Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик - Уравнения математической физики (2010) (1127878), страница 26
Текст из файла (страница 26)
надо найти функцию и(ЛХ), гармони и"скую внутри В. Требование гармони пюсти функции п(ЛХ) па ~ р,шице излишне. Условие непрерывности функции и(ЛХ) в замкнутой области иеооходимо для едгшствеппо~ ти рсшепия зада ис Если это условие отбросить, то сдипствсппость решения задачи на- (сопяц М й В, рушится. так как,побая функция вида и(М) =— ~р(ЛХ),ЛХ ~ б, будет рсшешсем задачи.
Поэтому требуем., чтобы р е С(Я). Н этом с.~уча< функция и(ЛХ) называется классическим репи,вием за.шпи. Класси искоере~пение и(ЛХ) й С(В)1ОС'-'(1>), во«рсдс ыюи1ая его фупкцпя, задаппая в краевом условии, р е С(г~). 3.1.3. Внутренняя задача Неймана 13путренияя задача Неймана имеет вид (3.1) '.хи(ЛХ) = О. М е В, ди(Р) =о(Р), РЕ 5. (3. 2) дп, Постановка задачи о нахождении классичсскояо рсгиенихе найти функцию и(ЛХ), которая определена, пепрерывпа и пепре- рьшио дифферспцирусма в замкнутой области 0 ( 0 с К' или 0 г: К ), удовлетворяет впутри облас~и В урависпию „'1апласа 127 <за = О.
а <|е норыальная производная принимает на гранипе зад . (Р)) данны< значения = н(Р), Р Е 5. <Эп Решение и(ЛХ) Е С' (Х|)<лС- (ь<), а задак<щая краевое условие функция « 'С(Ь'). Очевидно, по если и(ЛХ) решение задачи Неймана, |о ш(ЛХ) = и(ЛХ) + С, где С = сопв1, также является решением той же задачи Неймана,. Это легко проверить, если подставить функцию и<(ЛХ) в за; дачу (3.1), (3.2).
3.1.4. Внутренняя третья краевая задача Внутренняя третья краевая задача имев | впд Ь«(Х<Х) = О. М Е О., о(Р) +3(Е')и(Р)=«(Р). Р Е 5. <|(Р) ) О, 3(Р) > О, , <Он,(Р) дг< и(Р) + З(Р): О. Пусть коз<)>фици<|нг о(Р) не равен нулю всюду на Я. Тогда разделим граничное условие па п(Р) и получим задачу Ьи(ЛХ) = О.
ЛХ Е Х|, (З,З) <Он(Р) +Ь(Р)и(Р) =- |1(Р), Р е .5'. (3.4) <<и З(Р) где фуньпия 6 (Р) = нс равна тождественно нулю на 5 (пнап(Р) ( ) че полу*<им |ггорук| краевую з<|да |у, а не третью); ц(Р) = ' < (Р) Постановка задачи о нахож<ле<п<н классического Х<еше<пшс найти функцию н(М), которая опред<ьлсн<ц «енрер< пи<а и нс|йяь рывпо дифференцируема в замкнутой области В (Х< Е К' или 0 Е Й'-'). удовлетворяет внутри области 0 уравненшо Лапласа <зи = О. удовлетворяет на граюше условию (3,4). Реп|ение я(ЛХ) Е С' (0)Г<С' (О), а задающие краевое условие функции |1(Р) Е С(5), Л(Р) Е С®.
3.1.5. Внешние краевые задачи Внешние задачи ставятся по-разному в Жл и Жс. Это связано с различием в поведении на бесконе и!ости фундихсеппсасльныт решений уравнения Лапласа в трехъшрпом и двумерном с.сучаях. Пусть .Ц,(тй, уи. „-,) некоторая фиксированная точка в К'~. 11айдем решение и(М), ЛХ =- М(т. у. г). уравнения Лапласа. за- висящее только от Х(л! и . Введем Гфери'!с!куя! систему координат (г.
О. ") с и!итром в '!очке Мс!. '! акое решспие будс'! обладать сферичслской симхилтрией. т. е, сХп с)п — = О. — = О. Олсдоватсльпо, будет выполняться уравнение с) Р 1 сХ ( д с(п) сх и = —,, — '~г! — ') = О. Общее решение зтого уравнения имеет вил ги сХг с(т. с, !с(!) = — +С, где г.—.— Д„,, 1 Реп!ение и1М.Л(в) — — называется фунсХалленпспзльнь!,.и Х'лна Хссшенпгм уравнения Лапласа в пространстве. Это гармоническая фупкпия переменной ЛХ, определенная всклду в К'. кроме точки М ==- ЛХ!г В двумерном с.сучае введем полярную систему координат (гс,р) с пенПлом в точи!.
ЛХи(х;!. ув). Найдем решение п(ЛХ). ЛХ = ЛХ(в. у), уравнения Лапласа, за- висяплее '!'Ольке от Хчлслс„ . В зтом случае дп 1 сХ ( с(и) — ' = О, и выполняетгя уравнение Ьл! = — — ~ г — ~ = О. Его общее сХ,р !' иг иг 1 решс ние имеет впд и 1г) = су! 1п — + С „г:ле г = Хс !ли, . Функция !с(М.М„) =1п называется с)1!хндпменплссисьньсвл ХХсллл, репнин!ем уравнения Лапласа на ис!оскости, Для одно:шачного нслхолкдспия к;пи сического решения внешней краевой задачи нужно потребовать определенного поведения искомой функции на оссконе шости.
Далее постановки внешних краевых задач будем рассматрива п от,пльно. 3.1.6. Пример некорректной задачи И;)у'шм и дйппой глйве в)о"<р< )шие и впешшп крй<)вьк; э<о<а <и ,<ля уров«си<)Й Лй)ии)с<), и Пут)ссопа с у кйзйипыми выпи крйш)ыми условиями. При этом ийс будут шперк<овать вопросы о сущ«<вова«ии р< пп ния. о его един <вен«ости (или о единстве«- ности с то шостыо до пронзит)льпого постоянного слагаемо).о), об у<")ой )ивости решения.
Огметим, что ветре ««отея практи и)ски важные зада ш лупя уравнения Лапласа, которы< совокупностью этих свойств ие облада<от. Прильер Адамара задача Коши для уравнения Лапласа) и(:г., у) = 0 в 0 = ( — зо <:г < +х, 0 < у < 1), (3.5) п(х. 0) = Ф<,(х)., )<э(х, О) = Ф;(х). —:х, < т < +.с. (3.6) Требуется найти фупкцшо и(х, у), гйрмоиическу)о в полосе 0. ш прерывпую в 0 =--(-ос < х <+"с.О < у <11 и имекпцу)о в 0 пепрерывну)о пропзводпук) иг удовлетворяюшую при д = О эпачальпым» у<ливиям (3.6).
К (3.5), (3.6) приводи г, папрпмер. )адача и продолжении поте«циала н(х. у) некоторого поля по п)м<"рспп <и этшо потепциала и «впряжен«ости цри у = О. Зам<)тьг<ь 'по прямая 1 — ( — оо < х < +эс, у = О) и<'. яки<'г харйктеристи'пк'ких то п)к у рай«штя (3.51. Пусть Ф„(т):=. О.
Ра« экггрик< в у<шовии лдя и(<й 0) по<с)едойй )ель- 1 ность функций Ф, к(х) = О. Ф, „(:г) = — я1« ())х при и, = 1, 2, ... 'и Им отвечают реш< пия зада )и (3.5), (3.6) п,(х, у) = О, 1 п„(х.у) =- —,, вш(пх)яй(пу) (проверьгей). При и, — ) эс получаем и) шах (Ф), (х) — Ф,й(х) — О, по <пах ~)<„(:г,у) — к<)(х,у)! ос,. х и .к, <с ~к<) П 1 епп'.«и<'.
'«ь<ачи (3.5), (3.6) и<' яв:)яечся усто)«'ивь!к). этй ')и- дача некп1)рек<тек ю 3.2. Формулы Грина в ограниченной области 3.2.1. Первая формула Грина в области 0 с К) Пуси 0 ограпичеш<ая обзасп в 1к', границ< й которой является замкнутая поверхность Я; 0 = 0 <3.<)5 Ьудем считаи в< к)- 130 .су далее, что о достаточно гладкая поверхность. к которой с ссрилсснихса формула Ос'троградского. Теорема 3.1. Пусть в области В заданы две функции и(М) и сс(М): и, и е С' (В) сз С (В). Тогда в В справедлива первая формула Грина: Щ ссйш(В =- Д и — 'сЫ вЂ” Щ(огвс1и,егас)ц)4В. (3 7) дп Докссзапссосьс гаво. Первая формула Грина получаетгя из формулы Остроградс кого Щс(!тАс(В = — Ц (А,п)с)Я (п едини шая впепшяя норма п к Я: сГ — элемент объема; сБ —.
элемент плогцади поверхности), с*ели специальным обргезом выбрась векторное ссоле А. Возьмем в качестве этого сзекторного поля А = сс(Лс)изти)и( Лс). с(си( сс11гссс! сс) = ссс!ги(агссс1сс) + (ягас1си етссс!сс) — — сссзи + (дгас1си дгас(сс), йссс = с(!и(цгас!сс). Отсгода ссЬсс, = с!!т(сс~тссс1и) — (рас1сл ~гссс)сс). Теперь. проинтегрировав по В, получим формулу (3.7), ° 3.2.2. Вторая формула Грина а В с !к' Поменяв местами функции сс(Л1) и сс(И), получим ЩиЬсс1В= и и — с(Я вЂ” Ц) (уас!и,ртсс1и)с1В. (3.8) и я сс Вычтем из формулы (3.7) формулу (3.8), тогда получим вторую срорсиулу Грина: сОСис,— ии Ссп=Д( — — — )сс.
ре ди ди) дп дгс) которая симметрична относи тельно функций сс(Л!) и о(Ли). 131 3.2.3. Третья (основная) формула Грина в Р С К77 Щ (ил — ь,) 71о = и к'" Г( де ди) ГГ( ди ди) ) (и — — в — 713+) ) (и — — а — ~43. дп дп),,7„( дп 7077~ (3.10) ).Г( дп ди77 В интеграле 1) и — — с — ~71Ь п -. внешняя нормаль к по- да д77 1 7' Г ( д77 д7П верхпости д. а в интеграле 1) и — — в — 775 и .
внутренняя ~~в( д нормаль к поверхности сферы 7.;. ". Учитывая, что в(Р)( дв(Р) д (1) 1 — — — — = —,, вы пц:лим интеграл цо сфере: д77Г д 777 1 1 д77(17)1 = и (77(Р) —., --, ~,Ю, е дп 132 Пусть и(Л1) — произвольная функция, дважды нецрерьпшо дифференцируемая в ограни 7енной об7исти 11 и непрерывная вместе с производными первого порядкз в замкнутой области Б: и ~ С' (11)О С' (11).
Фиксируем точку ЛХ, Е Х1 и выберем функцик7 1 г(М.ЛХв) =, где Й777777 расстотте от ЛХ„до ЛХ; п(ЛХ. ЛХ„) Хгз777, я вляется фундамснтал ь ны м решен ием уравнения „ 1апласа в р,'7 Применим вторую формулу Грина к функциям и(ЛХ) и в(ЛХ, ЛХ„). Функция и(М, ЛХ„) имеет особенность, когда, точка ЛХ совпадает с точкой ЛХ„, позтому применить вторую формулу Грина во всей области П нельзя. Окружим точку Мв шаром К.77' радиуса е с центром ЛХ„, ограниченным сферой Е7".
Применим к функциям и(М) и в(ЛХ, ЛХ„) 77торук7 фо17м7у77у Грина в ооласти 17 ' К 77": Вос польяус|мся теоремой о среднем ~1и(Р.) 1Э (Р'*) (п | 1пи~Р.) 4 ХЭ"(Р") | ли.гочки Р' и Р" принадлежат сфере Е|~ч Иерей,:и"м к пределу при е — ~ О, тогда сфера Е.'ц' и |пар Хс |и' д .(Р' ) будут стремиться к |очке ЛХи, .п|ячения и(Р ) и бу |ут дп ди (ЛХ„) сЭ|с | грсмит|,|я к и(ЛХ„) и . В |.илу ограни и||и|ости — и |и|- дп ' дц прерывности функции и имеем 1||а .1 =:1пн(Ыи) . В точкс* ЛХя -О абсолютно сходится несобственный интсгрял Щ с|исХХЭгс .
и ХЭцц функция Ьс|(ЛХ) в окрестности точки ЛХ| ограни |сна, а цесоб- 1 ственный интеграл Щ с1ХЭи сходится при о ( 3. Таким Оо ц '1| и образом. формула (3.10) примет впд 1 — Щ Лис(0я ----. ах|с(ЛХ||)+ ЭХ |ИI„ 1( ~(ь ~ ~ б..|г|) ||и„|= — 11( — ||ч —,( Д ||с— 1 ( 1 ди(Р) д ( 1 4я,, ~(Х(ги, дпн ди, (К, „, 1 Ш Ьи(Л1) 4я и ХХпи (3.11) где Мя внЭдирсннля то |кя области ХЭ. Формула (3.11) нязывастся сирспиьей |)Эор.иу.|ос|.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
