Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик - Уравнения математической физики (2010) (1127878), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Решение уравнения.(а!!лша в колы(( пало (троить в виде а,(1...)) =-А„з Ла 1пг+ Рассмотрим (а(ггный случай (' и =- О, 0 < ! < а. 0 < р < о < 2я: а(г, О) = О. Н(г, о) — — О, 0 '- ! < а. а(а, ) = ((»), 0 « " о. непрерывная функпия; ((О) = ((о) = О. 'у! гд( ( 1 ("п(шппь 1 я(1„(('лив !и'р(.'м()нны(1 В уряВН('пни . 1(шлага дв(* заа!а'!и ( по;1:кжаших! О!О)е,((ешпик) парахкгг(н)х! )м ПО:Г" !ИЗ! Ф". ! + ХФ = 0.0 < )) «м (( ( ((Л1 ) ! — ~! — ') = ХЛ. 0 ': г' < Ф(О)=О»Ф( )=О. Л (а. Решенпепервой1яадя !Иичеетвид Х„, = — . Ф„()з) =- () г(а' . яш —.
О а =- 1, 2,... Среди репи пий 1)'(г) надо сохрашгп то.п ко те. кото- 105 ПО(!сга!1)!Яя ат(л' ря ! в кра(тзьп* усгшВия и ря('кг)ш[11вяя (! и г в РЯ (ы ФУРье, ! юлУчим д:!Я каждой паРы кочффнппентов ( Аа. 17а), 1А„, Л„), (С„, г(,,,) систему двух а птбряичсских уравнений. ° '! 3.7.8. Задача Дирихле в круговом секторе ') рые пе имеют особевпостей вплоть до границы области; 1Г„]г).=» 7'~ . Р('шение 77]гх .Р) надо строить в Вид(.
ряда ,» 11 ]г, з))» ~' В 2' ' ЯВ1 . ПО»7(ггйвлии ЭТОТ РЯ 1 В кйм в(х. У С1ОВВ( » .! О при г == и и раскладывая фу«кцию 7'в ряд (1)урье по ( истеме ] Ф„) па отР('!кс (] (,Р ( (и пайДем Все В„. Ю Замечание 3.18. Решение каждой кра(вой задачи, по(трое«по( методом разделения переменных в виде ряда. ящн«тгя ())ормальпым: !Рой)у(тгя сщ! доказать, что это! ря:! опрсдсля(!т клах)сическое решение, ° Заме»(анг(е 3.13.
Х!стог! разде;«пия !«Ремеппых в других областях *и( то пршюдит к задачам П!тура!а Лиувид)!я., р( шеция которых вырйяомОтся '!(Рсз г))е717)а»)ь)(и(7 ф)37(к!1717! х!ат('мати'«'- ской фи:)ики (чащ( вс(шо !ер('! цилиндрические или сфери «!в гкие функции). Теория специальных функций состав)ыет пред)«' г о1лг 7!ы1ОСО курс!!. ° 3.8. Функция Грина внутренней задачи Дирихле Реп«ние за,гачи Дирпхле д„ш уравнения Пугюсо!и 1В истности. для уравнения Лапласа) в области 0 можно представить В ин!е!'ра.!Ы1Оы ии„'«ь (с, п! д.!я ! ' И)в(стпй ф112(к!17)я, !уи)7(й этОЙ задачи.
В данпом подразде.«будем предполагать. ч го обла(ч ь 1З о! ршш !Опа ] В С К' п,пл 17 С К- ) и имеет достато шо г ладкую границу,5'. Требование,кк"!.ат(иной г,идкосгп грйпицы 3 щи!запо с желшием поль!ощггься формул)ппл 1 рипа и гйкд("!Вг!лять решепи( задачи 1црихг«*.
с помощью функции Грива и прои шодш)Й по !«)рмй;и! к 3 От ())упкции Грийй этои крйсвой зйдй и. Выражевпе (3 достато шо гладкая !.рапица области 17» озиа(йет, ! го д»!л и()е ( !Й)йв(дливй п(.рвйя фо]тх!у лй Ррипй. 3.8.1. Функция Грина внутренней задачи Дирихле в области В ( К' Пусть В оараиичеш(йя оро)исгг!ь в К" с границей К Виутрепп)о! ида и Д!)рих.«д,и урави(!шя Пуассопа состоит в пахожде~ип функции и]М), удовлетворяющей уравиепию 166 и к1ик'Вому условя!О 1>срвого рода и(Р) = р(Р). Р е 5. Региепис этой задачи будем предполагать класси >секим: и е С(В)Г!С> ф). (Л)ы не треб>у> м, >тобы».'-С' Я, поэтому лля применения формул Грина, нужно гбао дположигь, что Я >ьоверхпос>ь кз>аз са С-'.
'Этх> предпозк»к< ппе г >р»ззтируе> выли>. >- нение формул Грина для функций и. в н» С(В и:С-(В). ихз> к>- гцих правильные нормальпые прои зво >пь>е па,~ и >лв. >ли сб х (0) !8. Ц 24!.) За>зип>ем ипзе>р>зльп<>е >йкдстав.к>пие р< пк пия в» впу>р< п>к >з то >ке Л~> области Рп 111п(Р) 1 1) ( 1 км„>= — Д1) —,.~) — ~ ~~ю,— 4т и ~ дг>г Лиза дг>» ~ Йг»„ 1 щ Ь>з(ЛЛ) 4я Ли>з (3.23) д$,.~ >"'">-в ЕЧ"'З'>(ГГг,— — Щп(М)Ь и (Л1 )>1оз> (3. 24) в Сложив формулы (3.23) и (3.24), получим „(и>>:-Д)' "~ >С(г»„>-«~»' '~ " '>~ >>и— григ с'пг -1ЦС(Л1.Л1в)Ь .(М)Ю„.
в где С(ЛХ,Мв) =. + «(ЛХ), 1 '1" »>с>а 167 Пусть функция»(М) гармони гиа в области В и непрерывна вместе с >и рвыми прои зводги >ми в эамкн области В. ! 1рименим к функциям и(М) и в(Л1) вгорук> форъ>улу Грива: Если погребошпь. чтобы выполня;кя ь условие С11!. ЛХ(!) == О. Р (Р' то (ЛХв) = — 0' (! ) — Я Л !1 (ЛХ) С ~ЛХ. ЛХ(!)(1В!е. и дС(Р, ЛХ„) и1ЛХ(5) = Ор1Р) ( ' (ХЯЕ, дн, + ~Ц Х 1ЛХ) СЕЛХ.
ЛХь) тм. 13.25) 15 Замечание 3.1~. Формула (3.25) со;н рысит производную дС(ЛХ, И„) с\'Ец('( г15Ован1н' кОт(О!ОЙ и(' се!ег(ус*!' нз Опре1!О.!един пня. ° Формула 13.25) дает класси"н(скос решени( задачи Д!(ре!хне прн вьшо:шенин условий р Е-: С1.(1) и 1 е С! '1Хе) За иечание 3.15. Если пользовап,гя языком обобщенных функций и обобщенных ренн!пий. то ЯЛХ. ЛХ„) для кахкдой !очки 111!! е 0 у Еов !(ч'порвет уравнению Пуассона Е'.( !(С(ЛХ, ЛХ(!) =- — лб(ЛХ, Мя), Еде 6(Л1, Мв) . соср(,юго и иная в точк( ЛХв Ь-фуР!кцня! (1ЛХ.
ЛХв) = 51;е — Я;!. 1/ — 11((„в — 5,). ЛХ = Л11,г.,(1 в) ЛХ(! =- ЛХ((( !г 1((е Определение 3.5. Функция С(М. ЛХ„) называется ф11нкеЛией Грина внутренней задачи Дирихле для оператора, 1апла( а в 15 15 К'. (*ели: 1 1) С((ЛХ,ЛХ(!) .= + Е(1(ЛХ), г,(ефункция !ХЛХ) пй!мопична 1тХХ!1!е всн!ду в об.!асти 0: 2) С(Р. ЛХ(!) =- О. Р (:- ХХ.
115 определе(шя с.а!дует. что функция 1'рина С1ЛХ. М„) с то*(- пОсть1О до га15м(нн(че( кОЙ фу нкцР!и ни!5,,!Ягк1си ф (н !ам( нта Еы!ых! репи вием уравнения Хапле!с(е. 13(орое требование в онр(д(. и нии продиктовано тшюм граничного условия. Если функция Грина С1М. ЛХв) с(щеспРУет. то Решение зада ш ДиРихле д„ш УРавнениЯ 11уас(она находим в явном виде но форму.н( Г!римсиив вторую форму.(у Грина к решениям и(М~ и С(М, ЛХВ) двух (ядяч 2 ! ! Р Л(! (ЛХ) .=- — Х(ЛХ). ЛХ б О, 1(л «С (А!, ЛХи ) = — Ь(ЛХ. ЛХВ). (1Х б Х2, й (Р) =- р (Р).
Р 6 5'. 1С(Р. Ми ) =- О. Р е д. иолу шм и(ЛХ(5) В ви;(с (3.25) (ировсрьтс!). ° ,.15(5! ИогтРо(ниЯ фУнкции ГРина С(ЛХ, ЛХи) исобхо,шмо найти функций! В(ЛЙ = — и(ЛХ. ЛХ,) (ЛХи параметр). удовлствор5п(нцую :!ада (с (3. 2(5) Ьи(ЛХ) = О. М е Х2. и (Р) =- —., Р с Рь 1 (3.27) ч 5( Х((и((, .Д((5! до("! йто ц(о ии(15(зко(о клй((й ((ов(рхи(5("(('(й! 3 ('(йк Вй 5ы- Ваемых поверхностей „'15(иуиова) зада*(а (3.26), (;5.27) разрешима, поэтому функция Грина су(цсствуст. Замечание д.
16. Возможность ввести фувкци(о Грина в за- дй'и Д5(р((хи(( обья(ия(.ггя том, что У = О и(. 5и!.(Ист(5! (обит!«и- иым зиячсши м (ада "(И,ЛВ =-. 2 а в области Х2. и =- О иа границе 5', '(с(ь о„'(ИОГ«5;ц(я5! крй('.Вйя:(й((й'(й (ли =-' О В О, и~ 5 = — О их(('сГ то(и ко тривия.п нос решение. Замечание д. Х 7. В (лучяс внутрсш«(й задачи Нс((х(аий в ЛГ(! число 2 —.. О является ( обе пи иным значением (ядачи (ли — 2ги в ди обля(ти Рк — =- О иа границе Я, поэтому функцию Грина .! акой (ядачииадооирсдслятьно-друтому: С(ЛХ,ЛХи) = +.
и(ЛХ). 15(д(а(, .Л и(55Х) = О в Х2, а вместо условия С( Р. ЛХВ) =- О, Р с л. (шдо гр(. дС(Р. ЛХи) 1 бовать .= — —, Х'Е,(5, г.(с и, сдиыичияя норм и(ь к д, Я' 35. В(н(пияя (ю о сиоп«(иик! к 0; /5! и;(ощйдь иоВ(рхиос(и л. Тяк вв(дшшая фупкщ(л С(М. ЛХи) оирсд(леня с точностью до ио("(О5(ииого (с(й!'Всм(ио, 5ВВис5(пк'!'и от то'(ки ЛХВ.
Если с((и' потребовать Я С(Р,ЛХ!)(!З( = О, то реп«и(и(' внутренней зада (и да Нсймйий хи, =- О В Хд. — = и, ! Г и(Р)(!Ь( — — — О суд('! ои1«„((- игп (я форму.(ой и (ЛХи) =. Ц С (Х5. ЛХ )и(Р)(ддс + (ОВВ!. В 169 Замечание 3.1о. Ойуикцию Грина можно ввести и для внсн(- >юй,юдо, т Даро,.глс. Д,>я -> и>го в облает и 0'. внешней к ограипн иной ооласти Х>с К'', надо исг(ог(ьзогза(>* формулы Гриня у (и Гы ва>О! Пи('р(!'>с!я р! ю("!)ь (1)у икци й па Ос(К Он("(пост и. ПОЗ (Ох(у пвдо доно:ппггс>п,ио потребовать С(М, Ц>1 при ЛХ вЂ” зс равномср>ю стр( ми гся к иу>по. ° 3.8.2.
Свойства функции Грима внутренней эадачи Дирихле Теорема 3.17. Если ЛХ. ЛХг е) ГЛ то С(Л1, ЛХо) > О. дока(>о>псльсо>оо. 1очкУ ЛХь и козоРой (1>Уикци>! ГРипа име('г Особеиио("и, выйех(см >ивРом Х(. с >и'итРом ЛХо, ОГРа(шчевиым сф( рой Е,. Из представ.н иия функции 1 рина следует. что на иов( рх ности Е. и >зиу! ри нее С( ЛХ, Л1о) > О и С( 1'., ЛХо) == О.
1' (= Х>'. Так как функция Грина С(И, ЛХ(>) в Об>.п(сзи,:язк,(к>чсиио>! меж .(т Гн>в('рхностями 1 . и о., у>(О(з>нгз>зор>нгг ура!>пепи!О 1>з((>п(са. '(О в ( илу ириипю>а минимума С(ЛХ, ЛХо) > О всю„(у в облас(и.:зак (юч( иной между пою рхно(тами Е и Я. В ситу про(с>вольно("! и выбора - полу >а( м С(М. М(>) > О всюду в Об (ас(и О. ° Зв.иечанне 3.19. Так как функция г(ЛХ) удовлетворяс! .>ада н (3.26). (3.271. то из прию(ина максимума с.иду('(, по г(ЛХ1 < О в(юду в об>пюти О.
1 1 Следовательно. С(М.М„)=.=- 1 г(Л1)< . От- 4! Й(>п, !пйии,, ск>, (а (и>. (у гаем ! раиииы и зм( (и иия зпа н (п>й функции С( 11. ЛХ ): 1 О < С(И,ЛХо) <, ЛХ: - ЛХо, при (ем равеиспзо нулю учи- '1" 17и.>н тыпю т, зто С(Р, ЛХо) =- О, 1' б Х>'. ° Теорема 3.18.
Фуию(ия 1'рипа спмхн>три ша относи (сльио то нк Л!„и ЛХ: С(Л1„, ЛХ) =.— С(М. ЛХг) (ото свой("пзо п(гз(ии>('т(5! приицююм взаигпюстп). До>(((>о>исл>н>аво. 11усгь ЛХ, и И., >н которы( фиксироиапиьн. го (ки об. Пюти Хх. 11остроим сфер>*! ЕЯ' и Е'б радиусов: с центрами в точках Л1, и ЛХ,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
