Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик - Уравнения математической физики (2010) (1127878), страница 48
Текст из файла (страница 48)
"1тО, 717' соде реяси7п хирик<пе<рис7п<7<чсских точекуравиепия (488) (см. н. 1.3,1). Если кривая З заданяурави<',нием,)(х. у) = О, то Отсутст13)н' хар>)клер!лс)!лч<лских точ<)к ОзпаЧяст. ПО,(Хс д) Х О И,(Х. у) К О (дОКажнтс!).
В СЛу<а< задания 1 ура!)н<>ниехл '<у ==. $1(х) Отсут<"ГВи<' характерис!'и'3<3<'к!лх 1О "и К О Шсннн)Т, ЧТО 1Ц)ОИ П5ОДНВЯ Р (Х) В< К),)У В Ра<>СМ<1ТРИ!37)Е)1О!й! Задача Коши для уравнения (4.88) в области Т,'(( найти фУнкцию и Е Ги(Тв~., котоРаЯ имеет смешаннУю пРопзводнУ(о (/ Ол и,, Е С1Т(,'), удовлетворяет ураш(ению 14.88) в Т,', и начальным условиям и~ .— —. Ф„(х.р(х)). — = Ф,(хйл(х)). ди. (4.90) Из одних лишь условий (4.90) можно найти значения производных и„! и из .
Действител(ы(о, дифференцируя по х первое условие в (4.90), получим ,,! +р, (х)и,/ = — Ф„(х,р(х)), (4.91) Поскольку кривая; задана уравненпел! (х! у) ==. р(х) — у = О, вектор 1ы„(х, у). ы,~х, у)) = ~1('(х), — 1) является норл(адью к З в 1,( '( ) -11 каждой точке (х, у) е "(, Нормируем этот вектор: и =- Тогда второе условие в (4.90) означает (р'(х)) +1 ди — = 1ягйс1 и, и)) дп., — (~'(*(р;(. — и,(.)=Ф (*й( И (Г!У( Ь'('(1+1 2бО Ооласти кон('чна и о!'лнчпз От пуля; при зада(п!и ( уравнением х = и(у) должна быть конечной и отличной от нуля и'(у).
Выразим это требование геометрически: кривая ч нигде не должна каса(ься характеристик; отсюда следует, что любая характеристика уравнония (4.88) может пересечь кривую ( не более чем в одной точке. (Наполи(ил(, что (4,88) имеет два семейства характеристик: х = сопв1 и у = гопак) Конкретнзиру.ем постановку задачи Коши. Пусть для определенности кривая "( задана уравнением у = р()х) и пересекает оси Ох и Оу в точках С„(х(ь 0) и В(((0, ув) соответственно, где ха > 0 и у„> 0; производная р'(х) < 0 и конечна при 0 < х < х„.
Точки В(, и С(( определяют го"(ку О' = ГУ(хе, у„). Обозначим через Т,', криволинейный треутольник на плоскосги Оху, ограниченный отрезками прямых О'Вв, О'Св, и дугой "(и,,;, кривой (. В качестве направления Г выберем направление нормали п к кривой ", в каждой ее точке. Таким образом, получена система линейных алгебраических уравнений ~4.9!), (4.92) относительно и,,(, и,~ с отличным от нуля опреде:нггслем матрицы коэффициентов.
Залхечание 4.19. Оупгественно только то, что направление С, по которому берется производная в (4.89). не касательное к ". Нанример, можно в качестве С, выбрать положительное направление оси 01д Тогда в (4.89) дяпя и„), и из (4,89) можно найти и,! 1проверьте!). ° Зада а 4.3. Если бы в некоторой точке К е -; направление ~ было выбрано каса ге;п ным к з, то какому требованию пришлось бы подчишпь функции Фя и Ф, в точке К? Одиозна )но лн тогда заданы и,)к и и,! .' ° Анеле~ ична постановка задачи Коши в криволинейном треугольнике 7„.
ограниченном отрезками прямых ОСы ОВи и дугой "х;,д, кривой,. Такую же 'задачу можно поставить и в прямоугольнике Пя.— — ОСяО'В„: функция и е С' (По), и,, е С(Пи). и(х. д) удовлетворяет уравнению (4.88) в П„и начальным условиям (4.90) на лежащей в П„части кривой ",. Оказывается. что при естественных требованиях к функциям а, Ь. с. 1 зийачи Кпиги корректна -- ее решение существует, оно единственно и устой шво по отношению к возмуп~ениям Фв, Ф,и 1: Значение РешениЯ в пРоизвольной з очке ЛХ ~ Пя можно полУ- чить в явном виде (подобно формуле Даламбера). Однако для этого надо решить задачу. принципиально отличающуюся от задачи 14.88).
(4.90). -- задачу Гурса с дяннымп на характеристиках. Замечание 4.20. Почему мы наложили запрет на характеристические точки па кривой зу Пусть функция р(х) не возрастает ~или даже строго убывает) при 0 < х ( х„. ц е: С, и в некоторой точке .Р ее п1юшводная й (х) = О. '1'огда гочка Н (х, ц (х)) Е " является характеристической точкой кривой ь и р 1хь) --= О. Пусть в окрестности точки Нфункцияи Е С и удовлетворяет уравнению (4.88). В точке Н равенства (4.91), (4,92) дают с7, и,!, = — — 'Ф„(х.р(х)1, и„= — Ф,(хйг(х)~ ~и 261 4.8.3. Формула Римана Предположим, сто решение и(х, д) задачи (4.88), (4.90) в криволинейном треутольнпке Т„' существует.
Построим формулу. дающую это репи.ние. Фиксируем произвольную точку ЛХ (с„ц) ~ Т„'; ее координаты Х„ц далее будем с чита.с ь параметрами. Проведем через точку М прямые, параллельные осям координат, до их пересечения с кривой 1 в точках В(х, ц) и С(с,, д,), где х, однозначно определяется из уравнения ц = 1с(х.,), а д = Сс(8,).
На плоскости Охд полу шли криволинейный треугольник Т, ос ранпчснный отрезками прямых ЛХВ, МСп дутой" вс кривой ",. По исходному предположению функция и(х. д) удовлетворяет уравнению Х, „и = Х(х, д) в области Т,'г Предположим, что в области Т известно решение п(х., д) однородного сопряжснносо уравнения Хс",. „е = О.
Применим формулу (4.96) к функциям си и в области Т: контур Г состоит из дуги кривой "л, и отрезков прямых СМ и МВ (обход контура Г производим так. *иобы ограниченная им область Т оставалась слева): 2 Ц (гХ, „н — аХ;,с1 сХхс1д = 2 О 1дсХхс)д = (4.97) = ~ Р(х.д)с1х+Х~(х,д)сХд+ ~ Я(сс.д)сКу+ / Р(х,д)с1х. В~ сп 1ш Учтем. что — Р(х, д) = (ин), + 2и(Ьн- н,), О(х д) = (ин),, + 2н(пс' — 1~,). Тогда ~ фХд = (ис))п — (ио)~, + ~ 2и(вн — о„)с1д. сн сси ~ Рс1х= — ~ Рс1т =(ин)/и --(ип)/ + ~ 2н(Ьс — и,)с1х зш йи „цм "1"еперь формулу (4.97) можно записать следующими образом: 2(их~~ = (пс)~ + (ис)~, + 2Ц иХс1хй~ — / РсХх-с Сзс1д— (4.98) — / 2и(Ьн — 'сб)с1г — ~ 2н(аю — о„)сХу, ьи см Обратим в пуль последние два члена в (4.98).
Для этого потребуем. Побы функция а(х, д) доно:пппельно улов:п.творяла условиям г,(х. ц) =. Ь(:с. ц)н(х, с1) па ВЛХ и п„(Е,, д) = а%, д)'с'% д) на СЛХ. Кремс того. выберем значение ю!, =: п(Е,, ц) .= 1. Это зна- чит, что решение в(х. у) уравнения Л; зс! = 0 мы подчинили усло- виям в(хсй) =- ехр ~ 6(О. О) с)О на ВЛХ (при д = з1,:!! ( х ( 1,),( 4.99) з !з(с„д) =-ехр~ а(с,,О)сХО на СЛХ (при,г = ». д.
< д < !1). (4.100) Такое решение однородного сопряженного уравнения зависит от координат с,, !|точки ЛХ как от параметров. т.е. является функцией двух гочс к (.г. д) и (с„й); его принято обозначать Л(х, д; 1,, О) и называть функцией Римана. сууцкция Л не зависит ни от данных Коши на, пи от вида этой кривой.
Чтобы построить Л(х, д: с». з1), надо решить задачу для уравнения ЬьзЛ = 0 с условиями (4,99). (4.100) на отрезках характеристик этого уравнения. Задача с данными на выходящих из одной точки характериспгках называется задачей Гурса, ;ее постановка полностью отлична от постановки задачи Коши (4.88), (4.89). Если бы мы знали функцию Римана Х(х, у: с„ц). то могли бы запис сиь решение и(», й) задачсл Коши (4.88), (4.90). пользуясь формулой (4.98): 1 1 !!(с,.
О) — '1'(! (х 0)Хс(с-„г1,1...ц)+ — '1'Ц! (, д,)Л(с,,д,б,, !1)О 2 + — ~ ((и, +2Яе)Х вЂ” ХХ,Ос„','сХх — ~(и, +2аФв)Х вЂ” Х!Фе фу+ 1 (4.101) !и +ЦХ( дА.с1)Х(-д)4х д суорыз сса (4.101) называется формулой Ри!нана. В наших рассузьдсниях она дает пока только формальное решение зада ш Коши, Чтобы убедиться в сушес! новации функции!'имана, надо изучить задачу 1 урса, Чтобы убедиться в супа"ствовации решения задачи (4.88), (4.90).
надо про!зерслть выпо:шение всех условий этой задачи для функции !з(1. с1), заданной формулой (4.101). Задача 4.5. Выберем точку ЛХ(с~, з1) не в треугольнике Т!,. а в треугольнике Х!! - ниже кривой "ь Получите формулу Римана !3 этом случае. Указание, В (4.101) надо изменить знак перед / . В Н~ 4.8.4. Задача Гурса Задача Гуров для уравнетля (4.88): найти фуслкцикл и(х, д), уосовлгтллоряюпсусо в прямоугольнике По ----- (О < х < оо) х (О < д < < до) уравпепщо (4.88) и условиям и(х, 0) =,рс(х) 0 < х < х„; и(О, д) = р,(д), 0 < д < до, (4.102) на отрезках характеристик уравнения (4.88), выходящих из точки Сл Полагаем, что задающие уравнение (4.88) функции а, Ь, с, снепрерьллллсы в Псг Полагаем. что р; б С' [О,хо],, 'р,, Е С' [О, до], причем:р,(0) .= р,(0), Решением задачи Гуров в Побудем называ гь функцию и е С' (По).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
