Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик - Уравнения математической физики (2010) (1127878), страница 44
Текст из файла (страница 44)
которая часто;циэтся иа гряпш(е о'. В кя и ("мя такой информации будем ря(см привять локальпыс липейш !с краевьц. у(чювия: Дирихле (первого рада). Неймана (второго родя) иэш 11>стьсго р(эда, Их х(Ожпо з(цц(сать сдипообра:5!(О и 1)и.(с и„= аэ>'>5(и+ 7(ЛХ,(). (ЛХ, 1> (- („э; (4.37) о(Р) +3(Р)и(Р.1)=-Х(Рд). Р Е Ь'. 1 С (О. -Ьх);(438) ди(Р.~) длг и(М. О) =.
Й(М~, !11(М, О) = !. (ЛХ)., М е ХХ. (4.39) Общее краевое условпс (4.38) может возникнуть, если в и(>- кото~)ых тО !ках ГХП)иицы .'>' зад ш .)якОН ЛВиэк( пия (О (ки па Г1)яшще. в,.й)угих то !ках (э' и;пи>стпы впешпие силы. в третьих внешние силы и силы упругого закрепления. Не буд( м рассматривать гаков общ( е краевое условие в задачах и п|>о("(ра!и"! И( или ца плоскости, по допуска(м краевьц.
условия разных .(и>кэв в двух точках границы (э', если Хэ отрезок прямой. Дадим О10)1';Ил(пиЯ к:!ассичсских Реп!опий па'п(льио-к1)йе!)ых:5Я)(ач с к|пи'.Выми усэювиями п(эр!)О)'О, 15 горОГО и т|>(".тьсГО 1)о,гя. 231 о(Р), 4(ХЛ)а(Хэ 5) — „(Х> 1) Р ГХ ()а(Р.Р) д>>я где и, век)ор вцепп!ей по отиошсцию к об,пи ги ХХ порм ши к 'э в точке Р, К1и>с!>ОГ(э )слОВия ца о цедО("(а1О'1НО д.))1 опре,(е.ипия кОИ- кр(т!К)го 1)( пи.пия волиового ути)!)псп!55! В Рд По("(й(>пх! (1!пе пячяльпые условия: для всех то ик М е Х) зададим пачялы!ое смещспи(,э(М) и начальную скорость х>(Л)). 'Тогда в замкнутом цилппдре 9 = — Хэ х ((1 +ос) получим начально-нраеву)о задачу для волнового уравнения: Определение 4.2.
Хлассическим решением начально- краевой задачи в цилин;цх; ХЭ~ — — 0 х (О, 7) называется функция а(М.1) е С~(ССг)Г~С' (ХЭт ), удовлетворяю|пая в Цг уравнению (4.37). начальным условиям (4.39) в П, и на 5 х (О, 7) одному из ди(Р, ~) краевых условий в(Р. 1) = р(Р, 1). или = «(Р.г), или дп, ди(РЗ) + 6(Р)а(Р,1) =,(Р,1).
В (лучае краевого условия Дидпя рихле пе требуется непрерывности первых производных вплоть до Я х (О. 71: и (ЛХ. 8) е С'-' (сзг ) и С ~ф ) Г С ' ЙХЭ х <О, Т] Х 0 ~Э Э х (~ = 0) 7) Для существования классического решения необходимо выполнение следующих условий; Х е С(Х? г),,р е С' (ХЭ).
т.' е С (ХЭ) р. в, х непрерывные фушгции на Я х (О, 7). причем при Р е Я д (Р) „(Р,о) дпг ды(Р) = и, (Р.О). дйр < 1з(Р) = р (Р.О). зв(Р) = ц,. (Р.О) + () () ( ) дпе дс (Р) +й(Р)ч (Р) = хл(РОЭ). дпг Замечание 4.12. Часто встречаются задачи. решения которых не могут удовлетворять требованиям. предъявляемым к классическим решениям, Если не выполняется согласование начальных и краевых условий или искомая функция в(ЭгХ. 1) не может обладать требуемой гладкостью.
то понятие решения начально-краевой задачи надо рассматривать в обобщенном смысле. Определение обобщенного решения основано на интегра.|ьном тождестве. Например, если и(ЭГХ. 0 является классиче- Для единственности решения начально-краевой задачи с краевым условием третьего рода важно полагать, что 6(Р) > О.
Слу щй неоднородного крае~зого условия заменой искомой функции зп'.Гко сводится к г.гучаю Однородного краево[ о условия того же типа. ским решением начально-краевой задачи с однородным краевым условием и(Р,з)=О,РЕЗО(1( Т, (4.40) а заданные в задаче функции 1 и ьь рассматриваются как З' з= Хв(Ягз), с ~ з з(Л)„то справедливо интегральное тождество ( — и,зз, +и (йзаг(зза,атас)зззз))<Иззу = ог ъ.е4П,зз+ 1 1зтз!с2 (4.41) и 4 з =.«з зь для всех функций с(М.1) Е Сз (ф ), удовлзтворяющих условиям ( 1. 42) (4.43) Как и в и. '2.7.3. к понятикз обобщенного решения начально- краевой задачи (4.37), (4.38), (4.39) придем, если надлежащим обра:зом расширим класс удовлетворяющих (4.39) и (4АО) допусгимых функций п(Лз, 1) и класс удовлетворяющих (4.42) и (4.43) допустимых функций г(йз', 1).
понимая вьпюлнимость для пих тождества (4.41) в смысле интегралов Лебега. ° 4.4.3. Метод разделения переменных Построим фор иальное решение начально-краевой задачи для волнового уравнения с однородными краевыми условиями (первого, второго или третьего рода) методом разделения переменныт. Схема метода позшостью повторяет изложенное в и. 2.3. для уравнения тз плопроводности; надо лишь учесть, что во.шовое у1загзззеззззе имеет вз'орозз по1зядок ззо ззззекзз ни 1 ~место первого.
Напомним метод разделения переменных на прззмерах зада з с краевыми условиями первого рода. ф Пример 4.б. Пусть:задано однородное волноззос уравнезше с краевыми условиями первого ро.за нзз =- зз-зз„„, О < л: < й 1 > О; (4.44) 233 и(0, ~) = О, и(1, 1) = О. ~ > 0; (4А5) л я(х. 0) =,р(х), и,(х; 0) = л;(х1, 0 < .т < й (4,46) С;плл*л!улла найдем 'ластнылл ]лен!ения урал!пения (4.44) вида :$ Х(х) Т(й), которые удовлетворяют краевым услоллиям (4А5). Если ":л подставить про!лзведенис Х(х) Т(й) в уравнение (4А1) и разделить '."$ Х„", (х) 7;,"(~)::4 лгго на лгХ(х) Т(~), то получим "' =-," =- — У, = — соня!.
От- Х (х) а.'Т Я с!ода лл из краевых условий (4.45) имеем задачу Штурма Х,", (х)+ хХ(х) = О,о < х < 1, (-„„)' 4 ,Л!лувллхлл!я ' с решением У „= — . '4 х(о) = о.х(~) = о 1 хв Х„(х) — — я!в ~ —.т . и = 1. 2. 3, ., и уравнепи!' второго порядка л,'(~)+ лл~У Т(~) =-О. оторое надо реша!ь при Х = У „. Его общее 1 решение (кпа 1 ('и!и! Т'„(!) - — — А„соя( — Й)+ Вл вли~ — Е, люз'!'Оыу Ос!пил!лил' в(х, !) исходной за/и*ш надо искать в вилш Постоянные А„и В,, можно найти из на плльных условий.
Для !того надо разложить заданныс па (О, !) функции р(х) и ь!(х) в ~вп ряды Фурье по спет! м! функций 1влп~ — х ~ на указанном отрезке: .!я=1., »( — '*) йле=й., ( — ' 2, 1 я!! 1 2 (яг! =--.!''-!л!'»( — ') ', =-Х !л!'»( — '!)л! Тогда из условия "!*' )=Ьа"т ( — ')= ! )=Е' '"( — "') получаем А,, = с„, а из условия ззаа (к7з, ) (яп (*,о!=Еа — ' ( — ')= ! )=з „( — ') ( получаем В„=- м„. Тем самым функциональный ряд и(х, Ц = ива, ('7!зн! ) ( . (х7за )) .
('хи -~('-( — ')" — ' хд( — ')'--( — ') -'--' '" л !ильч!ма!, рзззиг!ииеаи задачи (4А4) (4.46). Во!зрзкз о тоьз, в како~ смыс.зс востро! ииый 1зя;.! яв:зяется р!зшсци! ь! исходиой зада зи. требз ет отдельного рассмотрения. Кла! си !е! кое решение получим ззиизь ири иекото1зых доиолиительвых ц(а"дцоложззииях о функциях зз(х) и !.!(х), ° П~пйхиер 4.
7. Пус ! ь;задапо нсодзнз(зо !нос !ю ц!Ово!' ургзвиеии!' с к(жеаыыи у!'ло!зиями и!'1!во!'о 1зода иа — — ааи„, + ((х, (). 0 < х < (:, 1 > О, (4.17) и(0, 1) .==. О. и(Е. () == О. 1 > О, ( и(х, 0) = О, и,(х. 0) = О, 0 < х < У. (4АО) Решение задачи (4А7) - (4.49) можно искать в виде ряда Фу- 1х рьс ио системе гйп — х ~ !'; )= ЕГ. М'» (г ц;), (-!. 50) где кочффициенть! Фурье Т„(() подлежат оиргздс.иникь ~!тобз! найти их, подставим проза юлагасмый вид рс шенпя (4240) в урав(ха пение (4.-17), ра:зложив ((г, Е) в ряд Фурье но я(п~ — х тя (яа) ял ят! 2 Та(()вш —.г =- — и!~~ 7,', (1)~ — ~ вш —,т+ ~ ~/,, (()вш — х, ( мазза!=-7л и (" ): О!таза!а и из зшча;зьиых йс.ц»изй (4. 19) !0!и каждом а =- 1, '2. 3.... получаем для нахождения Т„(1) зада !у Еошгк 230 Т„(!)+ а- — Т„, (1).=- Д (!),! > О.
т„(о) = о.т„'(~1) = о. ° Зсыиечание 4.13. Решение задачи Коши ! 7" Я + а "л Т Я = 7(1), Х = сопай1 > О., Т(О) = О. Т'(0) = 0 имеет вид Т(Е) = — ~ вш(!о(У вЂ” т)17(т)пт, а (4.0!1) где ы =+ !!Ха. Действительно, Т(0) = О. Т~(1) = ~ сов~~ !(! — т))7'(т)!1т, поэтоа му Т'(11) = О., Т" (1) = — ! ~ в1н( !(1 — т)17'(т)дт+ 7'(1).
° О Решение задачи (4.47) (4.49) построено в виде ряда (4.50)., коэффициенты которого теперь извес гны! (е, !=й;,!С ( —" )= П=! тп — ~ аш[ы,„(1 — т)1Д, (т)!1т сйп — и = л ! л а (, 1 г — ~ вш~щ„(! — т)1 — "~ 1(с,,т)в!и — ~!1~ 4т в1п — ''х, и,.= ! " !л О 1 е !!и где „= а — ( !„имегот смысл собственных частот рассматри- 1 ваемой колебательной системы (4.47), (4.48)! ( !„1= — ).
Изменяя порядок инте! рировапвй и суммирования (эта операция. вообще говоря, требует обоснования), получим формальное решение задачи (4.47) — (4.49) в виде и(хЛ) = ~ ~ 6(х,с:! — т))'Я,т)!1~с1т, о а 2 1 . -п , тп где С(т„с:!) = — 2 — аш — лв1п — с,а1пь!„й яп„ !и 1 236 Функция С называется функцией Грина задачи (4.47) — (4,49), или функцией влияния, мгновенного точечного импульса. К этой функции приходим также, решая следующую задачу.
Задача 4.2. В момент времени ! = 0 конечная однородная струна 0 < х < ! с жестко закрепленными концаъси получает поперечный укол иголкой в точке хь 0 < хе < !., передаюший ей импульс 1 Начальное поперечное схсесцсние равно нулю. Начальная поперечная скорость струны в точках х ~ х„ равна нулю. Найдите поперечное смешение и(х, !) точек струны. ° Решение. Пусть р = сопв~ линейная плотность массы струны (масса, приходящаяся на единицу длины).
Тосда импульс элемента струны зх с координатой х в момс нт времени !. равен и,(х. !) рс(х. Суммарный импульс, переданный струне, ! = ~ и, (х.О)рс(х; надо только указать. что этот импульс сос рев доточен в точке хе; ии= аги„,,О<г< 1; !>О; и(0,. !) = О, и(!. !) = О. ! > 0; 1 и(т, 0) = О, и, (х.О) = — б(х — х„), О, х < !. р Здесь Ь(х — х,) — Ь-функссия, сосредоточенная в точке хв (см. и. 2.7.2). Наличие в условии задачи мгновенного точечного импульса требует понимать ее решение в смысле обобшенных функций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
