Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик - Уравнения математической физики (2010) (1127878), страница 46
Текст из файла (страница 46)
1) происходит таким образом, что действие минимально, Можно доказать„что из этого принципа вытекает необходимое условие. которому должна удовлетворять функция и(х, Ц; уравнение свободных колебаний и„= а»п,» ° 4.5.2. Единственность решений начально-краевых задач Используем интеграл энергии в доказательстве единственности класси >еского решения задачи (4.56) (1.56): Х и >с не равны >ождествсппо пу.>по. Обшук> краевую задачу, когда тип краевого ус:ювия (4.5>8) зависит от точки Р Е 5. рассматривать не будем.
Теорема 4.7. Задача (4.56) (4.56) может иметь только одно классическое решение в ограниченной области Р С Ж~. Доказательство. Иусть существуют два классических решения и,(ЛХ. Й и п,(ЛХ,, Й зада ш (4.56) (4.58). Тогда функция п(ЛХ. й) = и,(ЛХ. 1) — »>(ЛХ, 1) удовлетворяет задаче в„= а'-'Ь»ы (М, 1) Е (~ (461) и>(ЛХ, О) = О, а>>(>РХ, О) =О, ЛХ Е Р; (4.62) о(Р) +6(Р)в(Р1) =О,Р е Ь', О ( К < +"с. (4.63) дн> (Х».1) дпе В задаче (4.61) — (4.63) построим зависящий от параметра 1 функционал «(И вида (.1,59), Докажем. что для краевых условий первом>. второго и третьего рода определяемая функцией и> величина «(>) — = О прп 1, > О. Очеви,'шо.
что «' (1) = — Щ)(а>> (ЛХ,К)) + а-'~дгас1»>а>(ЛХ,1)~ ~дРп + о + »ХХ >о»>1«.)~» «(о> = а. 3(Х)»» с (Р) 245 За иечаиие 4. 16'. Используя первую Формулу Грина па плоскости. можно аналогично доказап теорему единствспностн решения в ограниченной области В С тс'-'. И Доказательство ана„югичной пгоремы в случае. ксггда 0 С )К', лигггь тонни <<сними деталякги от:ги <а<с<я от гг)гедьгдуггссгг<г.
Нгь помним на га:и но-краевую задачу на сгг.резке: и» (т 1) =-. а,'и„„(х,1) + Г(х 1). 0 < х < 1,1 > 0: и (х„О) =- .з (т), гсг (х, 0) =- г. :(х),)) «т,гг, 1; ! сй (т) ' ч-гзг (х) и(х,))г = )„(1): ди(х,1) (г дсс (х,1) гсъ2(гг) +3,,(х)гг(гг,1)г = уе(1),1 > О. <Э.т (4.66) (4.67) (4А)8) Теорема 4.8. Задача (4.66) (4.68) может иметь только одно классическое решение. ,»(Окавагпсглг спгеа тсгсг)кгмы аналоги'гно докьсгатРльсчтгу теорекгы 4.7. Иредположим, что сугцествук»т два решения и,(г, 1) и и,1гй 1).
Функция гсг(:гй 1) =- и,(х. 1) — »и(х. 1) удовлетворяет зада;се иг» (т,1) = а гсг,„, (х,1). () < т. < 1,1 > 0: са (.г, 0) = О, ш, (х, 0) =- О. 0 < т < 1; с)гсг(т,1), ) гссг(х) + Зг (гх)иг(ту)г = 0; 1 > 0; г'Эиг(х.1) гст.,(гг) + О,,(т)и (т,.1)~ .=-0,1 > О. <Эх <1Е = ~ (ш, (гги 1) г»гг (гг, 1) + с<- гсг, ( г. 1) г»„, ( г. 1) )ат. <11 247 Введем фупкппонал Е(1) =- — ) (и' (т.1) + а-иг, (т.1))<1х. Изогйк, О дслепия Е(1) и нз пашен них у<ловий слсгдуе<, что Е(1) ~ О, Е(0) == О. Найдем ирои пягдную фу<с<<с<по<гас<а по врем< ни: Интеграл а ~ и, (хЛ)ш„(х,1)дх вычислим по частям: О аз ~ ш, (х,«)ш,с (хЛ)дх = = аг (и, (хЛ) ш, (х,«) )( — аг ф шс.,„( г,«) и, (хЛ) с1х. Тогда получим с«Е — = ~ (ссгс (ши - азиг„))с«х+ а' (ис., (хЛ) ссу (х,«)~ о Так как функция сс~(сг, 1) удовлетворяет однородному уравнению колебаний, то с«Е — = аг(иг,(х,1)ис,(х,1)~ й с=в В случае первой краевой задачи и(О, 1) =- и« 1.
«) = 0 во все моменты времени 1 > О, поэтому ш,(0, 1) = игс(1, 1) =- О. Отсюда дŠ— = О. Е(1) = сопя«. Но Е(0) = О. поэтому Е(1) е— е О. й В случае втпорой краевой, задачи и „(О, 1) = шс(1. «) = О. Отс1Е сюда — = 0 и снова Е(1) = О. й В гпретпьей краевой задаче. краевые ус;ювия имеют вид слс (0,1) — 6 ш(01) = О, ш, (1,1)+ «ггссс(1 1) = О, 6, .= сопя« > О, 6г = = сопв1 > О, поэтому — = — сл Ьеш(«Л)сис (1,1) — а Ь„ис(ОЛ)ш, (0,1), с1Е й — Е (1) + = шз (1,1) + — шг (О, 1) =- О, с«( аз«се з аг6, й~ 2 2 Е (1) и- = иР (1, 1) + — ир (О, 1) = сопев аЬ,, а 61 2 2 Поскольку' Е(0) =- 0 и сг(ху ()) = О, то , агЬг г аз«г; г Е(1)-'- — шг (1,1)+ — 'шз (0,1) = 0 2 2 пРи всех «> О.
Так как Е(«) > О, аг > О, 6, > О. Ьг '> О, то Е(«) = О. Следовательно. Е(«) = 0 для всех трех краевых задач. Отсюда получаем и,(х. «) .= 0 и ш,.(х, «) = О. 0 < х < 1, «> О. Позтохзу гв(:г. «) .=- соззвб Так как и(х, 0) = О, то а(х, «) = О. И 4.6. Доказательство существования классического решения первой начально-краевой задачи для уравнения колебаний струны на отрезке Начально-красвая задача для во:шового уравнения в ограниченной области Р может не иметь классического решения.
Может оказаться, и о классическое решение супа'ствует, но доказать его существование о кзнь трудно. В большинстве случаев решение такой зада ш надо понимать в обобщенном смысле. Но если определяющие задачу функции удовлетворяют некоторым требовашзям, то имеется ее классическое р«шение. В свою очередь, обобщенное решение можно рассматривать как предел классических решений задач. в определенном смысле приближающих исходную начально-краевую задачу. Суззвк снование кластического решения докажем па примере первой начально-краевой зада зи па отрезке для однороднопз уравнения: и„(.г.
«) = а-'и,„(хз «), 0 < х < 1. 0 < «< -':к; (4,69) а(0. «) =- О. а(1, «) — — О, 0 < «< +зо; (4.70) и(х. 0) =,,"(х). тн(сд 0) == зз(х), 0 .- х < 1. (4.71) Лля супзествования кла< сического решения необходимо полагать, что р(0) =-. О.,р(1) = О. з.'(0) = О. с«(1) = И. Метод разделения переменных дает формальное реп«спин за- дачи (4,69) (4.71) в виде ряда .ЬЛ- ~(„„„,т(' .
(-,- — и;„...~ . ((.„,( .(. (, ) 1 ( 2 (хп ) 2 . (яп :« ~„=-7.. ов» ( — ей~с „=-7.:(О.ь( — '~(а Чтобы доказать. что формальное решение (4.72) является классическим. нужны дополнительные предположения о входяппзх в условие задачи функцззззх,р и М. Нтзтзохтттиы (см. и. 2.1.1), что если функция пт(х) Е С"10, 1! и имеет кусо пю-тпчтрерывпую производную порядка та+ 1. при'зам тс" 10) = тв"(1) = О.
О < т, < ш, (4.73) В ° »- ВОМ~ "'Ц.гт»„-: — З" ттт! (" 'З)ЗЗ, 11ри зтом в (4.73) достаточно потребовать выполнения указанных равенств только для всех четных т, 0 < т < ти. Теорема 4.9. Пус'ть в зада и; ('1.69) (.1.71) футзкция,„"(х) й 6Ст(0. 11 п пмесз кусо*шо-пспрерывпукз третькз пропзводпузо .р"'(х) при 0 < х < 1; пусть „э(0) =,л(1) = 0 и чз"(О) .= чит(1) = О. Пусть функция тз(.х) Е С (О. 11 и имеет кусочно-непрерывную вторуто п1тоизтзодттуто ыи(х) нри О < х < 1; пусть ти(0) =. з;(1) = О. Тогда существует классическое решение задачи (4,69) (4.71), ~трсдставиктое рядом (4.72). Докатзатиетзьспзво. Из предположений о функцизтх,р и з,, т ледует, что сходятся числовьп ряды тт- ! ".„) ! (4.74) и 250 и (хт„!. (4.75) Функциональный ряд (4.72) мажорируется числовым рядом ЦМ5 3":4 ры "гтг '"' " р «у й'"и и °: ~па рядами (4.74) и (4.75).
Позз охту по признаку Вейсрппрасс а ряд (4. 72) сходи тся равномеРно па множеспзе Сзт = (О < х '- /,0 ( 1 < + зс), и его сУмма Является ттепрерьпзпой функцией в 1З. В шоптостп, при 1 =. 0 имеем равномерную сходимосп ряда (ти Фурье футзкзши,р(тт) по системс вш~ — х) наотрсзкеО < х< Я„,, ' < 1. '!аким сзтбзразом, выполнено первое начальное условие п(х, 0) = „"(х). 0 < х < 1. Продифференггируем почлеппо ряд 14.72) один раз по переменной й Функциональный ряд 14.76) мажорируется числовым рядом (яи г4 —.МЬ4 .)( « ..
й «. ° »и рядами (4.74) и г4.75). По признаку Вейерпгграсса ряд (4.76) сходится равномг рно па множестве 17. и его сумма является гн. прорывной функцией в Д. В частности. при 1.= О имеем равномерную сходимость ряда Фурье функции с (я) по светски". ! х (хп вш~ —:г) па отрезке О ( .г < 5 Ганям обркюм. выпгхшсно '110„,' второе начальное условие в,(г, О) ':=- г,(:г), О ( г <: 5 11так. 1и шсннс (4.72) непрерывно примыкает к на пгльшям и краевым условиям.
Продифферспцируем ряд (4.72) два раза но псрехпшюй Р почленпо; Функциональный ряд ~4.77) мажорируется пгсловым рядом — ) и (:- (+~ — )п(ь',„(, которыйсходитсявсплусходнмогти и -1 рядов 14.74) и (4.75). Продиффсрспцирусм ряд (4.?2) два раза по персмсгшойг я почленно: > — — р„гов — а~ — — — с „вш — а1 вш —.г . (4.78) Функпиопальный ряд ~4.78) мажорируется числовым рядом ~ — ) и (р„(+~ — (гг(ы„(, который сходится в силу сходимосги рядов (4.7-1) и (4.75). Функциональные ряды (4.77) и (4.78) сходятся на множестве Я = (О < х < 1, 0 < С < -ь~) равномерно., поэтому ряд (4.72) можно почленно дифференцировать два раза по 1 и гнг х, производные н„(х, 1) и и,,(х, 1) непрерывны в Ь), а сама функция и(х.
1) удовлетворяет уравнсншо (4.69). ° Замечание 4.17. Проведенное выше,юказательство основано на сходимости числовых рядов (4.74) и (4.75), которая следует из теоремы 2.8, Сходнмость рядов (4.74) и (4.75) можно доказать непосредственно, не ссылаясь на указанные факты из теории рядов Фурье. Но для этого надо наложи гь более сильные условия на функции р и Ы. ° Справедлива следующая теорема. Теорема 4.10, Пусть в задаче (4.69) (4.71) функция ,р(х) Е С'(0,1] ги имеет кусочно-непрерывную четвертую производную;.' (х) при О < х< 1; пусгь,р(0) = гр(1) = Он р"(О) = эцг(1) ==. О.
Пусть функция г.:(х) ~ С' 10,1] и имеет кусочно-нспрерывнукг третью производную ь"И(х) при 0 < х < 1: пусть гг(0) =-- гз(1) = 0 и огч(0) = ы ~(1) = О. Тогда сугцествует классическое решение задачи (4.69) (4.71). представимое рядом (4.72). Докавагггелг сшва сходимости рядов (4.74) н (4.75) в данном случае следует из равенств г, ,.=Я -'7 о"ги..]:""г]гг в '=-Я-Х 9'г:г-] —;" ] г которыс получаются вы шслснием,",„и г;„пнтсгрировашпм по частям. Отсюда ],р„] < —,2 ( — ! вгг1г,рги (г,)] = п," 1, (1), сопвг ], ]< 2~ ] вцр О,'зг(5)( пв 252 4.7. Задачи об установившихся колебаниях в неограниченной области, условия единственности их решений 4.7.1. Амплитуда установившихся колебаний.
Расходящиеся в бесконечность волны Пусть Жл =Р'~5ГГР'., где Р ограниченная областпь с кусочно-гладкой границей о'. Во всем ггространсгпле )кгг рассмотрим пРи Г > О волновое УРавнение асс(ЛХ, Г) ==. сто,ггн(ЛХ, Г) + 9(ЛХ, Г), в котором описывающая источники колебаний фушсция д всюду непрерывно диффсрснцируема, может стыть отличной от нуля .пппь в области Р и периодична но времени; д(И, г) =- =- и'-Х(М) соа( 'Г), Если в начальный момент врс'менп и(ЛХ. О) =. О, ггс(ЛХ, О) = О, то можно считать, что пз-за действия в Р периодического источника колебаний при больших зна гениях времени Г (при г — +ос) во всем простпранстпве установятся колебания с той же частотой с Установившиеся колебания .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
