Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик - Уравнения математической физики (2010) (1127878), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Д>>я р('ш<'нп51 ди<1к1)еренп>!Ил! Иой крй<'ВОй ')адйчи '!11кое Ограппчс1п1е н(' ивл5н!1Оя ц<обхОдиыых!. Бу.<ем рассма!рпвв гь )ольке таки() <1)у нкп!ш р, пй границ<* З области О. которьн являй)с<я знй !синями па 3 функции 7. определенной в 1> и об:тдшоп» й конечным и)1>псг1иь«о.л! Дирихлс (говорят; «р является след<он на Зопределенной в Л функции г.
которая имеет конечный интеграл Дирихле»). Ииымп словами. бу»м полйгй!ь. помпе>к<с>водопь< !ик!ыхфь ихний < кон(. Ип !и ин акрилом Дирихле нс пусто. Теорема 3.20. Пусть и(1, „-.) непрерывная в круг( <> =-. (О < г < и) кьсочно-1;шдкая в П функция < коне шым инт<- !ралом Дирихле, Пу<-!ь р(7",) = 7(и. <р). В<ли непрерывная в П функция и(71 7-,) гармонична в 1> и у,.!Ов:и)теор>и г кра< ному ус, юви!о и(<л., э>) = р(;). то ':л«(и) < В!«(17) <Зта '! еоремй выражает экстр( мальнос свой<"ию гармони и)< кпх функций: если заданная на окружности 7 = и <1>ункпия р(,>) им<- ег непрерывное и кусочно-гладкое про.кшженпе г(г,,;.) внутрь круга, ооладй)ю<пее коне шым интегралом Дирихлс.
то принимающая тс же граничные значения гй!)л!Инич<7<кия функция и(1; "«) так>к<' пх!ест коне"шый и!пегрй;! Днрих<!е, и<' ирены<пан)- щий З«(г). Такая гармош<ческая функция едипгтвенна (докая< и ге! ) . Функция Адамара (3.57) пе имеет продолжения внутрь круга с конечным интегралом Дирих><е.
В вариационной задаче множество><опустимых функций с такими <рани шыми )начепиямп пьт ! о. Замечание >.21. Вари !Иионную:!влачу Дирихле можно рш— сматривать в бо.п е широком классе функций. чем класс кусочно!лйдких в г> функций. Е1апболсс естественно е< ставить в классе функпий, имекнпих в <> первые обиб<це><7<в<( 7!1>оил<)о<17<77<с. квадрга которых интегрируем в 0 по !сбегу. ° Замечание 3.22. Выбор круга в качестве области 0 являетс>1 лици ьд<)бным дл>1 изу и'ния прим<ром.
° Задачи для самостоятельного решения 1. Д. и следгющих фуикинй и = и(1< р г) (я, д.; .<екар)овы координаты точки в пространстве) пай,!и!е йга<1и и сйь йгй<1и: 7 )«~~~ 1ОО .:-дд ° > О:ч='"; :г! + дэ чг х ! Э»д 1,=.»>..
дд >>. Каки! из укгсзанпых функций являются гармоническими". 2. Среди еле.>ующик ф>ункпий и = и?х. д) 1х, д,>скартовы коорди наты точки на >по! кисти) найдите гармонические: 1 а! =- 1н, х -.'- д ы О; а, --: х' — д' + хд: ,Р+ д- х ц! — -- ., ",, х' + д': 0: и, = сов хя1>>у — айхан! д; :г' + д> нэ = е" ', .г ы О! ав =- е-": ит =- е' '>: и =. ю1х, д), где' >(х, д) га1ж>оническая функция! и у- !'Опв!.
3. Пусть и О, р сфери*п! кие координаты в пространстве. Функция 1 и = — называется >)>дпгд>з>спин>льи аж ?и и>сине>и уравнения, 1ап шеи в 7' 1 пространстве. Покажите, что — удовле>в»рвет уравнению Лапласа 7' всюду, кроме на" >а:>а кнор,>и>нга Дайте э>>ек ! рог!! а ! и и>ску «> иит>1нйктацию этому репи"ник>. 4. Пусть г, р полярные координаты на плоскости Охд.
Функпия ! а = 1и — на>минется фундамента>>ып>м ршн!'ии>>ы !'рави!пня;!ап>!ага на плоскости. Покажите, >то 1и — тдовле>воряст ураавнетпо?1аплвса 7. вшолу, кроме начала коор пшат. 1айте алек>рос>т>ти*н>скук> нптерпр>- тания> этому рспп. ник>. Ука»анне. Пусть ось Ог „>екартовой системы координат в пространстве равномс1п>о заряжена с постоянной линейшой плотностью .>аряда е (тс».
>и>ря?>, нрикодшцийся на единицу длины осн, равен е). Зависит ,ш пю>ряженносп Е создаваемого всей осью О- э.и ктростаги и ского ноля в точке 1х. д, х) в вакууме от координаты хд От ч>гго зависит напряженною ь э>о>о поля? Парису>>>! вектор Е. Выберите точку Р на расстоянии ! от осн Ох и произвольный мальш промежуток на оси Ог ;>линой дх.
Наншпс напряженность Е„, поля в точке Р. со>даваемого выбранным промежутком >1д соггавляюп>ую в! ктора Е,, перпендикулярную оси Ог; величину вектора Е, интегрируя но всей оси Ох. Вспомните, мо Е =- — ага>1и. где и потенциал элек>ростатического ноля. Запишите вектор йгайа в рассматриваемом скеснмметричпом случае в цилиндри !вской системе координат. Определите потенциал и(г) равномерна заряжюшой оси Оа 194 5.
Разрептима ли задача для функцив гт(г, р)т тзтт = 0: 0 < т < а. О < р < 2то г.,р полярные координаты на плоскости; ди =. 1 0 « - 2л' дг, „ 6. Найдите функцию тт(г, у), удовлетворякицую задаче тби =- О. 0 < т, < а, 0: у ( Ь, нх тт'( „=. ь(п —,0 < тг < ттттт,) = 0 О < у < Ь, а ту и), = 0,0 ( х < а: и! =- кш — ',0 < у < Ь. »-.к 7. Найдите функпию и(х, у), удовлетворятошук> зад» и т.'ти = О. 0 < х < а., 0 < у < Ь, '1т х и~ „= кш — ',О < х < а, и!.
к =- 0.,0 < у < Ь. а 2к.г и(, т .= кш —,0 < х < а(тт!» = О О < у < Ь. а 8. Най;титт' фт:пкцик> т!(х, '(т(). удав»створки>тттук> за/[а'и' г, и т тз тт =- О, — — < х < —. — — ( у ( —, 2 2 >тат = О,тт~ = кш(2у). 2 и(; = кш(йг).и~; = О. О. Решите та>ею»иную краевую задачу: тзтт =- О. 0 < х < ., 0 < у < т: ди — =- >йо 2х.О < х < к; тт~ = сов 2у,О < у < ти 'у„,> ди — = — кш ЗхтО < х ( н; и! =- 0 О, у - к.
10. Найдите функцию тт(т>Ь у), удовлетворякнпую задаче 5>тх бтту тли =- втп — ктт> — ',0 < х < а 0 < у ( Ь. а Ь ях 2>т у »1» =- кш —,0 < х < а; тт( = — кш — ',0 < у < Ь, т»> а а 195 Зз<х, йяу и) < .=- вш —,0 <:г < аи! „= в<зз — ',0 < у < Ь. Ул а занпе. Подбором пай<лите какое-нибудь часшкзе решение Ь<(х. у) неоднородного ураззнения, а затем выполните замену злскомой функции: и= — и+ Е 11. Найдитс функцию и(х. у), удовлетворяюзцу<о зада к.
т л1 и .=. вш 2х, 0 < х < —,0 < у с + <ю, 2' и! =-0() ( у (+ос:и! „= вшйхО(.г .—.,и! - = 00 ., у < -~-сс, 12. Репште задачи Дирихле для уравнения Лапласа зз круге 0 < г < 1 с за;шннымн краевыми условиямп: и! =- в!<з 1р(и) = вш р(и) = сов ",. 13. 1зешите задачи Неймазза:ьзя уравнения Далласа в крузе 0 < г < 1 с заданными краевыми условиями: <Эи~ .
<Эи, ди — = вш.р: — = ьш,р + сов,р; — = сов- .р, д<',. < дг, < ду,— < 14, Ре<шме зад шу Дприхле для уравнения,',1агшаса вне круга 0 < г с 1 с краевым усл<пзпсм и) = совр — < 15. Репзите <задачу Нейм,ша дшз уравнения Далласа вне круга 0 < г < 1 дп < краевым условием = сов,р. д( — г)) 16. Найднтс функцию и(г. <р). гармоническую в кольце 0 < а с г ( Ь и непрерывно нримыкаюшую к краевым условиям и! =-1+ соь- р, <з~ = взп" чх 17. Резпите задачу Днрихле дитя уравнения Пуассона в круп'.
О < г < а. <1 и = в(зз<р, 0 ( г < а, 0 <,р < 2я: п(<и,р) = авгйп2,р. 0 < р < 2я, д ( <Эи) дви Уха<зал«зе. Частное решение уравнения г ~ г — ~ р —,.= г- вш,р дг д<. др можно иска гь в виде Азха(п р, А = сопки Подставьте зто выражение в уравнение и определите постозпшую Л. Запишите зада зу Лля новой функции п и реншге ее. 18. Найдите функци<о и(зл,р).
удовлетворязощую задаче <1п = 1. 0 ( а, < г < Ь, 0: .р ( 2 <; и(а,,р) = азвш.р. 0 <,р < 2<с п(Ь. „.) = Ьзсонр, О <,р " 2-<. Указание: шците частное решение вида (Х(г, хэ) = Ас-'..4 = гопвс.. 19. В декартовой системе координат Огд слсс(ссс д) = О. 0 < л < +ос, 0 < у < -Ь-з=, ( . (И вЂ” —. О. 0 « 4 . (О. (с1 == 1. 0 < д < +. Найдитс и(.г, д). Указание.
Решите эту задачу в полярной систети координат. 20. Л(с тодом зеркальных изображений нсьс! ройте функцию Грина задачи Дирихлс в полупространстве: 'за(д д. Н = О, — зс ( л < +ос, О < д ( С-хх —.Оо < т < +=О; а),, =- сс(а. ): Н( г. д, з) гйьи 1' — ь + х. 1ьаВьиьссР1пи! стсьРхснтся к пуд!О, !'= т +у ь я Укасание. От функции Гршш в неограпн и иной облагсп надо по- гребоватса С(Ы, ЛХ„) прн ЛХ вЂ” ъ. равномерно стремится к нулю.
За- нипснтс интсч рсь !внес нре !стони нис рс исси!ос!ада н! „(нсьих и. В с:Осш 1!(т. ) гс (с(.г) а пос!учРнном 1ьРшшспп Вычсигситс' интРгрск! НО си'1)Рмсссшои .: и запишите интегральное предстшзленпе решения задачи Дирихле;шя уравнен!та .1апласа в полунлоскогти — оо < т < +зо. 0 < у < -Ь-оо.
21. Найдите функпию Грина залачи Дирихле п опишите дальнейшую проне.4тру построения решения этой задачи д.ш ! равнешш Г1уассона в гледусощих четырех областях пространства; 1) д > О. - > 0; 2) к > О, д > О. я .> 0: 3) 0 <:с! ( 1. 0 < д < 1.
0 ( е < 1: 4) .Ьз С д! + г"' < а"'. 22. Найди ге функцию Грина задачи Дирихле и опишите дасьнейшую процедуру построения решения этой задачи для уравнения Пуассона в еле.сую!пи:с четырех областях плоскости: 1) >О,у>0;2)О<.г<1,0<у<1; 3) .г! + д < а"! 4) .са .С- д- < сг'; у > О. 23. Ввшшпгге интегральное представление рсшешля задачи Дирих- .Ье для уравнения Пуассона в круге 0 < г < а. Сравните полученное решшпи! с рс шеннс м, построесшым методом разделения переменных. 24.
Пусть 9 замкнутая ссшдкая лвусторонняя поверхпостся п сюле внутренних нормалей (и направлена внутрь области ХЗ, ограни- '!синай поверхностью 5): Ьс = не — соней †. Постоянная плотность рас- пределения,сшюльного момен га па,сь'. Найдите потенциал и (ЛХ) двой- ного слоя этой поверхности. 25. В нолупространспсе " > 0 в Огу- найдспе решение зада си Ди- рнхле для уравнения Дапласа в виде потенциала двойного слоя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
