Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик - Уравнения математической физики (2010) (1127878), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Тогда и(ЛХ. 1) удовлетворяет иитегральиой формуле Ки1зхгофа: 220 и(М,1) =- =-'11 — '( — 'и)- — '( — ') ' ( — "и("- + —,Ц~ — 4Л,, М~ П У) г Л ди Р,~ — — '-"- ( —.":,(= (4.27) (и) = и Р,1 — — '" д. Рл- — '" д1 д1 ® 7Р1 Ли( В стационарном случае и(М, 1) = и(М). Я(М, 1) = 1(М) форму- (а (4.27) принимает вид (и1 = — Ц вЂ” — (г( —,~ — ) а(е ~ 1 ( 1 д (Р) д ( 1 * 411 в ~ЛН„ дге дп,(Л!!в „1 ~опРи„, н Лиг 221 и дает интегральное представление решения уравнения 11уассона (дг(и(М) = — ЯМ~, яг (см. н. 3.2.3).
Вели 0 = К'(1'. то формула (4.27) преобразуется в (4.22), откуда видно. что для нахождения решения задачи Коши и(М, 1) по (4.22) нужно зиять значения начального смещения р и его нормальной производной — на О'„'1, а также значения надя чяльиой скорости (; на О'!). В случае неоднородного волнового уравнен!(я надО еще у част! вОзмущения От Вс(х ра(.н1тед(".Д( нных в пространстве (гхг исто пшков.
ко горы(. достигакгт М в,(анпый момент вреза.ни й ° 4.3.2. Классическое решение задачи Коши на плоскости. Метод спуска Частным слу !аем задачи (4.20), (4.21) являете я задала о иилиндричесттих волнах. Пусть данпьн в (4.20), (4.21) нс зависят От сп / = Х(х, !!, 1), '~ =- р( г, у), '«! =- '1в(;г, у), те!г'«и и ре!И1«!Иие'. Ие зависит От в: 11,:=- нГх, я, !). 1 аку!Озадачу ъ!О7киО рассматрииЕп ь как зада !у Коши на плоскости Г)ту, однако будем одновременно считать, что она поставлена в проступи!1!Ие!Иных переменных х, !д г с пе!авнея!Иимп от - данпыъщ. Тогда зада ш ('!.20), (4.21) описывает распространение цилш!дрическпх волн в О:лр, форма КОТОРЫХ НЕ. ЗЙВИСИ! ОТ КООРДИНаТЫ ЕС аа == а Ьпи+ Х(М, Ц, ЛХ Е Охд, ! > 0; (4.28) а(М, О) =-,р(ЛХ).
а,(М, О) =- «1(ЛХ). М Е- ОТЕЛ (4.29) 0 е !к'! Г2 === О = ~(ЛХ, 1)) ЛХ Е й',0 < ! < +~ ~, пуи !Оа1 ка1КДии 1О !Ка ЛХ = М(х11, Ум) Е: Огй моин т Рае.е ыа.ЕРИ- ваться еще и как прямая линия в Охра параллельная О- и проходящая !срез ату точку. Теорема 4.6. Пусть Х Е С1(Е,)), р Е С'()к~), «8 Е С'(КЕ). Тогда классическое рЕчпепие задачи (4.28), (4.29) существует, опо единственно и выржкается фор.!иулой Пуассона; с) ! ГГ р(р)!Хне ! Г Г !! (Х!)!ХО!, Х(Р т)ЕХО !!!. и, )„ Здес!* 1т'1!1, Л!„)~ ' - 'замкнутые круги на плоскости Охд с центрами в !очке ЛХрадиусов а! и а(! — т) соотвстетвснно: Е!!1р 1лемент площаДи кРУга: Йн! —-- Из формулы Пуассона вытекает при 0 < ! < Т устой !ивость решения задачи (4.28).
(!!.29) по огноше!Иию к возмущениям ,"., аЛ 222 06осяононие фо1>х>у>и>( Луис«они ли(тоде.и спуски. Если н формуле (1.22) функции .,"„!) . ~! и (и> з>п>ися!. От переменной г! то в (-1.22) от интегрирования по поверхности сферы 5>( (М е Оху) можно перейти к инте!.рировагипо по проекции этой сферы на и.ик;кость Огу, т.е. по кругу (>(>!'.
При этом на (>>>(> (>удут проектироваться верхняя и нижняя полусферы. поэтому надо учесть множитель 2 при переходе от интегра.>а по 5(! к и!««(>г)залу по )>"(!. Э>(еыент (1«>( пов!".рхно(тп сф! ры выу>ажают через его проекцию «Ьр на Оиу и и;роз косинус угла межлу внешн! й норма (ью пг к о'>! в (о (к! 1 >! пол~ж~(с,(иным паправгнн>исм осп 0«и «1и>, (и(.)>1(>(, г г>ов(п„. 0«) ~а 1 — (х, —:ги) — (уг.-уи) Отсюда из первых двух слагаемых в (4.22) получаем соогветствуюгцпе слагаемые в (4,30).
Ана«(оги*>но и ! трет ыто слагаемого в (4.22) получим третье слагаемое в (4.30), если вспомним, что Такой метод вывода формулы (4.30) называется методол! спуска (от пространственных переменных >а у. як пр(ктрапствснным персме>иным л, у при нс:>ависимости:>влачи от г). Замечание 4. 10. Если в случа!' двух прострапствснпых пере' ! „з (Р>!.г ери! ! .>>(Ч](>!.!>= — >> ', ' . ! ! г, >!' —.
Л'-„',, ('= 0 формула (4.30) примет вид и (31, 1) = — »4 (>>1( М, 1) + .А4 ( Г!1(М, 1). ° д д1 4.3.3. Плоские волны «1астныв! случаем задачи (4.20), (4.21) является задача о плосниж волнах. Г!усть дшшые в (4.20). (4.21) пе зависят от у и х: Х' = Х(х, ?). !а =- р(,г), 0 = !г(х). Тогда и решение и =- и(х. Х) нс булез зависеть О'!' !! и а Такую задачу мОжнО рси'! ап!'Грг!Ват! как задачу КО!1н! на прямой Ох, однако будем одновременно считать, !то она поставлена в пространственных переменных х.
у. -с независящими от у и х данными. Тогда задача (4.20), (4.2!) описывает распространение плоских волн в Ох!ух, форма которых не:зависит от координат у и га па = а!и„+ Х(х,?), ЛХ =- М (х) е Ох, ! > О, (4.31) и(х, О) = — у(:!).
и,(х, О) = ь (х). — ОО <:! < +Ос, (4.32) Π—. 1Л', О=О = БАЛХ?)~ЛХе к',0<?<+..-~ причем каждая точка Л|й Ог может рассьштривагься еще и как плоскость в Отуьз параллельная Оух и проходящая ирез зту точку. Если функция Х непрерывна и имеет непрерывную производ,Х лнУк! — ' в Ха!, " ~ С'-'(1а'), м е С'(1а1), то к:шсснчсскос Решение ° 'г задачи (4.31), (4.32) существует.
оно сдинствшшо и выражается формулой 21аламбер1м р(г+ а?)+,р(х —. а?) ! ! и (х,?) — + / Ь (Х,)1!Г, + 2 2а ! аа-а! т — ~ ~ Х(1,,т)а!~ !т. 2а, а . -а,'1-а! Е!.,ш Х Е Са (Ц), з-, Е С'(!к1), 1у б С~(К!). то формулу (4,33) можно получить методом спуска из формулы (4.30), 11усть в (4.30) ЛХ = ЛХ(х. О) й Оху, Р = Р(аа,.
у) еб Оху, Х?111 —— — (г, — х) + у . Тогда для произвольной функции ",(Р) имеем "!(Хз) Ь1, !аа! !! -а, 1, "1 ' "Ф аа.а1 а- а1 = — ~;® 2га 224 Остается учесть, что д [ 1 ' г»' ~[а+ а1)+,р(а — аг) д~ [2и — ~ — ~" 4~)4 = 2 Замечание 4.11. Если в случае одной пространственной »--а! переменной ввести оператор М[-,[[т,1) =- — [ '~[чф,. то при о / 1'= 0 формула 14.33) примет вид и(а.й)= — М[,р][е1)+Май[я г) а д д» Задача 4.1.
Выведите формулу [4.33) непосредственно из формулы [4.22), без промежуточного вывода [4.30). ° 4.3.4. Качественные различия формул Кирхгофа, Пуассона и Даламбера В п. 4.1 с помощью характеристического треугольника описана зависимость решения задачи Коши в Ж от ее данных 1',,р, сх 1 чтобы построить и(та, ~в) по формуле Даламбера. надо знать функцию 1 во всем характеристическом треугольнике, значения функции М на основании характеристического треугольника и значения функции Э", лишь в двух граничных точках этого основания. Чтобы описать характер зависимости решения от данных 1. р, м задачи Коши в Я", и =- 2.
3. фиксируем точку ЛХЕ К» и момент времени 1е 41ножество Соп [А|де) = фР,1) ~ 2» '! Впр < «» [1» — 1),0 < ~ < 1е 3. является конусом в пространстве Ж™ ' с вершиной в точке [М, 1«). имеющим «высоту» 1«, Его боковая поверхность Г [М 1в) = ~(Р1) ~ Я» '~[Лог, — — а [1е — 1) О < 1 < 1„) принадлежит характеристике волнового уравнения и„= а'Ьи+ 1". Лежащее в гнперплоскости 1 = 0 основание конуса ([Р,~) е Е Я "''[Кмв < а~и 1 = 0~ — это замкнутый шар К",," С Ж» или замкнутый круг У';~' С К . 225 1'Раницаосновьпша конУса ~(!',1) Е Й" '' ХХИ! — - <Е)л!,1:=- ОХ зто сфера 5"!',"',: >аз или окружность в з<'. Со[,[асно <)>Ормул< Кирх! О(!)ез (1.'22), зна !ение ре[пспня ее(ЛХ, 1„) зави<пт о! зна и ппй ф< пкппи Х тоз! »О ни по»овей Нов< рх[ю(ти Г(ЛХ.
Ц)) конуса Соп(ЛХ, 1(!) и от значений функпий уз, 0 (и произВОдпых Г) тонькО на Грапи[щ О('ИОВання кОнуса НВ <'(ре'р(з 5 а '.<1 ' Согз[агпо <))<>рм(зн; !1уассона (4.30).:зпе! «Ни< !» Нн !И!я и(М. !(>) зависит от значений функции Х во всем копусе соп(лх.1„) п от :зна кний функций ях е, (и пр(выводных ) на всем основании [У['[Еи ХГОГО кОнуса, ! !«<а[о!!и!Я ка>«'("мзщп[О. На ин'!у'и[и!Ин>х! уро[знс ("[рОГОГГи. р щличия фи:зических интерпретаций формул (1.22) и (1.30). Дл>е пони".!авив вто[о раз>[и [ня дос[а[оч[н) !«с,«девать ст! !а[! Х= Е) и „.== 0 в (-1.22) и (1.30). Будем пользоваться интуитивно ясным [нп[ятпем х!Ын>В('ннОГО '!'О'нг[нОГО п<зтО'[н[ека ВО'зх[уп[еппл>! = ()(ег.[Л г, !).
Е(.[и мгновенный точечпый псточпик возмущепня импульса (лсраоотаз[ъ в на п[ле кОординат О В системс Огув В мо\и и! Времепи ! = О. то В илох[снз времени ! > О обусловленное им в<езмупе('.Иие О('ает е'Осре'дОто'[е'е[о на с(1)езрс 5() . В к[О\и'пт В1»>м('ни Х>О н 1=-.— возмущспие пройдет крез гочку ЛХ. после чего В М слова ни<гупит покой. Если причиной во зх[ущщшя и(ЛХ.
1) издается н<'. один точечный нето шик. «сработавший» в О в момент [й)е хн>ни Е = О, а мпоже ст[зо исто [ников, р «[0>е.;Н >и вне которых В прог[рвнс! [зе> в меме нт Е. =-. 0 хе[рак [срн:!у<
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
