Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик - Уравнения математической физики (2010) (1127878), страница 50
Текст из файла (страница 50)
0) = .= х1|ц|х). 0 < х < еос, Й =- сова| > О. и начальной гкорос|зпо и,(х, О) = =- — Аа соа( 1х). О < х < +.ос, где а = гоцк| > 0 — скорость распрос| рано12х ) 1 Зл) ния волн вдоль оси Ох. Нарисуйте графики и~ —.1~ и и|х.— ~. Можно ли реп|ение |цх, 1) |'читать классическим? 4. Решите задачу Коши для во.шового уравнения и„= а'и„в области 0 < х < -~-:ю.
1 > О. с начальвыми тсловиями 7~ сов х,О < х < —. и,(х, О) == О, О < х < +ос, и(х,О) = —. О.х >— 2 , (О. '„) = О. 1 > О. и Рт* РЬ* (-.~) (' ) я """"Р'"'"""ьФ считать классическим.' 5. По струне 0 < х < +эо распространяется волна д(х + а|), где д1р) -- заданная функция; д(р) =0 при р < О. Передний фронт волны 272 находится в точке .г = 0 в момент времени 1 = О. Най;пи с отражепнук) <и конца струны волну. если: а) конец струны жестко закреплен; б1 конец струны снободен.
6. ин =- а; и!„0 < х < +ос, 1 > О. и(.с 0) =;.(г). и,(х., 0) = р(х), 0 < х< + с. Как необходимо согласовать начальные и краевое услония в начально-краевой задаче. а) с краевым условием и(0, 1):=- О, 1 > 0: б) с красным условием и,(0, 1) =- О. 1-- О, чтобы сушествовало сс класси неко! рсш()нису 7.
Начальные данные р и и и задаче Коши о свободных колебаниях н пространстве Оху" локализопаны в шаре Н =- (Р 6 Охуз(УГ(з(* < 1). Най,(иге ынохгествг) зависимости решения от зцачений р и ) на Н, 8. Начальные данные р и (г в зада (е Коши о свободных колебаниях на плоскости ОхУлокализовапы в кРУге 11=- 1Р 6 Охр(Вз) <11. Найдите множество зависимости решения от .и(ачений:р и )у на Й. 9.
Локажпте. что ураннение и„= аз и„отногительно функции -( а1 (! "-';,!) * !» — (!).0= :г, +...+х;, ,» Е(т .( 2..:.. !-.а!.- «»!'ьф' ренциальному уравнению (р' — 1)ин(р) -)- (3 — п)рг'(р) = О. 10. Пусть функция и(,г, 1) удовлетворяет уравнению ии = ази,, при 0 < х < 1. 1 > 0 и краевым услошгям и(0. 1) = О, и(1. 1) = 0 при 1 > О. Достаточно ли этих условий для выделения единственного решения урав- нснияу Указание, Рассмотрите однопарал(егрические семейства функций ! (-и, 1, (х!па „(:,1)=..- ~ — ". (ь' ~~ — "'~1, =-(11.2....., ! и„(х.г) = а)п~ — х(с(зч( — 1,п = — 0.1.2,..., ~1 ) ~1 Если к этому уравнении! и укаэанным краевым услониям добавить начальное условие и(х, 0) =,".(х) при 0 < х < 1, то позволит .чи оно выделить е гинственное решение.' Указание.
Рассмгпрптс ца (альнос условие и(х, О) =- -((г) =- аш — х. 11. 1'а!делая переменные. постройте задачу Штурма - г1иунилля. отвсчаюшую следунппей начсзгьно-краевой задаче: ни= аи„,0 <,г< 'г, 1> 0; и(0. 1) = О, и.„(ш 1) —.— О, 1 > 0: Зх . Ох и(.г.0).= аш — + гйп —, 0 < х < г; (Х и (х,О)=-авш —, О<х< х. З Проверьте ортогопа.п пасть системы собственных функций и най- ;ппс (чжлидову норму каждой ив них. Найдите 1я шсние ибг, !) в впле ряди Фурье по собств(иным функциям.
12. ( ()Изрх(улируй((з онр(д(л( ни(', кз(ас(и (еского 1х ш( ния с и!(( Ия(юЙ задачи: и .=аи .0 х ! !>О: 'и,(0, !) = О, и,.С!., П = О. !. > 0: и1т, О) =-.р(з). (и!х, 0) =. Ц:Г). 0 < .г < !. Каким требав аням должны удовлспюрять функции р и ((.' 1'(1(деляя (и р( мшш(н. ИострОЙГ(з хадичу 1Пту рхн( - ..Чиу ииз(.(я.
Про- в(1н т( ор(сгонял((кк"(ж систем(1 ( обствс«ных фу нкпий н найди((1 ( гз- клидову норму каждой ив них. По(чгройтс ибт. !) в нид( ряда по собственным функциям. Как найти его коэффициенты' ! Какое движение колеблющейся струны отв( чает собственному значению Ха =- 01 13. Сформулируйте определение кла(ти (еского решения слсдукнп( й 'зада'(и: ..., == а,',.
Е,!(х, !), О < т < !. ! > О; иК), !) = р(!), и,((!. !) -. !(и!1, !) — -- ((!). ! > 0; и1х. 0) —.—,р(х), и(ОГ, О) =- ъ.11(), 0 < .г < !. Каким требованиям дозокпы удовлетворять функции ); чх и, р, и посто(ншая !(! подб( рит( какую-либо функцию !11х, !), удовлств(зря юп(укз:(агин(- ным н(однородным краевым условиям, и выполните:(амену искомой функпии и!х„!) =- Г(11 !) -' Цх, !). Ранд('ляя персмеппьи, постройтс за,(ачу Штурма -. Лиувилля, от- (и"(шоп(ую иолу и'шпн( для а!х, !) шшвльно-красной 'щда'и. Проверьте орт()ГОИ(ьп нО("Гь сисхн мы ('ООс1всниых ())ункцнй и найдит(' ("вк,(и,(О(зу норму каждой из них.
Како(з общий вид функционального ряда. двкнпего формальное 1кшепие ((1х, !) Как наЙГН (з! о к()эффици(н(ы". 14. [Нй(( финн нгкую ннтсрпргтац(по краевых условий первого, второ(о. трстыто рода на концах:а —.— 0 и з =- ! упруго(о (тсржпя 0 < х < 1, совсршающ(то про,(олы(ые колебания. 15. Одномерный ошородный упругий сг(ржень 0 < .Г < 1(шходится в состтвншп покоя в момс(п ы времени ! < О.
В мохпшты вр( м(.ни ! > 0 к щ о концам приложены противопо.южно направле(шьн ра(тягивакз- ши( пр»долын и (вдоль осн Ох) силы. Вели (ина каждой гнлы !=. (о(и (. В моменты времени ! > 0 нвйдитс продольное смешение иВг, П го (ки, имевшей в со( тояннп покоя координату .Г, 16. Края олнородной прямоугольной мембраны В =. (О < х < /,, О < у < /7) жестко закреплены. До момента времени 1 = 0 мембрана находили ь в со!таянии покоя. а в момент 1 =- 0 сй пер! дан равномерно распре((м)ен- )п,)й но !Э но)я !5(**н)ый имптльс.
Ре~ите зядя )Р о снободн~~ пон!.!зе пш)х колебаниях мембэраны. 17. Дай ! с фи шче! кую интергйитапшо слс;(ующей задачи: и» = а и,„. 0 < х < /. 1) О; и(0, 1) = О, и,(/» 1) = (вш(,)1), и =- сопя!, 1 > 0: и(х О) = О, и (х 0) =- О, 0 < х < /. С шт'яя ИОстОянну)О «) пя!!амит!1ОМ зада')и, найдитг) и(х. 1). ! Вссмотрите сэ)т )яи няг)и )ия и О)сутс1ВИИ !5(гэОнанса. 18. В модели поперечных колебаний струны и» =. а' и„, 0 < х < 1.
0 < 1 < й зо, и (О. 1) = О, 77(1, 1) = О, О < 1 < +зо, ч(кО)=7»)--т~„уи.( — 'а.+7)..) /Р ~21 иэ (Т,О) == Ф(з) =- ~ и „соя~ — (2Н й!)х). 0 < х < /. 2/ найдите -)нергию Рт„(1). Нриходяшуюся на колебание с собствешюй *)а- (тотой ы„. Найдите полную энергию /РХ(1) струны в момент времени 1. докажите, 'и'о )г (1) =- ~ 7, (1). «-О 19. !!077))срьт)ч что условия излучения Зоэ)х)7)рф(с)ь.!75 гарантирукл (ь(нп(твшнюсть р!'Н)ения 77(7) )адя')и 7 Рз» 7 /77(7 =- О вне шара 0 < г '- а.
) (и) =- »» — — сопка Найдите удовлстворякнцук):этим условиям комплекгнозпа шую ямн шгу (у 7 () ) ъс)ш)ОниВшнхсэ! Вне Ниц!я КО и баний и(7; 1), сс )и: а) и(г. 1) = г(7)с' ', б) и(г, 1) = и(7)7 '"'. 20. Кривая -, на плоскости 12х// за,(яна уравнением 1/ =,г', п пор- мгь)ь к ". ФУнкппи Фи и Ф, )аданы вь)РЯжсниамп Ф»(;г, У) =- 2х -)- У -)- 3. Ф,(х, у) = х+ у -Р ч.
Суна)ствуст ли на всей плоскскти /Эху решение 5!эяпн(пни и,.„-Р.С 'и я. Роя(ху)и, + сй(ху)и = .г -7 71, кото!хх:)ш кривая (Эи "1 удовлетворяет условиям и~ = Ф, (х„.х ), — — ' Ф) (х;.(" )' 5'Э)) . 21. '37)хня)ой )я' !анисим ых )к ременных приидите уравнение к перв))1! кянони некой фар!и и шпппппе зала )у в новых перси(7)нн),)х: и» вЂ” —. и;и,, -Р /(г. 1), — х < .г < Э-,ю, О < / < -зс., и(х, О):.- -(,г), »,(.г. 0) == ),(х).
- х < .г < х 275 Найдите функш~ю Римана. 1!остройте решение по формуле Римана, Запишите ответ в исходных переменных х, й 22. Найдите решение уравнения иа — — аеи,, удовлетворяюшее услох) х) виям и т„— )=Чэ,(х), 0 < х < х,: и~х.— — ~=~рх(х).0 < х < х,, где а ' а йн зэ б С2, 'З(0) = Р2(0). ое — де 23. Ланс уравнение и, — ив -если, +За, — ' и =О, о = сопим 4 3 = соней Для данного уравнения решите зада ~у Коши и(0. Ц =- Фе(~), в,(0.
~) = Ф,(1).,Зля этого жг уравнения решите задачу Гуров и(х, х) = =,р,,(х), и(х, — х) = р,(х), х > 0; п,(0) = р~(0). типовые зАдАчи для контРольных РАБОТ ПО КУРСУ 1. На плоскости Ох11 найдите области, в которых уравнение и,„.(х. й) + хйим(:г, р) = 0 сохраняет тип, и приведите его к канонической форме в каждой из этих областей. 2. Найдите решение и(х, 1) слелуюгпей задачи: иг = и,, + и — х+ 2кш2х.сов х, О < х < —.1 > 0; и(0.1) = О.
и, ~ —.1 =- ),1 > 0; (2 и(хО) = х 0 < х < —. 2 Имеет ли физическую интерпретацию это уравнение параболического типа? 3. Зная, что функция Г(х, т) =- с 'в1г1худовзгетворяст уравнению Г = Г.... методом подбора найдите единственное решение и(т,, 1) задачи 4и, = и,, — зс < х < +ос, 1 > 0: и(х,О) = е ' вшх, — эс < х < +ос. 4. Однородный полуогранпченный стержень 0 < х < +ос без исто шиков теплоты имеет начальную температуру и„=сопв1, 0<х<1, и(х.О) = ОЛ < х < +ос. Его боковая поверхность теплоизолировапа.
а конец х = 0 при 1 > 0 поддерживается при температуре и(0, 1) = О. Найдите температуру стержня и(х, 1) во все моменты времеви 1и Епп и(х,1). Нарисуйте график изменения температуры в точке х = —. Найдпге поток теплоты через конец т. =- 0 при 1 > О. 5. Начальная температура однородного шара радиуса гй равии . Охг на — вш — прп 0 < г < гй (г расстояние от точки до цсгпра 7' й~ 277 шара; иа = сопв1) и являетгя непрерывной функцией на 0 < ! < < т;г Во все !к!менты времени 1 > 0 поверхность шара поддерживается при нулевой температуре. Найдите температуру внутри шара прп Е ) О.
6. Найдитс ограниченную функцию и(х, у), удовлетворякппую ! ттедтук!пгей задаче: Ьи(х, у) = О, О < х < +зс, 0 < у < +ос; и(х,О) ==- —. 0 < х < +ж; и(О,у) = — —, 0 < д < +ос. 2 2 7. Найдите о! рани тсннук! функцию и(х, д), удовлстворяюшую от!с,чу!опто!!;!ада ю: Ьи(х, у) .= ыпбх, 0 < х < —,0 < д < +ос; 2' и(0. у) =- О, 0 < д < +ос; и~ —.у .=- О, 0 < д < +ос: (2 ' и(х, 0) =- я)п8!г. 0 < х < —. 2 8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
