Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик - Уравнения математической физики (2010) (1127878), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Он.юх( ) 1 Ь) х(=) , Х"(л), г 1'а(д), г Х"() ,»а =- — и = сопв1, — = — б = сопац — = —" =-: со»»я», Х(х) К(д) У(в) ~!1»»»чех» с» + (1 +" — - л. Используя краевое условие. получаем три ш,ш ш Штурма . ,'1нувилля на отрезках 0 ( т < 1, 0 < д ~ 1л О < 1,: разными цаборахги индексов !и. и,. А; спаприх!ср. если 1, = 1, = = 1(з), тогда;этомУ У отвечаег пссколько 1консчног. Ии(ло) .,!и- 1~~ ИСЙИО н(гзя)зисимых сООСГВсш!ых фупкции, Собс'!'!)епцыс' <))упк- й цисл, отвечающие разным наборам индексов.
Ортогопальиьп::4 Щ о„, „, 1«г. у, В) о„, „л) 5,:г, у. х) Йх<)у)В = О. (Хпп 1п), и, Л) ~ 1 и!. 11, А().:Д о :3 Е(х)и 15 'зя)пз'1<' д.)я тра!)пс.'пия 1 с<!ьх!ГО.<ыга 5 г~'('"ув)+с <-у.с)=--Е); у,в) П, ...'1 ~3.1)3) 4 1.) з =-. ) (<п У. В ) коаффцпие!и с совпадает с некоторым уч„„з то. Имея сс рспкл!Яс 4 о1.г, у, ), можно нс)строить репи ния 1)1:г. у, г) + с опк( о„, „!1Х, у„г) Если ж( с отли шо от всех ),„, „, то можно доказать с дипствспность рспп пия задачи 13лб3) д:и уравпеппя Гсльмго;и ца. ° Пу(ть О ограниченная область с кусючпо-гладкой границей ,<), для которой вьшо.,пп!Вы формулы Грина 1о' яв.шется цовсрхцос п,ю,:Ьшуповя).
Зада )у !ш соб< твспиыс з)шч< пия — (л!!БАЛХ) = )«с)1Л1), Л1 й О. о~,. =.— О 13.3)4) мояп«) спи<"п) к о.п)прод!Я)му ипп ! ра<п пох)у ура!)п(пи!о Ф1к),сгольма второго ро;Са с параметром ) . Из тсорип <1)рсдго.сьмя вьпскают с,п)ду)о!цпс свойства задачи 13.3)4): ° за,сача имес т бескопс*шос счс"и!ос мпожсспзо ('обет!)епп!*)х зцячеипй, у которо! о пот коцо шых предельных то и к: ° всс соб«твсш!ьн) зцачс"пия пепц)ствецвы и по,южи п льны; ° собс"пя нные фупкпии. отвс чюоппи' ряз.)и псым собствсшп,!м зця !спиям, ортогоцяльпы.
Если вместо краевого условия Дирихсп в зада и', (3.5-1) пос-швить краевое условие 11<)йх!япя. и) указаииьп < войпп)а собствсппых <))уВК!(пй и «Об< ТВенпых 'пса'ннпй «Ох1япся1«я, но .(ООавигся собс пзеипос зпачспис ) = О. 3.12. Принцип Дирихле 3.12.1. Интеграл Дирихле и задача его минимизации Л)еъсбрапой называют однородную тонкую пленку. которая в покос завимя()т положение плоской ограни и пиой области 0 С От!1.
Ее п.лощадь в состоянии )юкоя равна О <(Ыу. 11 зогпу- о тйя з!ембраца находится в состоянии ватяжения и обладает вследствие этом) упругостью. Прогиб такой деформировашшй зя мбрйны в папршзлении оси О описывйсгся фупкпией п(са у) смещепи( м точки с координатами (т. у) в области В. Будем расгматриззать только случай. когда смещ( пия деформированцой мембраны вдоль Ол и Оу отсутствуют. внешние силы не действу!от. а состояние мембраны гтйционарно — оцй неподвижна. Обы шо подйгсмот.
!то потенциальная эпергия,(еформироззанной мембраны пропорциональна приращецию площади. Ьздем сч!лтй1ь, что с))упкшля и(71 ц);10сзато'шо 1лйдкая. и Вс(1 сзи щения малы, т.е. при вычислени!л площади деформированной мембраиы можно пренебречь степенями величин и, и„вылив второй. Тогда площадь деформированной мембраны Ц 1+(и, (л,у)) +(и„(т.у)) 11л(1р  — О 1+ — (и, ) + — (и„.) '(ЭГ)зр 2 а ее потепциальпая энср! Ия прот)рпиопальий величине ':5(и) = Л ((71, (л, у)) + (ил (:г,у)ф(11(ЭЭ(. и 11) зз йз 1 18(Э которая называется интегралом, Дзлрнхле. Интеграл Дирих.п л( и) яВ!)юГся с))ункциОнйлоы: ())ункз о!и и (ГВВи 1(я В соо пзе 1ствие число. Причиной деформации мсмбраиы могут быть внешние силы пли, например, фиксация ее границы в пространстве.
Если впсшние силы па мембрйиу не действуют, а се и:и иб определяется заданием положения ее границы. то для иахож;1ения состояния упруго!о рйвповеси51 кйзмбрйны»й (О реп!и!В зйдйчз. О минимум(> се потенциальной энерзип: 1(и) — шш, Варьируя (изменяя) з функцию и(я, у) в задаче о минимуме. простыми рассуждениями можно доказать, что в положспизл равновссия такой мембраны ес прогиб и(сц у) удовлетворяет урйвпепшо Лапласа сзи(.г, у) =.= (!. следоийтельио, для нахождения п(>а у) надо решить зй;1а зу Дирихле для уравнения, !ацлас.а. ВО)ника(т ВО!ц)ос: з!Оя(ИО >!и 717)дсз>зу Хирих ш д 1я уршпи"1шя ДВПЛВСВ рЕППЛ'П СВЕд('.ИИЕМ С',С К Задй'1С ОТЫ('Каипя МИПИМ'з'Ма 5(П) в некотором классе (1)ункций? Принпип.
пй.званный именем Ди- рих:и, утверждает эквнва>изнтность этих дву.х зядя !. Пусть ня границе (>'об>н(с'! и т> задана иепр(51>((((нал (1))(нк((>(я)(. Рассмотрим задачу и мин!! мзгзяции:3( и). Донуеп!м к сравнении> все функ!сии> зн!Нрерывные в 1) и кусо шо-гладкие в )), которьн: паз ранице о совпадазоз. с р,. Пршннш Дирихле у пи;рж,(яет: за,ся (у рсшяст (и(и!и"!В(ш!й5! дОиусз имая (1)ункзсия и., ий кОтОРОЙ >(и) дОсти!В('Г наименьш('ГО шй'и'.ния. +Гй (ру'нкция икнкг! 15 Г> ненр('рыВпьн' !51Орыс НРОизвОдззы(.' и ГярмОнична В Рх Тйких! Ооравом. р(. Нн!Иис н( РВОЙ краевой зйдй !!1 для у рави(ния „!апласа сводится к решеншо вариационной зада ш Днрнхл(ч найти допустимую функцию и, минимизируюшую интстрал Оз( и).
Однако, как показал ь)ейерпг!расс. дифферезпззлальная первая кр>н вая .сала ш нрн некоторой и( п)>с1Н((зн(>и фуикц(>и, р может ихн ть к.зжхи и скос р( ш( ни(к а сООт15( тс1Ву кнцйя !>ар(за циОнпая ш.са ш пот: ин геграл Э(и) на Всех допустпмь!х и обрапюизся в бес коне шость. Поэтому формулировку приш1ипя Дирих:и на,(о уточшп ь.
Это уто нн нив было сдешшо Рильбс )п ом и гупи ш в( и>и развито С., 1. Соболевым. Зна*пзние зй>инципя Дирихле (в езо ря:>.,ш пзых моднфикапиях) С(ХТОИТ В ГОМ. ЧГО Он НО1ВОЛЯСТ (Н' ТО,1ЬКО ДОНЯ 1Ы15Я(Ь Т(СРЕМЫ О (юцс ( тВО>5яиип и (л(ин(тв( нное Ги рсш(ний краев! !х зада 1, !ю 1з стр(впь нриближс'ния к репи>пням В виде н(к;ледовапльпсксгс й донусгимых функций. на которых значения (з(и) с!рехштся к п>11>'.5(н).
Это важно для коне!руировяпия численных методов. Замечание 3.20. С нрзлнципом Дирпх(н свя шн большой класс задач об отыскании,мани,мальныш поверхностней ( Гак на:зывяк>г поверхность наименьшей нлопшди, натянутую нв зядяннук) криву!о). Если погрузить замкнутый н)юво. Кшный контур в мыльный раствор. то образу(тся пленка, которая по закону НОвсрхнО("пк)ГО нйтяж(>ння приник!й('т !5 кя'1с("пзе СВОСГО !ю.!Ожс'- ния рйвнов( сия форму мннимя.н пой иоверхно(ти.
Нязяну"той пй контур. Теория минимальных пов( рхшк тезл ихн>ет !и' только математическое, но и важное прикладное !на*и ние. ° 3.12.2. Интеграл Дирихле в круге Пусзь ь? = (:г'+ ),"' < и) =.= (() < ! < и. О < )) < 2-(). Рштмотрим задачу Дирихлс для уравнсння Лапласа в ука.!янном круге: .(хи = О в з>, !з~, == р (;,).
>)его/! разде(и пи)! !и реме!пнях В по- 190 лярных координатах г,,р дает решгнне этой задачи в виде ряда ) 1 пыеи,ии. Введем зависящий от параметра р шп стра с '.тт (тт,)= Д ((сс,) +(и„) 'с!гс(У = ф ф ((сй) + —,(и,) ~гс(тс(.Р, и а гт ~де и = и(г, р): х = тсов р; 1ст = гэшр, 'т„(и) является интегралом Дтс(тстхл~ в к1>сд с" 11. Если функция и гармонична в В, то внутри круга радиуса р < и прои:»водные и,, и, цсирерывны. Поэтому сстпсч рад '.т, (и) собственный. 11о при р =- а этот интеграл может оказаться нссобственным, тогда под '.з„(и) надо цоиимать 1пп'от (и) .
Вычислим 3,, (и) для функции и, определенной рядом (3.55). При р < а в круге О < с < р имеем ирстизстсьсные ти" '' сс, (г.Д ==. ~ (су„»статс.". + с1„вштс.р), а," й (т ~ и. (г. р).=.~ ~~ — ~ >с( — сс„вштс:р-с-3„совтсср). цл ат Квадраты произво,шых (и,) и (и,)- найдем, перемножая абсо;потно сходящиеся ряды: )! . тттт.и (ст„соввээ+(5„вштьр)~~) ' (сс...стствттс",+с(„в1ссттгтт)), х я т ' (т) Ц вЂ” ) и( — о„в(тсттср+(5.„сокттр)),~ ~ — ) тп( — о„,к(тстр-ь'.5., с»та»тсср)1 т 'с 1О1 (с м.
и. 3.7и1): ос, ' (т) тс(тиц-.) =- — + ~ ~ — ~ (ст„есть тстр+ 3„вша р). (3.55) ! ',, 1 глс ст„= — / р (с)совттсс(5,. и —.-- О. 1, 2..... 3,, =- — ~ р(5)впстт»с(», тс О "а и = 1. 2, ... Фусткшпст р будем полагать стестре!тсясттктй па окружпос;ти т— —.. а. Кроме тото, бу,сем полагать, по в тцостом круге О < т < 5 1; радиуса р < а функциональиый ряд (3.55) можпо поч;и нно диф ференцировать по г и по.р, и тсри этом бу,сус полу ситься равно ме псо и ибссхэктттстсо сходящиеся ряды, оирс де.гякнцис произвол Знг(х( по (ленным интсгрировинием рядов ~ ~ ... найдем 2- и.:(и:! 2 (и, ) 7'(1э> и ~ (и,) — (1гх Учтем при эгом ортогональиость си- О О стсмы фУпкпий (1.сохи;,эши 1''л.
Тогда иолУ(им 2 1 (и,) 7д'" = ~ (и,.) — ((>О =. я~~' 71 (о„, + >„) откуда ЗО (и) =- ~ ~ !(В,)27.+(и.)2 — )(1„и(1 = 7(~ И((>,", + 3;-',)~ — ~ О О 7) ии 3(и (и) == 11»1'3>и(и) ==. я~ и(о;, + 5-„,), (3. 56) и ( с.»1 ряд (35(>) схо(ится: (3>и (и) = +х. ( с>и ряд (156) расходится. Аднмир пред.,южил !(ример и(77(р(рь((7(«>й иэ окружиоггп г=-.: (л фу»кпии ~((э>), при коэорой:>нднчв Дирихле для уравнепия Лапляси в круге л> имеет клвсси «скос решение, но па этом решении ин!(ГРВл Дийих.«' '>и (и) = Ч- х.
ФУпкпиЯ 1((Р) звлв("!СЯ Рйвномерно сходя(пих«я на отрезке О <:р < 27( рядом: 11( )=-~ (3. 57) (Г (7 ) ' Э>П(71! Р) Тогда гармоническая в!)функция и((,э>) =- ~ ~ — ) „, (л ил явл>!ется к:шссичсским решени(м первой краевой задачи. Но и'. '3>и (и).= 7(2 — =.= 1- Х,. „, и' 3.12.3. Экстремальное свойство гармонической функции Если в краевом условии функция р определена рядом (3.57) (или подобиым ему рял(о>1). то первую краевую звдв*(у для урввш*пня Лапласа ие.
и з>1 свегги к зэдиче минимизиции функциоиа- .,1В '>и (и), Ди(1>фер('нци(шьнвя и Вври!щионпня '>в,(вчи пе яв>!51- к> гся полп1ос1ь«> 'э«в»вил«.'1п1» !О1и. 1,1(О1вть э!и 'Энди'п1 э«Вивй,«>пгными О1ож!ю, ((ли и( допуски(ь н(рв>рспп(мых в(йи»шиониых зада !. Д.!я этого пало сузить класс функций р, в краевом условии, В тем самым и к.шсс допустимых функций в:>ада'и> 192 минимизации л«(и).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
