Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик - Уравнения математической физики (2010) (1127878), страница 47
Текст из файла (страница 47)
- это коле банна вида и(ЛХ, Г) = в(М)сов( Г) с зависящей ог точки ЛХ е 2гг амплитудой ь(ЛХ), которая удовлетворяет уравнению Гельмгольца (см. и. 1.1.9): гс, ггг(ЛХ) + К2 с (ЛХ) =..-Х( М), (4.79) где гс = — = соггаг > О: Х(ЛХ) — определенная всюду в гст неггрерывно дифференцируемая функция. Х(ЛХ):=з О вне области Р. Кроме уравнения (4.79) надо учесть, что требуется найти амплитуду в(М) волны. расшодяигейся от области Р в оесконечность. К однородному уравнениго Гельмгольца в пеограни генной области .Р' приводит также:задача о нахождении монохроматпческой волны. отггажеггногг от границы Я тела Р. При этом па поверхности о требуется поставить то или иное краевое условие, описывающее характер отражения (напрнмер, краевое условие Дирихле илп Неймана).
Если на Р падает пришедшая глз бесконечности плоская волна, зависящая от времени Г по гармоническому закону с частотой, то можно считать. что при болыпих Г (при à — +ос) всюду в ХУ установятся колебания с частотой ы. которые будут являться суммой падагощей волны и отражегшой от Р. Чтобы найти амплитуду отраженной волны, снова надо 993 кроме однородвого уравнения Гельмгольца в ХУ учесть, что это вол!ш, расходящаяся от ХЗ в бесконечность. К оо,.и( сложной зада и. приводит явление дифракции (рассеяния) плоской монохромати и ской злектромагнитной волпы, падающей и;$ бе( конечности на тело Х) с некоторой диэлектрической Нос гоянной и ко>ффп((понтом прово!(имосзн, если вокру( пего пу(!тота.
тогу>я с. (е (у(т ра(сматривязь устяповнвши( ся ко (еба(зия и 1>п три т(ла ХЗ, и вн( его. что приведет к однородному урявненшо Гельмго>п- 1(я во всем пространстве Кз. Ио с разрывным кус(шно-по( тояниым козффпциентом: физические свойства тела ХУ и окружи!ощего его простряпства различны. Ня гравице (>' вместо уравнения дО>(жны ив!подняты:я условия с(нц>яж('ни!!.
с $ювя для нахОждспия ямнлизудз! (олпы, (юл!'и (шой и розу>зьг(зг( дифрякз(ни ня нии! ХЗ, надо у и'(ть. что она расходится от 0 в б(скои(>чность. В физике часто используют комп>и кспую форму записи гармоии*и ских колебяшп!. Например, вместо плоской ко(инусоида.чьной во:шы и(л, 1) == Асов( ~~ — Лх+ с )(А = сопя1 > О, : = соив1 ь О, Л = сопя1 > О, ц =- соия1), которая распро(транясг(!! (о (НОХ>ос!то л,' й !зло>п по (ожит(.зызого пя>О>яв иния оси От, можно записать е( зкспоненциальнук> форму А(х1>11(ь>1 — 1$, -го)Х вЂ”.= Ае"'с '"с' ', 1' = ч>--11 фи зи некий смысл имеет только и((СА) = 11О~Аех1>ф(ый, — Лег+ с )1$.
Вместо волны 1 А соя ( Л1 + Лх + о) . которая распространяется в напряв. и и пи против (ив От, можно записать ее акснонсн>зияльную форму :1( р1$(ы~+1(г+ )Х=Ас.'" ""-' Вм(сто плоской сину(оидяльпой волпы Аяш( 1 — l(л+ о) ряс- Я .)и смят1И1ва!О! А(!'-' Си"с '-':, фи.!и*и!сиз(Й смысл нм((! Н>,(ькО (» (Ь! «Р) ( — '- ( ( - ))) Зь. -:,,Л И (;( !' ~ > ~ (2 рассматривак>т Ае - >е ''е '"'. В:за!нзчах об устаповившихся ко.(ебашшх вместо функции и(ЛХ, Ц = и(ЛХ)( оя( зХ) удобно ввести комплексио:ша шую функцию и(М)е' ' и ржтматривять и(ЛХ) как камиле(сснозначную фуннциютозки ЛХ.
Если вместо !зведщшых вьппе псриоличе( кпх по вр(мепи зависихи>(тей д(ЛХ, Х) и и(М. 1) выбрать д(М. !) = =- йХ(ЛХ)в(п( 1) и и(ЛХ. ~) =- и! М)гйп( Х), то удобно функцию и(ЛХ, Ц захн нить на 15(М)с! 'с к<жшлекснозпа шой фупкцис й «)М). Тогд!!. паприки)1). <)г(ЛХ) = < 5(Ие7(М)) + 1<з(1п<ПСЛ1)). Уране<ни<' Гельмгольца (з.79) на.со теперь понимать как,сва равенства отдельно для действительных !астей входя)цих в него функций и отдельно для мнимых частей.
Х!Ожно рассматривать 11.79) и как Одно уравненис! От«огитсь<ьно комп)шкс<н):1<ш*<ПОЙ <))у пинии ~(Л)) Ура<)и»ни». 1 с,п мго:<ын) ))<мура<)п< пи<. ):1:<и<<си некого типа. Отличие задачи для уравнения зллшп ичгского типа в неограниченной области О<:)а,сачи в ограни "н)иной обла<"!и состоит в том, по крОм<'. к1ян!)О<О ус:<овин нв, ! рации<! <)' (<)слн Она < с<ь), на,со потребовать опреде, и)!шого поведения р<)щения на бесконечности. Э!о требование должно быть естес гвенпым г физической точки зрения и должно обес печи<)ать единсл 1)енносз< решения. Например.
во внепшей краевой задаче для уравнения )а!Пи<с»1 мы ищем рссгулярно< на бесконечности решение; в пространстве решение дОЛЖПО ра15ИОм<!рно с!'рех1игься к 1)у<пи на О<скОне'<пОс ги, в аналоги шой )адаче па плос кости решение должно быть ограни и иным на бес коне шости. Таки<5 же требовашн< пр< дъяв.,<я<отея к рс'<пс'пням 151В'<ппих зада' ! для ура))пения Пуассона <з'<) == — 5', ес;1и с))ункция ),<Остато шо гладкая и финитная )т.с. отли ша оз нуля лишь в и< коси)рой о! рашгн шшй об.н)сти), '1ля выдезения единственного ренн)<шя во внешней краевой зада н,шя уравнения 1е„пм)х)льна 'х«+ 1з» =- --1 <акой ж».
регул)9)носи< ршн< ния на бесконе шости недостато шо (<и. и. 1.1.<)); нужны доно.шигельцьн требования к поведению реш< ния на бесконс пнх ти, которые выделяли бы амплитуду г(М) именно отьнкиваемой в )адаче рассподяиЛейсл от ь) волны. Нсооходимогть таких дополнительных требо))аний фи )ического харак)сра щи< 5<ша с гс м.
гго прш<- цип максимума „сля уравнения <хе+ <и == 0 выполнен только нри г с(). 4.7.2. Условия излучения Зоммерфельда Уг:<О))ия и 5.<у !ения,ЛОх<сн)р<))ельца зто требования к рсннпшо уравнения Гельмгольца (1.79) иметь определенное асимптотп и < кое по)н дсшп на О<'скосил<ности.
Оии выделяя) г в )н'с)- грани нчшой ооласти 19< С 'Я' амплитуду < (Л1) 7)<<с<го<)л<ц««лот 0 в бесконечность волны. иш о шики которой находятс:я в ограш<чепной области О. Ахи<с!И<у!!а волны. источники которой 299 находятся па бесконечности, не удовлетворяет условиям излучения. Условия излучения можно получить эвристическими рассуждениями, проводя ана;югию с плоскими во:шами. Уравнение колебаний ии = а и „с одной пространственной переменной х описывает плоские волны и,(х, 1) = Цх — а1) н и;(х. 1) = А(х+ а1), распространяющиеся соответственно вдоль положительного направления оси Ох и против Ох.
При этом функция и,(х, 1) удовлетворяет уравнению (4.80) и,+ аи„=О, но не удовлетворяет уравнению и,— аи,.=О, (4.81) а функция и>(х, 1) у ловлетворяет (4.81), но не удовлетворяет (4.80). Пусть и,(хл С) = г,-(х)е' ', и2(х. 1) = и,(х)е ', тогда нз (4.80) и (4.81) получаем, что функция г,(х) удовлетворяет уравнению и,+ йг=О, (4,82) но не удовлетворяет уравнению о„— Йи = О.
(4.83) а функция и,(х) удовлетворяет (4.83). но не удовлетворяет (1,82). ы Здесь й = —. (Что можно л твсрждать о финкциях и,(х) и а,(х), а если и,(х. 1) = и,(х)е ' ', и,(х, С) = и(х)е '"".) Волна, создаваемая источниками, которые расположены в ограниченной области В С К', вдали от В подобна расходягцейся сферической волне. В сферической системс координат в 1кл в случае сферической симметрии волновое уравнение имеет впд ,, 1 д (,, ди) ал дл(ги) иа (г.1) = а, Ьи(г.1) = а' —,— ~г'"' — =— — глд,~ д,-)-,а дгл Отсюда получаем расходящуюся в бесконечность сфериче- 1 скую волну и, (г. л) = — Л (г — а1) и приходящую из оесконечности 1 сферическук> волну ил(г.1) = — А(г+а1): функции „Г~ н Л естсствсшю считать ограниченными.
Заменяя в равенствах (4.80) и (4.81) переменную х на г. уже не получим выполнения этих ра- 256 = о(-'( — +Йв= о— (4.85) н -н-х Если в задаче об установившихся колебаниях временная зависимость имеет вид в(М, () = е(М)е '"' (синусоидальная волна). то условия излучения в пространстве требуют от решения уравнения (4.79) тако1о поведения: х "(-') — — йв=о — . (4.
86) (-1,87) — нх Условия (4.84) и (4.86) означают, что при больших г (при г — н +~) и(М, 1) подобна сферической волне. Условия (4.85) и(4.87) означают, что это волна, расходм- (1) щаяся от Р в бесконечность. (Напомним, что через 0~ — ~ обо,г П1) значают такую функпию р(г), что отношение р1г)/ ~ — ~ остается 9 1нннрон венств для сферических волн гн(гн () и и.,(г, (), но для и,(г, () можно потребовать асимптотического выполнения (4.80) при (1) Г .— и +ОС С ТОЧНОСТЬЮ ДΠΠ— . ДСЙСТВИТЕЛЬНО, Х' ди, (г4) дц (г.1) и, (1) д1 ."- н-х Это соображение и приводит к требуемой аналогии с равен- ствами (4.82) и (4.83) для расходящейся от Р в оссконечность волны.
Если в задаче об установившихся колебаниях в(теменная за- висимость имеет вид и(Мн г) = в(М)енл (косипусоидальная волна), то условия излучения в пространстве требуют от решения урав- нения (4.79) еле;.~тющего поведения: (11 — обо:зпа |гнет такукз функ'|' Л1) цикз р(г), что при г — + зс отношение р(г) — ~ стремится к пулнз г равноые1зззо относит|.|ьпо всех пап1з|зззззений в нззостйзапзгзззе.) Выдеззяззыз!с условиями (4.85) и (4.87) решения различны. Ззьзззечанззе 4. 18.
ад|!я:заззач об установшзшихся колебаниях нп ззлоскостзз ( В' С 2| ) апалогамн условий (4.84), (4.85) явля- ю" уз:ов я .=-Π—, Г- е» вЂ” +йи=о— а аналогами условий (4.86), (4.87) являются условия з!.= О— г --| дзз . (1~ — — |1т| = — о~ — . ° дг чзг ) Можно доказать. что условие (4.84) вытекает из у.равнения Гельмгольца и условия (4.85); условие (4.8.6) вытекает нз уравпения Гельмгольца и усло|зпя (4.87). Сцззаведли|за с||||'|у|О|паз! зсорсы|з. Теорема 4.11.
Если 7"=з О впс ограниченной области З С Жз, то ура|знение (4.79) не может иметь в зк|з более одного решения, удовлетворяк|пцзго на бесконечное! и условияа| (4.84), (4.85) (условиял| (4.86), (4.87)). 4.8. Задача Коши с данными на кривой без характеристических точек, Задача Гурса с данными на характеристиках. Функция Римана 4.8.1. Задача Коши В и. 4.1 была изу и на задача Коши для уравнения и<и!ср<лчных колебаний струны. В евой задаче начальнья условия <тавились ня 1)е'жагце',и В 1171ОскОсч и нс:ла<5нсиь<ь<х 1н'1)ем<'<шых прямой "1.
заданной уравнени<м 1 = О, которая не являет<я харак геристикой уравнения колебюшй. Записав уравнение свободных колебаний В <>го перной' канонической форме (см. и. 1.2.5). Мо)кпо прони'7<71'р>лро!)атл я<О ура!313<'н>и) и пол уч1п 3 рспп'ни<3 '1ядя'>и КОИ<и В ВИЛ<' форм)С!Ы )Хяс)1<ыб<)ра. БО!И<е ООП<яя <юстео<ОВка зада'<и КОши рассмотрена В и. 1.4. 11аномпим е< применит<ельно к уравнении) гинсрооли и ского типа <1 ДВУХ1Я НЕ',ЗВВПСИМЫМ)1 <П 1Х)Х!ЕННЫМИ Х. 7/. ЗВПИ<ас)ИНОМУ В НЕРВОй) канонической форме: и„, = О(х, у.
и, и„. и.„). Будел! ряссмспривать только случай линейного ураннениа с ненр< рывными переменными ко)ффиц)!Сита)<и< и„, + и(х, у)и, Т 6(хс д)и!+с(х, у)и = 3(хс у). (4.88) функцию (также нредпол>паем п<ч<рерывной. Пусть на плоскосгн Оху фиксирована гладкая кривая 1. я в каждой ое точке напРав)п)ние с,(<гс У), некасатпельное. к й ~~~ =- 1. НЯ кРивой "1 зададим дважды непрерывно д<лффере>гцируемую функцию Фи(.г, д) н непрерывно „<ифференцируемую фупкци)о Ф,(х, д). Задача Коши: в односторонней или В двусторонней окрестности кривой" на плоскост и Оху найти ренн ни и(х, у) уравнения (4.88), удое<!створ>цо!цсс на*!а7)ьным ус.юаням <97< и! =- ФВ, — ' =-- Фс <9( (4.89) 259 Ьуд<*м пола!'7<гь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
