Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик - Уравнения математической физики (2010) (1127878), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Тогз!и в точку И возмуп1ение придет в момшп В))ехпзви 1»»» = — и буде1' дейстВО!Зат! В М Вплот1 до момента в времени ~„,»« = "'. При ( > ~„,««в !очке Лз снова наступит поп кой. Это значит. что !срез точку М в момент времени )„„„!Йюхо,!ит передний фронта волны, а В момепг времени !»,„.
задний фронта волны. М!(ожс(с пзо заиисимскти решения от значений з, в П есть множество гочск в Кз хп)ждз псрсднпм и задшлм фронтами, В моме!и времени 1 перелшш фронт явля< тся вне(аней огибающей сфер Я(, где точку Р проб< пп г все множество !). Задний ф)юнт является внупзреьзней огибающейэтих сфер. И гак, если на пц!ы!ые ВО ю!уп!сния з(окьс!Изовапы В п~)остры!и( В<) ((! (Р) ==- 0 прп Р у' П ). то в к(пкдой точке врос"!ршп гва онп вызы!)аю1 В<) змупшпия. „!Ока!и)О15 нп!ы(- ВО Вр(м(пи. Пр!л этОм 1пт последейстиия: после прохож;и)пня возпюй точки Лу -)та точка «забывает» про Во.
шу. Отли*!ие формулы (4,30) от формулы (4,22) )х!ы снова считаем ) = 0, „-.= О) сосгоит в том, по интеграл. содержащий сх вычисляется по круз у )у'з,',. а ьпз по его границе. Пусть снова мгновенный точечный исто"шик возмущения импульса з, .=- Ь(сг, 1). Е) на плоскости Оку «сработал» в момент времени 1 = 0 в начале координат Г). '+гот источник теперь следует рассматривать как совокупность таких же исто*шиков. равномерно распределенных вдо:и оси Овв пространсьве Огра В<хзз()щение о) такого исто 1- ника в момент времени ~ > 0 будет пиредоточсно в гамкпутом круге Л',",' на плоскости Оку (из!и.
что то жс самое, в прямом цишп!дре с оспоьзанием ((О)( и параллельной оси О обргязуьощей в пространстве). Имее!ся передшш фроьп волны, дви)кущийся на плоскости Г)<!у со скоростью а. ')адис)го фронта всхшы пет па ьшоскости ихп:ет Зп)с со диффузия волн. принцип Гьойгс)нсы на пз!Оскости !шру ш «. (<Зя. "Э)с) с!С!ко понять„< ели расея!О10<*гь рас— прострапенис в про< грппстве Оьгуг цилип !)ВЗ !оськой волны.
форма которой пе зависит от ьс Ке передний фронт движется !!ер!и идикулярпо Ог со скоросзью а. В пространстве Ояу действу<'г п1)ип!Зпп Гки!С(пса, позтом ( (озм) п(< ни< О! Ра!Зиох(с!)ВО 1)п<п1)сделеьшых вдо.п ОВ исто пшков. «сраоотавших» в момшгг (' = О. В момщп времени ~ > 0 достигнет гочки ЛХ й Ояу липьь и;5 тех точ(к сферы ()5!!' С Г)туг, которьп.
Лежьп на, ОВ, тз . и:5 двух гоч<'к 227 ..р..тр...,.ь....р,,а..,- ° Ьй~,7~' — Л3п) Пр. 0 < 1 < — ' возмущение от исто гников, распределенных вдоль поп оси О~, еще пе достигнет точки ЛХ е Охд. В момент времени = — в точку ЛХпридет возмущение из точки О, а в каждый Х1,я а момент 1 > 1„„,„, в ЛХ будут приходить возмущения из указанных двух точек на оси Ов. Поэтому в точке ЛХ возмущение будет наблюдаться при всею 1 > ~„„„, — задний фронт волны отсутствует Если причиной возмущения и(ЛХ, 1) является не точечный источник иа плоскости, «сработавший» в 0 в момент 1 = О, а множество источников, распределение которых на Оку в момент 1 = 0 характеризй ется ф~ нкцией с~(Р). то каждый из этих источников следует рассматривать как совокупность таких же источников, равномерно распределенных вдоль параллельной оси Ов прямой.
Пусть ы сосредо.гочена в ограниченной пбластпи Й С С Ж~: ЦР) =. 0 при Р ф П, В момент времени ~ > 0 возмущение распространится на множество плоскости Охр, являющееся объединением кругов Хф, где центры Р пробегают всю область Й. Граница объединения всех этих кругов является передним фронтом волны на плоскости. Пусть передний фронт волны достиг в какой-то момент времени точки ЛХ Е ХЛтр. Далее с течением времени колебания в ЛХ. обусловленные начальными данными ( в ограниченной области 12, будут ощущаться постоянно. но при болыпих 1 затухая со временем: это затухание обеспечивают а"С" — Л1п в знаменателях подынтегральных выражений в (4.30). Возмущения, в момент 1 = О локализованные на плоскости (ЦР) = 0 при Р ф П). в каждой точке плоскости вызывают возмущения, не локализованные во времени.
Дадим качественное сравнение физических интерпретаций формулы (4.33) и формул (4.22). (4.30). Достаточно рассмотреть случай Х = О. Формула (4.33) описывает распространение волн вдоль прямой Ох, вызванное начальными возмущениями э: и ть Ее отли гие от формулы (4.30) состоит в том. что значение решения п(я. 1) определяется начальной скоростью ы на отрезке ~х — аб л -~- а1! и начальным смегдением 1э лишь на концах этого отрезка. В формуле (4.33) отрезок )з — ай т, + а11 играет роль одномерного шара, а точки х — а1, я+ ай - его граница (сфера в одномерном пространстве). 11оэтому зависимость решения от р аналогична слу:чаю.
х!1рактсрпзуслагому фо~лхгулой (1.22) в 251. и зависимое! ь реп!ения от с' случаю, характсргюусмому формулой (03025 в 22. Пусть мп!онспный тпочечный ллсточник на лгря2иой 02, создал начальное отклонение. В момент времени ~ = 0 в пача;и коорлина г О. Этот источник теперь слелует рассматривать как совокупность таких жс источников, равномерно распрсдслепных по плоскости Оуг В пространстве Охух. Согласно прглпципу Гкйлгенса в трехмерном пространстве в момент времени ~ > 0 возму!пеппе от чтих распредслеш!Ых по Оус источников будет сосредоточено па плоскостях, параллельны:с Оу2 н пересекающих Ох в точках тай Эти две плоскости и являя!ген фронтом Во:шы; после прохождения точки в Оху2 фронтом В ней снова наступает покой, Ес2ш мгновенный точечтгый источник на прямой Ох создал в то !ке О В гк!Мент ~ =О начальный импульс.
то н его ! 21сдус т 11ассмс!три!лить как сО15ОкуппОсть !Яких жс ис гочсгикОВ. равномерно распре Ге!генных по Оуа О момент времени ~ > 0 Возм1'пю!пгс' От зтих псточпиков Оудслт со!О!ело!о*!с!ИО В плоском с'лОС :!Сж,лу плоскостями, паралле.тыгыми Оу и пересекающими О:г, в точках чспб После прохождения точки в Огу' передним фронтом волны Во.лмущепис' в ней сохранится бес конечно долго.
Дейст!лигельпо. По принципу Гюйгенса в точку ЛХ(.1„5 О, 0) е Осу=в момегп Врсмс ни / > 0 возмущение будет приходить из гех точек сферы 55!с С Охал, ко!орьк лс'жат в плоскости Оу2, т.сс из точек окружностн ~(х.!у, ))у2+ 22 = с!21 —.г;,',х == ОХ. Позтсагу при ~ < —" = ~„„5,, ,2 2 22 в точке 1УХПО!сой, в момент врех!с.'ни Й„„„черстг 1Хпройлст передний фронт ВОлны, и ВО Всс, моменты г > !5„„, В точку 15ХОу гу'1' прихо2111ть Возму!пения с указанногл завися!пей от Е окружности. 4.4. Начально-краевые задачи для волнового уравнения в ограниченной области изменения пространственных переменных.
Построение формальных решений методом разделения переменных. Задачи о резонансе 4.4.1. Пример постановки начально-краевой задачи Приведем сначала пример первой (с краевыми условиями нсрвся о рода) начально-краевой задачи па отрезке: 155555,г. 6 = ела,,(х. 1) + Х5с22 и. 0 < х < й 0 < 1 < + х, 554.34) 229 и(0. 1) =- 1<з(1). и!1, 1) — — 1<,!1), 0 < 1 < +:к, !4.35) и1х, О) = р!х), и<(х,О) = сз)х), 0 < х < 1. (4.36) Задачу !4,34) (4.36) можзю иптернретировать.
например, как зада*!у о выяуждец<и,зх цоие1!«озых ко. «ба!звяк ковс и<о!< одво- РоД«ой стРУны, если заданы законы движеним ес к<нщов 1<з(1) и рз(1), а также поперечное смещение чз!х) и поп< речная скорость <з(х) в момепт времени 1.=- О. Под классическим решеззием:зяг<<з т (4.34). (4.36) следует понимать фувкцик! и(х. 1), иепрерывную в:замкиутой области Ц.— —. 40 < х (1) х 40 < 1 < +ос), имезощую пеирерывные производные !порото порядка в открытой области <,з, удовлетворяющую в Я уравнению колебаний (4,34). на. отрезке 0 < х < 1 началызым ус,швеям !4.36), а ня сто концах — краевым условиям 14.35).
Классическое решение и(х.1) Е С" !<З) !!С(Ц). Кроме того, естественно требовать непрерывного примыкания как <цх, 1), тяк и и«х, 1) к функциям чз<х) и з, <х) ири ! — < О+ на отрезке О <' х = 1. Дз<я <зуществовяиия к«!асс« и <козо1«за!<!!!ив.задачи!4.34) 14.36) иеобходнмы нсирсрывпость функций ): рь <<,, ы и неир«рывная дифс)з«1зешцй! <с<<«зс! ь <)зуикции,!"., я также < и!.зск сваи!«з вя зя.<ь- 1)1<! (О) пых и краевых усло<зий: 1<«0) = .р<0). !<!<О) =,р(1), = <<з<0). 1)1 д1!., 10) .=: «'(1).
Трсбовяиия, гарин< ирующие < уществованис кзшс- 1)! си «!ского р< и«!<«я. и'<еи! об1<емсиитшзьиы и яе выиолиязотсз! во ми<я*их 'зяз<ачах, В силу линейности зада зи (034) (4.36) ее решение <з!х, 1) можно представить в виде суммы ренн"ний трех задач: и1х, 1) =- =- <<<1х, 1) -<- <<з(х, 1) + из(х, 1), где и,1х, 1) решение:задачи с одно1зодиым у!!ею!И<и«зх<, ОДН01зодиыыи к1)а«звыыи усззовиями и нсодио1зо;.!вымя ва «м<ы<ы: <и условиями; <!.,(и:, 1) рсш«иие зада зи с неоднородным уравнением и однородными краевыми и начвизьными угловиямп; из<.г, 1) решение:задачи <' однородным урав<и ип< ы, Од«01зодцыя!и иа <я и иых<и услоззиями и нсодио1зодш зми краевыми условиями.
При ятом:зада зу для и;(х, 1) можно свести к первым двум задачам, например, заменой искомой фуикции и, )<г 1 ) = г (х, 1) + — (р, !1) -- р, 11)) + р, !1) . ! 230 4.4.2. Классическое решение начально-краевой задачи Пусть ь) ограниченная область в пространстве пли ца пло( костп. либо копечпый интервал па прямой. Буд()м полю ать, что в прострапс(вешкэм или в плоском (лу )ае граница оо6)эи(с ! и Хз кусо шо-гладкая и допускает примсцщшс форл!ул Брила, Болповос у!)В1)псцис От(ю('15)сээыю фтпкции 11(1)Х, 0 6ыло выв(дщ)О лишь для внутренних точен области Хз, иа ! рапицс > опо х(ожс)' и и(' ВыпОлпя'и с51. 01ООы Выэюлпть кОцк|)('п(ый волпОВОЙ пх>ОП(сс В П, пужпо облй„(ать до(к),.п)иГсльпОЙ пифо1)мяцией.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
