Главная » Просмотр файлов » Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик - Уравнения математической физики (2010)

Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик - Уравнения математической физики (2010) (1127878), страница 44

Файл №1127878 Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик - Уравнения математической физики (2010) (Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик - Уравнения математической физики (2010)) 44 страницаЕ.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик - Уравнения математической физики (2010) (1127878) страница 442019-05-11СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 44)

которая часто;циэтся иа гряпш(е о'. В кя и ("мя такой информации будем ря(см привять локальпыс липейш !с краевьц. у(чювия: Дирихле (первого рада). Неймана (второго родя) иэш 11>стьсго р(эда, Их х(Ожпо з(цц(сать сдипообра:5!(О и 1)и.(с и„= аэ>'>5(и+ 7(ЛХ,(). (ЛХ, 1> (- („э; (4.37) о(Р) +3(Р)и(Р.1)=-Х(Рд). Р Е Ь'. 1 С (О. -Ьх);(438) ди(Р.~) длг и(М. О) =.

Й(М~, !11(М, О) = !. (ЛХ)., М е ХХ. (4.39) Общее краевое условпс (4.38) может возникнуть, если в и(>- кото~)ых тО !ках ГХП)иицы .'>' зад ш .)якОН ЛВиэк( пия (О (ки па Г1)яшще. в,.й)угих то !ках (э' и;пи>стпы впешпие силы. в третьих внешние силы и силы упругого закрепления. Не буд( м рассматривать гаков общ( е краевое условие в задачах и п|>о("(ра!и"! И( или ца плоскости, по допуска(м краевьц.

условия разных .(и>кэв в двух точках границы (э', если Хэ отрезок прямой. Дадим О10)1';Ил(пиЯ к:!ассичсских Реп!опий па'п(льио-к1)йе!)ых:5Я)(ач с к|пи'.Выми усэювиями п(эр!)О)'О, 15 горОГО и т|>(".тьсГО 1)о,гя. 231 о(Р), 4(ХЛ)а(Хэ 5) — „(Х> 1) Р ГХ ()а(Р.Р) д>>я где и, век)ор вцепп!ей по отиошсцию к об,пи ги ХХ порм ши к 'э в точке Р, К1и>с!>ОГ(э )слОВия ца о цедО("(а1О'1НО д.))1 опре,(е.ипия кОИ- кр(т!К)го 1)( пи.пия волиового ути)!)псп!55! В Рд По("(й(>пх! (1!пе пячяльпые условия: для всех то ик М е Х) зададим пачялы!ое смещспи(,э(М) и начальную скорость х>(Л)). 'Тогда в замкнутом цилппдре 9 = — Хэ х ((1 +ос) получим начально-нраеву)о задачу для волнового уравнения: Определение 4.2.

Хлассическим решением начально- краевой задачи в цилин;цх; ХЭ~ — — 0 х (О, 7) называется функция а(М.1) е С~(ССг)Г~С' (ХЭт ), удовлетворяю|пая в Цг уравнению (4.37). начальным условиям (4.39) в П, и на 5 х (О, 7) одному из ди(Р, ~) краевых условий в(Р. 1) = р(Р, 1). или = «(Р.г), или дп, ди(РЗ) + 6(Р)а(Р,1) =,(Р,1).

В (лучае краевого условия Дидпя рихле пе требуется непрерывности первых производных вплоть до Я х (О. 71: и (ЛХ. 8) е С'-' (сзг ) и С ~ф ) Г С ' ЙХЭ х <О, Т] Х 0 ~Э Э х (~ = 0) 7) Для существования классического решения необходимо выполнение следующих условий; Х е С(Х? г),,р е С' (ХЭ).

т.' е С (ХЭ) р. в, х непрерывные фушгции на Я х (О, 7). причем при Р е Я д (Р) „(Р,о) дпг ды(Р) = и, (Р.О). дйр < 1з(Р) = р (Р.О). зв(Р) = ц,. (Р.О) + () () ( ) дпе дс (Р) +й(Р)ч (Р) = хл(РОЭ). дпг Замечание 4.12. Часто встречаются задачи. решения которых не могут удовлетворять требованиям. предъявляемым к классическим решениям, Если не выполняется согласование начальных и краевых условий или искомая функция в(ЭгХ. 1) не может обладать требуемой гладкостью.

то понятие решения начально-краевой задачи надо рассматривать в обобщенном смысле. Определение обобщенного решения основано на интегра.|ьном тождестве. Например, если и(ЭГХ. 0 является классиче- Для единственности решения начально-краевой задачи с краевым условием третьего рода важно полагать, что 6(Р) > О.

Слу щй неоднородного крае~зого условия заменой искомой функции зп'.Гко сводится к г.гучаю Однородного краево[ о условия того же типа. ским решением начально-краевой задачи с однородным краевым условием и(Р,з)=О,РЕЗО(1( Т, (4.40) а заданные в задаче функции 1 и ьь рассматриваются как З' з= Хв(Ягз), с ~ з з(Л)„то справедливо интегральное тождество ( — и,зз, +и (йзаг(зза,атас)зззз))<Иззу = ог ъ.е4П,зз+ 1 1зтз!с2 (4.41) и 4 з =.«з зь для всех функций с(М.1) Е Сз (ф ), удовлзтворяющих условиям ( 1. 42) (4.43) Как и в и. '2.7.3. к понятикз обобщенного решения начально- краевой задачи (4.37), (4.38), (4.39) придем, если надлежащим обра:зом расширим класс удовлетворяющих (4.39) и (4АО) допусгимых функций п(Лз, 1) и класс удовлетворяющих (4.42) и (4.43) допустимых функций г(йз', 1).

понимая вьпюлнимость для пих тождества (4.41) в смысле интегралов Лебега. ° 4.4.3. Метод разделения переменных Построим фор иальное решение начально-краевой задачи для волнового уравнения с однородными краевыми условиями (первого, второго или третьего рода) методом разделения переменныт. Схема метода позшостью повторяет изложенное в и. 2.3. для уравнения тз плопроводности; надо лишь учесть, что во.шовое у1загзззеззззе имеет вз'орозз по1зядок ззо ззззекзз ни 1 ~место первого.

Напомним метод разделения переменных на прззмерах зада з с краевыми условиями первого рода. ф Пример 4.б. Пусть:задано однородное волноззос уравнезше с краевыми условиями первого ро.за нзз =- зз-зз„„, О < л: < й 1 > О; (4.44) 233 и(0, ~) = О, и(1, 1) = О. ~ > 0; (4А5) л я(х. 0) =,р(х), и,(х; 0) = л;(х1, 0 < .т < й (4,46) С;плл*л!улла найдем 'ластнылл ]лен!ения урал!пения (4.44) вида :$ Х(х) Т(й), которые удовлетворяют краевым услоллиям (4А5). Если ":л подставить про!лзведенис Х(х) Т(й) в уравнение (4А1) и разделить '."$ Х„", (х) 7;,"(~)::4 лгго на лгХ(х) Т(~), то получим "' =-," =- — У, = — соня!.

От- Х (х) а.'Т Я с!ода лл из краевых условий (4.45) имеем задачу Штурма Х,", (х)+ хХ(х) = О,о < х < 1, (-„„)' 4 ,Л!лувллхлл!я ' с решением У „= — . '4 х(о) = о.х(~) = о 1 хв Х„(х) — — я!в ~ —.т . и = 1. 2. 3, ., и уравнепи!' второго порядка л,'(~)+ лл~У Т(~) =-О. оторое надо реша!ь при Х = У „. Его общее 1 решение (кпа 1 ('и!и! Т'„(!) - — — А„соя( — Й)+ Вл вли~ — Е, люз'!'Оыу Ос!пил!лил' в(х, !) исходной за/и*ш надо искать в вилш Постоянные А„и В,, можно найти из на плльных условий.

Для !того надо разложить заданныс па (О, !) функции р(х) и ь!(х) в ~вп ряды Фурье по спет! м! функций 1влп~ — х ~ на указанном отрезке: .!я=1., »( — '*) йле=й., ( — ' 2, 1 я!! 1 2 (яг! =--.!''-!л!'»( — ') ', =-Х !л!'»( — '!)л! Тогда из условия "!*' )=Ьа"т ( — ')= ! )=Е' '"( — "') получаем А,, = с„, а из условия ззаа (к7з, ) (яп (*,о!=Еа — ' ( — ')= ! )=з „( — ') ( получаем В„=- м„. Тем самым функциональный ряд и(х, Ц = ива, ('7!зн! ) ( . (х7за )) .

('хи -~('-( — ')" — ' хд( — ')'--( — ') -'--' '" л !ильч!ма!, рзззиг!ииеаи задачи (4А4) (4.46). Во!зрзкз о тоьз, в како~ смыс.зс востро! ииый 1зя;.! яв:зяется р!зшсци! ь! исходиой зада зи. требз ет отдельного рассмотрения. Кла! си !е! кое решение получим ззиизь ири иекото1зых доиолиительвых ц(а"дцоложззииях о функциях зз(х) и !.!(х), ° П~пйхиер 4.

7. Пус ! ь;задапо нсодзнз(зо !нос !ю ц!Ово!' ургзвиеии!' с к(жеаыыи у!'ло!зиями и!'1!во!'о 1зода иа — — ааи„, + ((х, (). 0 < х < (:, 1 > О, (4.17) и(0, 1) .==. О. и(Е. () == О. 1 > О, ( и(х, 0) = О, и,(х. 0) = О, 0 < х < У. (4АО) Решение задачи (4А7) - (4.49) можно искать в виде ряда Фу- 1х рьс ио системе гйп — х ~ !'; )= ЕГ. М'» (г ц;), (-!. 50) где кочффициенть! Фурье Т„(() подлежат оиргздс.иникь ~!тобз! найти их, подставим проза юлагасмый вид рс шенпя (4240) в урав(ха пение (4.-17), ра:зложив ((г, Е) в ряд Фурье но я(п~ — х тя (яа) ял ят! 2 Та(()вш —.г =- — и!~~ 7,', (1)~ — ~ вш —,т+ ~ ~/,, (()вш — х, ( мазза!=-7л и (" ): О!таза!а и из зшча;зьиых йс.ц»изй (4. 19) !0!и каждом а =- 1, '2. 3.... получаем для нахождения Т„(1) зада !у Еошгк 230 Т„(!)+ а- — Т„, (1).=- Д (!),! > О.

т„(о) = о.т„'(~1) = о. ° Зсыиечание 4.13. Решение задачи Коши ! 7" Я + а "л Т Я = 7(1), Х = сопай1 > О., Т(О) = О. Т'(0) = 0 имеет вид Т(Е) = — ~ вш(!о(У вЂ” т)17(т)пт, а (4.0!1) где ы =+ !!Ха. Действительно, Т(0) = О. Т~(1) = ~ сов~~ !(! — т))7'(т)!1т, поэтоа му Т'(11) = О., Т" (1) = — ! ~ в1н( !(1 — т)17'(т)дт+ 7'(1).

° О Решение задачи (4.47) (4.49) построено в виде ряда (4.50)., коэффициенты которого теперь извес гны! (е, !=й;,!С ( —" )= П=! тп — ~ аш[ы,„(1 — т)1Д, (т)!1т сйп — и = л ! л а (, 1 г — ~ вш~щ„(! — т)1 — "~ 1(с,,т)в!и — ~!1~ 4т в1п — ''х, и,.= ! " !л О 1 е !!и где „= а — ( !„имегот смысл собственных частот рассматри- 1 ваемой колебательной системы (4.47), (4.48)! ( !„1= — ).

Изменяя порядок инте! рировапвй и суммирования (эта операция. вообще говоря, требует обоснования), получим формальное решение задачи (4.47) — (4.49) в виде и(хЛ) = ~ ~ 6(х,с:! — т))'Я,т)!1~с1т, о а 2 1 . -п , тп где С(т„с:!) = — 2 — аш — лв1п — с,а1пь!„й яп„ !и 1 236 Функция С называется функцией Грина задачи (4.47) — (4,49), или функцией влияния, мгновенного точечного импульса. К этой функции приходим также, решая следующую задачу.

Задача 4.2. В момент времени ! = 0 конечная однородная струна 0 < х < ! с жестко закрепленными концаъси получает поперечный укол иголкой в точке хь 0 < хе < !., передаюший ей импульс 1 Начальное поперечное схсесцсние равно нулю. Начальная поперечная скорость струны в точках х ~ х„ равна нулю. Найдите поперечное смешение и(х, !) точек струны. ° Решение. Пусть р = сопв~ линейная плотность массы струны (масса, приходящаяся на единицу длины).

Тосда импульс элемента струны зх с координатой х в момс нт времени !. равен и,(х. !) рс(х. Суммарный импульс, переданный струне, ! = ~ и, (х.О)рс(х; надо только указать. что этот импульс сос рев доточен в точке хе; ии= аги„,,О<г< 1; !>О; и(0,. !) = О, и(!. !) = О. ! > 0; 1 и(т, 0) = О, и, (х.О) = — б(х — х„), О, х < !. р Здесь Ь(х — х,) — Ь-функссия, сосредоточенная в точке хв (см. и. 2.7.2). Наличие в условии задачи мгновенного точечного импульса требует понимать ее решение в смысле обобшенных функций.

Характеристики

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6499
Авторов
на СтудИзбе
303
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее