Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик - Уравнения математической физики (2010) (1127878), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Д!>я обеспе'и пия 1ц[1п!стВ(>ПИОс1и р()пгю!ия 1реОЛ('тся ш О оерояцчснносгпь В окр(.с ышстях 10 гск разры)за. ° 3.4.2. Характер единстаенности решения внутренней задачи Неймана Как отмсча,!оссч репи ппе Впутреппей зада"ш Неймана для ураВИ('иг!я, )ап>!Всг) и(' МОжет б)ыт> (.'ди1п'.таепп!!м. П()скольку 13 условие этой задачи Входят только производные искомой функции. Но пмсст )исто е;Пп!ственность решения с то шостью до произволыпи о посто>шного глас!тех!ого.
Теорема 3.5. К.!ассичсское решение Впутрсппсй задачи ! !ей."1апа 0!ц)сдсг!я('!со( с' '10чпостьго до прои:ПЗО'!ьпОЙ постояппой: (с.ги 1(г(ЛХ) и ат(ЛХ) !и)п«>ппя О,[ИОЙ и топ ж( 1ада*пг Нсймапа. то г(г(ЛХ) — г>е(ЛХ) = с'опац Дохг(кзигггелыггаоо. Здесь пельш Воспользоиаться пришцшом хппс('их!уха(. ')ак как п()и 313(("1'НО 'гсму раппы зиа'1(иия ()))'акции и(М) па границе. Поэтому используем формулы Грина. „3[ОП\стим, '!1(? сущсстау)01' зпзе (()упкпии Вг(ЛХ) и 113(ЛХ). яа.?як)п[и(.'ся р('пш!шими зада'ги Н(>й)11)п(3 В огршш «ИВОЙ об.(ж гп 0 С К'. Рассмотрим фупкцию о(Л1) = п,(М) — В„(М). +)т) функпия п(ЛХ) Ебо (Х)1(ЗС)(11). Опа удоилстиорист задаче г 3 О (ЛХ ) = О, М Е 0: = О.
Р Е Л. (О. (Р) (111 О'1саиДНО. !)Спп:пи('м ч'гоп:5133[(>чи ЯВДЯст('Я о(М) = сОПВС. > [О- кажем, по других решений пет. Применим псрву)о формулу Грипа к функции а(М): ЩиЬиЮ = Д и — 2ХЯ вЂ” Щ(йгл!1и.и!айи)2(о. и д2:(Р) Учитывая, что Ь2!(ЛХ) = О, ЛХ е 5. и = О. получих! дп (ди1 Д (йга21и.,йгЫ2!)!А =-О, поэтому (йга2171йгас127) = ~ — ) + '2 дт.) (ди) (д2)' — + ~ — ) .=- О. Так как сумма иеотриц21:1 ельпых слагаемых ~д7~! 1д=) ди д71 д2! равна нулю, то — = — = — =- О всюду в области О.
Отек!да дз ду д" получаем и(М) = сопки Аналогично д1жазывастся утгверждение теоремы для ограпичс1шой области Х2 С И7. ° 3.4.3. Единственность решения третьей внутренней краевой задачи Теорема 3.6. Если функция (2(Р) иеотрицателыга всюду па д, bе равна тождественно нулю и непрерывна иа Я, то впутрепияя третья краевая задача ие может иметь более одного классического решения. Условие Ь(Р) > О, Р й '21 супгесгвепио для е,п!Иг!Иепвости рспп!пня задачи.
Пр77ллер 3.1. Ес.т ЦР) < О, Р Е Я, то на н.юскости Оиуможпо построить 11адачу, которая имеет более одного решения. Рассмотрим круг радиуса а (область х7 с к г границей о), надо найти фупкцию 2!1ЛХ). удОвлствор1ИО1цг!О условиям 2з7!(ЛХ) = О, ЛХ Е Х1! + Л(Р) и1Р) = (1 Р б Я. ди (Р) дп Возьмем две фупкци17 и7:=.. О и и7 =,1:и подберем Ь(Р) таким образом. чтобы обе опи были решениями этой задачи. Запишем задачу в полириой систеьн! координат, Тогда полу 1им в = д2!7 ди7 = гсов !., и7 = 'гсов 2: и — '=- =- гОИ74 (ИОрма7!ь и к граии1п! д7! д7' д совпадает с направлением радиуса). Если Л =.
††. то условие 141 ди(Р) + Ь(Р) и(Р) =- О, Р е о', превратится «тождество как лля дн функции нз, так и для фушазии а, Следовзззт льно, ия-»а выбора 6 < 0 мы построили два ревя ния третьей красззозй:задазчзз. ° дохтьзазпсльснзно пи пре:иьз,у.6. допустим, что суззкстззукзг дззе функцигз в,(ЛХ) и п.,(Л4), являюгцизсгз класси*п;скихзи 1>ензениями третьей краевой задачи в ограниченной области 1? с К'.
Введем функцию н(ЛХ) ---- сс,,(ЛЕ) — и,(ЛХ). Эта функция удовлетворяет за~о че Ьи(ЛЕ) = О, М е Е?: + 1з(Р) г(Е') =-О, Р е Р« 1?с (Р) дн !1рззхзеззихз первую формулу Грина к функции и(М): Щ оЬнН? = Цл — г15 — Л~(йгадздйзайи)гШ. л х дз л дн(Р) Учитывая. что,Лг(ЛЕ) = О, М е О, и +6(Р)и(1') =--О, Р й д знзлу нзхз ~~ Ь (Р) зй ( 1"1 (15 Р Щ (йгаг1 зл зти1 г) зШ =- 0 х л По условию тгорехзы Ь(Р) > О, поэтому из неотрицатсльности обоих слагаемых получаем Я 1з(Р)е'(Р)гИ=О, Ц (йггзйв, 'гади)гШ =--О.
Отсюда (йгайг, цгада) =- О. по»тому и дг дн дн — — — — — = 0 в Е? и г.: — сопяз в О. Ич нспрсры«ности функпип дх ду дс(М) в 0 з~оззучззехз г .= согзя1 па д. Но тогда ив равснс гзза ~ 1з (Ез) г'-' (Р) г15 .—.= 0 и условий Ез .' О и Л нс равно гож,н ст«сино пу:но следует г = =0 «Е?.
Аналогззчно докзззывгзнзгя утлзсрждспис теоремы для огргзнн*нпннзй ооластн Е? С К-. ° Залзе зонин 3.5., Озка»зззныс т горем ы сди нет«ен ности рзлзкпий изутрглнзззх краевых падал справедливы и в слу гас урззвнгзшя 142 Пуситопа Ли ==. — 1: если имспсттся два рппепия краевой !!оса !и, то их разпскть удовлетворяет уравыспию 11аыласа и пуси вому к1зас.'вОхсу ус'.'ИПЗин! '!а!санного в !ада'и' типа. ° 3.5. Регулярность гармонических функций на бесконечности.
Формулы Грина в неограниченной области, внешней к ограниченной 3.5.1. Регулярные на бесконечности функции трех переменных Рассмотрим спи"сала случай трех ш рс меппых. Пусть =,Р.У:," ° « '.. «,:,.;. с!',. Определение 3.3, Функция и(Л1). Л1 Е К'. иазывеи тся регдтлрной на бесноненносггсн, ес;и при всех достаточно бо.сыпих !' вы сю. с! и'цы пс'ра кепс тва Л ди Л дс! Л с)о, Л г д:г гл ду г-' сЬ ' гт Теорема 3.7. 11угп функции исЛ1) и е1 ЛГ) рштсярыы иа бескопс *шости и и.иЕ бо (О )ОСи(!11 )) '1'оглы для сс(31) и г1И пмсет место первая форму!и Гршт: !'ассмотрпм ограисс сссшую облас и 0 с К', гриши сс й которой явля! зся замкнутая поверхность,~'. Обозначим и ре ! 1Эс обшить.
яв;ннов!у!оса вш.ыпий к д. тогда )к' =-- 0 Од~!1Э', 0' === 0'ОЯ. Щ аеас!!10=-Л и — с1с) .- Щ(йсас1сс,йгссс)сс)с10. с3.14) сд! дг! Дс!кссссстсл! си!ась Область 0 огршшчеыа, поатому мохкпо выбрап шар 1с„!!оста!о шо болыпого радиуса ! с центром в иа сале координат, внутри которого ыахссдптся 0.
Пус"и л', сраиипа зтого шара: 1У, слой простраиггва между поверхпос гью д и сферой с!„. Облас"! ь 1Э',. о! рани и иа, иоатому в пссй справедлива пс рвая формула 1"ршса:сля фуыксшй и( И) и с!сЛ1): По признаку сраннс ния несобственный интсгра! (3,16) схо. плтся абсо:потно (поскольку 4 > с1пп Жсс = 3). Итак, при ! — +х существует предел правой части форму.
лы !3.1 !). поэтому супюссв1 ет и прлдел лх' левой 'сасп!. ° Поменяв местами функции и и в в соотношении (3.14) и выситая из одного соотнсппеснлля друго!, получим вторую формулу 1 рина: ( дс~ ди1 Щ(иаэс — лссзи)сХР = Д (и — — г — )сХ.су. дп, дп ! У'сигьлвсл5!. 'по фундамюстсмльнос 1)щпснис уравнения Хллс,лс„ , 1апласа регулярно на бесконечности, получим тр! тью (основную) формулу Грили для функции и(М) в ооласти Р'. Прп этом нормаль к поверхности Яллогсжна выбираться вне!пней посспношеншо к Р', т.гк на!гранд!!на впулрь Р: см„! =- — ХХ вЂ” ссс — )~лв,.— длс,(Р) д ( 4";! ,. ~ Х1сллс„ дп е дпс Хлс лс„ 1 Л~ Ллс(сгХ) 4я,.с Лсил, Теорема 3.8.
Гармоническая в области Хс' Е Ис! функция. равномерно стремящаяся к ну.цо на бесконечности, является регулярной на бесконе шостп. Доклиэассселссстсло теоремы основано на преобразовании Кель- вина гармонической функции сс(ЛХ), Обозначим через К,, открытый пшр радиуса а с центром в напшс координат О, а чсрс:! 5„, его грасшцу. Открытая область К'„внешность шаРа: Хс! = —. Хл„Ес Я„О Кс.
ПУсп Кол! РадиУсвсктор. проведенный и! точки Г) в точку ЛХ Е К'„: !К,!!с ~ = Йсслс. '1'очки М Е К'„и К е К„называются слсллллессс1ссс с!!с!ми с>тпос:и; тслшю ссс(ссрьс л'„, сслп и '2 и с ~ох = —., 11оя Псс.сс = —., асс! (3.17) Х1сс!с Фх Такие точки лежат на о;шом лу сс, выходящем из О. и удовси творяют соотслоплснллклйсслсХХссх = а2. Преобразован!и (3.17) называется инверсией: оно взаимно одиозна пло отображж т Хл '„ па К„О. 143! Пусть функция и(ЛХ) гармони ша в К,.',.
а Функция уу(ЛУ) = — и(М) навьи>нет«я нреобрауэооануиел> Х>уу.> Кельоина функции и(М), если М и Лу сит!ау«три уны они>сите и- по Я„. Можно доказать. ч >о и(у>У) гармонична в К„:, Г), Для этого запишем координаты то и к ЛХ и у>' в сфери н>ских координатах; и ЛХ = у)Х( . О. ч»); ЛУ=- %>, О, р): р == — Т д г и(Л1) = и(г, О. »>), а )а» г(Л!) = — «(0.0, р) =- — и,'—,О.:р . 1 Ь»» >и(Л!) = Ь»» . — и —.,О, р = — „у'.>, »,.и(у>>Х) (проверьге!).
а» " 1'.!.уи и(М) уа1>хнн>и нуа в Л"„у! и(ЛХ) н)н! М вЂ” ос рав>юмсрнс> стрсмуптя к нулю, то гармоническая в К„О функция у>(У>с) прп а (1) р — * О у,совлетворяет условию «(Лу) = — и(ЛХ) =- о — ~, т.е. в точке )> О функцн'! «: н»кот ихнг! ! особ! иность !!вин, меуп >пуго порядка. чем фундамента„н нос решешц> уравнения,'1ау>ласи. Поэтому >нукакоб! осх>бс н>>ос ! и в то уке Оу с1>ункцпн «нс >з она гнр>!они нн> век>ду в н>а)>!' К„.
Следовательно, н ок1>ес! >>ости '! Очки О с)>ункци5! «ограничена и имеет ограю! >енные первые производные. Выполняя ооратпое преобразование Ксльвнна, получим а а (а- и(ЛХ) == — у>(ЛУ) = — и —,О,,з, Отсю.)а при достаточно больпшх 'с г г сонв1 ! следуе! неравенство Ц < . А вы ниляя рас)и(М).
нри дог гоняй стато шо больших г полу уим )Ога>)уу! ( г- В самом деле, !'ели М =- ЛХ(.г,у, >Л>у, н). Л' — -- ЛУ(лх. >Х», »>) в у>укартовой сштеме координат с: центром О, то т, р, и, р «,- а ,а ал УЛ>у в>у г г 2'Лу + Р>у + мяу 11оэтому ди(М) д (в ) авив(Ж) дхи дан г и а(де(йг) длх дю(Х) ду, дг(М) дсх ~ г1 дл, для дук дгм гдвх д:си ! У ~взывая ограниченность функции н1бг) н ее первых и1>оизводных в окр~ ст~нхтн точки О. получим ахнн1и') ~ 1 1 дах " ( ам + Уй +хй) 1! 1 7" 'г д:Ги г г' дут 2в тнуя 1( 1 д~х 2в 'мвя '2 ;.л-,.„„;„.„1 "(г ~ ди(ЛХ) 1 1 откуда =О~ —,,1 и1хидостаточноболыиих г. Аналогичные ди(М) 11н1М) оценки справедливы для, .
Й дун дхн Замечание Хб. В доказательстве исиоль ~свана теорема об ,1 устранении в точке О особенности гармонической функции ~13, гь4,чз!. ° 3.5.2. Регулярные на бесконечности функции двух переменных 1 1 В с. |у н1е двух переменных будем рассматривать а1и1логичнь1е ио смыслу О, д. 1У в Я~'-'. Пугть г = ~/т' + у"' в О.гу. Определение 3.4. функция двух иеремшшых и1а, у) назьь лается рееуллрной на бесконечности. если оиа имеет кош.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
