной переменной р. В обьльссли л: ) а«, о п видно, и(т. !) =- 0: вызвашсая краевым режимом воаша в момент времени ! ) 0 еще нс достигла, точек с такими координатамп х. ЕЕайдем и(х. !) в области 0 < х < а!.. Е1 .лада ш (4.17) с краевым условием Дирихле ьл(«1, «) = «л(«) фуьлкьлило д(р) найдем из краевого условия: и(0, !) = д( — а!) == 0(!). Еь) . откуда д(р) = р — — ) (прсьвсдена замсьла р =:.
— а!). Поэтому « О. х -> а«„ лл(х,!) =- ( х) «ь~« — — ~,0 < х < а!. а В задаче (4.17) с краевым условпем Неймана сб(0. 1) = п(1) фупкцпсо д(р) также найдем из краевого условия: и,(О, 1) = д'( — а1) = п(1), откуда д (р) ==- и — — ~, д(р) =- у и~ — — ',1. =--а) п(тХ1т. Нозтогиу а а в 0 х > а1. получаем решение и(х,1) =- — а ~ п(т)с1т.О < т < а1. В палаче (4.17) с краевым условием третьшо рода и,(0. 1)— — Ли(0. 1) =- и(1) для нахождения д(р) из краевого условия имеем д'( — сс1) — 1~д( — а1) = п(1), Снова полагая р ==.
— а1. полу саехс задачу Коши для обыкновсчисого лифферсвцпальпого уравссеипя: д (р) — Ьд(р) = и — 1, р < О. и1 д(0) = О. г к ркпитие:д1я=Хеп '.(--)~с=- саХ"" ья..тп- а а да рсшеши (4.17) с краевым условием третьсто рода имеет впд Ох а1. а(х,1) = — ае"' "1 / е""'ю (т)сХт,О < х < а1. а 4.3. Задачи Коши для волнового уравнения в пространстве и на плоскости. Формулы Кирхгофа и Пуассона. Метод спуска 4.3.1. Классическое решение задачи Коши в пространстве Задача Коши лаос во;шового уравнения в простргок'тве состоит в пахождсппи функции и(ЛХ. 1). ЛХ= ЛХ(х. 11, х).
удовлетворянь щей ураввеппго ' . (лх:1) =«'~ (лх4+Х(лх.1), лх -: В:, 1.з. о (1.20) и нача21ьным услОВиям ««(М, 0) = 7-(ЛХ), ц(Л1., 0) = тг(Л4), ЛХ Е 1Й2. (4.21) Таким образом, область В == К'. ! е «рашлпа д = «л. задача понтавлена в 11 =- 0 = Тг(ЛХ,1)~ ЛХ Е Я«,0 < 1 < ч-х). Замечание 4.5. В пространстве независимых переменных «а у, 2, 1гш«рповсрхность 1 =- О, на кеиорой за.«апы данные Коши. не является характеристической. ° Класси «ским решением задачи (4,20).
(4.21) называют фупкник) 'и е с («)7) ! ~ С (!7), ко'!ОраЯ «ю«'!'т«' !' 10)Ои'«ВОЛИОЙ 'и, н««прерывно примыкает к на !Иип ным «анным при 1 — О+. При что«« неооходпмо, чтобы 1Е С(12), г) Е. С'(«7), гд Е С(тг). Как и В задаче 14ошп с одной простран! твегп««)й переменной. постоянная а > 0 являсп я Величиной скоро! ти рас««ространения волн в пространстве.
Покажем зто на примере за,«ачи (4.20), (4.21) в с «у «ае с«с«))ерн «ской симан «рии: .„". = 5)(г], М = «)(7). 7'= 7(г. 1). 7' =-,~,г + й -1- -. Решение "гакой задачи в каждый моме«п арса«'ни также должно быть сфери «ески симметричным: и = и(7. 1) . В с!()ери «с«ОЙ спет!".~«1 координат н слу «гн.* сф«.ри «ее«ой сих«х«с- 1 д ( .,ди) 1д2(г"и'1 трии оператор Лапласа имеет вид ) и = —,— ~гл — ~ .==— .2,,~,.~, . 2 н«гзтох«1 7' дг' дг'. 7' дг ии(г«)=а —,, +/(г,г).г>01>0.
,, 1 д) (ги(г.1)) 7' дг' и(гй!) ==,„;(7).иг(720) = ы(г),7 > 0; (71 (г.1)! < сог«4, О < 7 < 7), 7 > О. Положим а(г, «) = ги(г. 1), тогда для функшш г(г. )) получим лада «у на луч«г > 0: и«г =-а)г,, + г1()Л),7. > 0,1> 0; и(гО) =- г з)(г). В,(гО) = г м(г),г > 0: и (0,1) =- 0.1 = О. При зтох«1" пт««), что 1п«з (ги (г 1)) = 0 в силй Ограни «евно! ти и. ю решение с(г, 1) строится методом продолжения на всю прямую — с < 7 < +х (по формуле Даламбера) и представляет собой 217 Теорема 4.5.
Пусть Х е С! (Х!>), р Е С'(Кэ), Ф е С"'(>кз). Тогда классическое решение задачи (4.20), (4.21) существует, опо единствеш«> н выражается формулой Кирхгофа: ,,1 0 р(Р)>Х !е + и(ЛХ,1) =— д д! Здес! Х! '(! замкнуи ш пгар с пглн1>ом в и>'пкс ЛХрадиуса ай Ь">!' сто повсрхпо>гггы Ю>, эл!'мегп площади поверхпос! и сферы; Ю> 2 элем>вп обьема:, Яи, = (г, — хп) -!-(у, — ди) +(е>, — >,), Из формулы Кирхгофа вытекает при 0 < 1 < Уустойг>нвость решения задачи (4.20), (4.21) по отношению к возмущениям >р, >'„. Х: Тем самым задача (4.20), (4.21) корректна. Зальечание 4.6.
Напомним (см, и. 1.3.1), что в пространстве и!'.р!'мснных х>, уг, с>ь ! поверхнос'!'ъ Й>н = а (! — >>>) '!В.>!Яс'!'ся ! ! характеристикой волнового уравнения. Это конус в четырехмерном пространстве с верппшой (ЛХ, 1«). Если вэтом «тырсхмерном прес>1>аист!«! >очка (ЛХ, Л>) фиксироваг>а, то условие Ли, == а(1>> — 1). 1< 1!> (4.23) определяет те точки Р е >к', из которых возмущение, вьш>едшее в момент времени й достигнет точки ЛХ в момент времени 1». Условие (4.24) 218 волны, распространяющигся вдоль луча 0 < г < +ос вправо и влево со скоростью и.
Иь! соответству>от сферические волны в >гространсгве: ра! хо!!яп>аясэ! из то >кп > .--- 0 в бе>коне !ность и >ход«и>аясэ! в эту то >ку и! бе! коне >ности. Оты>ггих>, г(г,1) и(г,1) =, нозгому распространяющиеся в пространстве сферические волны убывают на бесконе'>ности как —. г Сформулируем без подробного доказательства теорему, даю>цую решс~ие задачи (4.20), (4.21).
о!О!!делив!''!с *!о'ьки Х е К', для котоььььх ььгхзхьупььппье., ьььписдьць!' в момент времени 1ьь из точки ЛХ. достиг»от Х! в момент б Если 1 и ~, фиксироватьь то (4.23) п (4.24)»проделают сферы в Я'. ° ) !.Л > О, (Х,1> О. За.мечание 4.7. Если положить Г =. ~ Р' =. ' и! *10.1 < О, 10.1 < О, в п1хзстранстьзе четырех независимых пс1х мепных --сс < х < -ьж. — ос < д < + хь, — ос < г < + ос, — ос < 1 < +ос функ!с!!! Г(з:„ьл ', 1) удоачепюряег уравнению Га =- а ех Г + г (х ьд е г ) +ьэ (х у г ) 1ь (1) 1 +ььь(ьг, р,а)бь(1) в смысле обобьцсхпп ьх функций. 11а*пзльныс возхьупьения,р и ььь для функции Г!и раки 1ыгп мгп»вени!но источника р(хддв)Ь'(1)+ сь(х,ьда)Ь(Р), «граб!а! ываннцьто.
в момент времени К =- О. При этом начальное возму!и!зине „э опрс,.их!!!с! двойной слой хэ(х. ьд х)с'(1). а на ьальнос во ьхьуыььььыьь с опрс,кляет просп!ой слозз гь(х, 1ь, х)б(1) ца гипсрплоскости 1 = 0 в итырехмерном прог!ран»тес. Формула (4.22) прььдсгаьь.ьяс! рсппнис и(ЛХ. 1) ьь виде сух!мы запаздывающтзх потенциалов двойного ело !. !О!ос!ого слоя и обьсмног» пот!!!и!нала. В Идея дахизопи лы:!пни форму, ьы Д.22).
1'ассмотрим сначала .у* й Х=во, В;„см .1, 1М С'(11х) Се(У) „„,.„;,, пиму правилу: для прои.зв»льной функции (ЛХ) б Се(Кьь) при 1 > О положим М(-ь)(ЛХ,1) —. 1 Д -.(Хх)дб', =- 1 Я -ь(Х")дЗг„(4.2б!) 4",та'1,„„4т ОХ: ОЛХ + ~ИХ!~, ьХЯь:: (а1) ьХХХ! 1 Величина — МИ(ЛХ.1) яв.ьяегся средним значением функции , на сфере о,'ы'. О!а!он!!ос свойство оператора М состоит в том. что для любой функции 1(ЛХ) б Сз(ьаьь) функция МЦ(ЛХ, 1) удое.ютворяет задаче , Ми(ЛХ.,1) =- аеЬяМ(чь1(Л1Л), ЛХ е К'., 1 > О, (4.26) д1' М)-!)(ЛХ.
О) = О, —,д Ми(ЛХ,О) = " (и). М 6 Ж'. Из 219 Поэтому, если тл(ЛХ) е С~(Ж'), то при Хэ— в 0 и р = О решение зад дачи (4 20), (4 21) дается в виде МИ(ЛХ, 1). сРуикция — М (т-) (ЛХ, 1) д1 является решением задачи (4,20), (4.21) при Х =: 0 и ы =: О. если -(ЛХ) = С (Кв). Действительно., поскольку фувкция МЦ(ЛХ. Х) удовлетворя- сЗ ет однородному волновому уравнению. го и — МЦ(ЛХ.1) удо- дХ влстворяст этому уравнению, Тогда из второго начального ус.ювия зада цс (4.26) иолу и ем первое иачальиое условие в (4.21). а второе условие в (4.21) (м = 0) выполнено в силу равеиства (см. (4.2 )) — — М(;о](ЛХ,1)) = а'-'Ьм М(,р)(ЛХ.1)), = О, д(д )=в Решение задачи (4.20).
(4.21) с Х ие равной тождественно нулю, ~ = О, с: = 0 можае цостроить, иатьзуясь принципом Дюалсела: если функция ш(М. й т) удовлетворяет задаче сал — — а стсоа(ЛХд.т). ЛХ Е Ж''. 1 ) т; св(ЛХ, т, т) .== О. сг,(ЛХ. т, т) .=- )(Л|. т), ЛХ е Е', то функция и(ЛХ.1) = / ш(ЛХ.йт)с1т являетсш решением задачи в (4.20). (4,21) при р = О. су =. О. Тем самым третье слагаемое в в 22)»вкучшци Х вЂ” ., ХХ/~Р.,е~з /с . ° 4яа,-' (1 — т),„ Я," Замечание 4.В. Если Х= О.
то формула (4.22) имеет вид и(ЛХ,1) = — М (сэ)(ЛХ,1) + М(~)(ЛХЗ). ° д стс Замечание 4.0. 11усть и(ЛХ, 1) удовлетворяет волновому уравнению а„= а~слив+ Х(ЛХ.1) в ограниченной области Хс С К с гладкой (или кусо шо-гладкой) границей 5, и . вцсшияя нормаль к о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
