Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик - Уравнения математической физики (2010) (1127878), страница 54
Текст из файла (страница 54)
т;... другой канонический впд той же квадрати пшй форх(ы. Он полу к и иэ предыдущ(то действительиым лин(йпы ! Иевырождеяпым преобразованием независимых перемщшых. Е Определение П.2. Каиояи некий !зид квадрати шой формы с коэффициентами — 1,0. +1 называют се нормальным видом. Что общего у разных каио!Н(ческих видов, к которым приводится одна и та же квадра! и шая форма.' Для лкзбых двух се каношзческих Видов Г( (х) — — Ч(тз! +;т!.'", +... -1- -1 „„д„, =. О(:с; -~- д зй, +...
-! З„,.г;„эадакицие пх диагональные матрицы имекп одипаковыс ранги. Поэтому число ненулевых !левов во всех канонических видах ()(зд одинаково. Оно равно рангу матрицы квадратичной формы я назыма("т(я ранвом квадрапзнчноз( формы.! 1о этим не ис !ерпывается общность канопиче(ких !зидов одной и той л(е 1)(т). Теорема П.2 (закон инерции квадратичных форм). Прп лю- бОЗ! ПР(ОО1шэоваяив квад1за!Ниной фора!ы, СНР(д(леши!й па д(йсгвительном лицейпом простраистве, к каноническол(у !!яду число р положи!с,!Ьнь(х '!л(НОВ и '!ислО и.
От1зиця!ел! !Н1х члснОВ В канони'шскОм виде будут одиими и г(!вш же. (иффереиш!альпые уравиепия !з час!Ных произ!зо,шых второго порядка, линевные отнощпслыю старших производных, с действительнь!ми коэффиписитами можпо клвссифипировять и приводить к наинростейии;му ш!лу с помощью приведепия к каноническому виду отве !ающих им квадратичных форм. Приложение 5. Гиперповерхность в К". Гиперповерхио( ть (з К" зз(з обобщс(ше попятпя обычной поверх ности В К'. 1 1(эз!('11НОсть гипс11НОВО1зхпости НО Опрея('лс!НИО г*!Нтвстся ривнОН п,— В 11рпмером ! иперповерхногти являет( я гиперплоскос!пь.
Гиперплоскоггь В К' - з!о результат сдвига !и некоторый вектор хс лип(йпого подиро(трансизя Х с К" ра.ни рности и — 1, т.е. множество В К" вила хс я Ь. В частпогти. (пшсйшзе по,шрострапство 1, размерно("!и и — 1 (гиперподпро("тра!Впво) яв.ше(ся гиперплоскоггыо, прохо;рпцсй через 298 начало к<к<рдсн<ят. Мпожсс тссо в К" являетгя гиперплоскостью в том и только в тол< с лу шг. г< ли все с<го э:и менты х и К" удовлетворяют линейному 1)ранив<с<не Х(х) =- Ь = гсшя1. где Х - ненулевой линейнысс фд~к<Л<сонлл (Х и Ь оп)х и< лес<ы с точно<"с ыо до обюего нснулево< о множителя). Если и К" фиксирован некоторый базсш, и в этом базисе вектор х имеет коор,<пинты (.гь ....
х„), то ук<а<шшое уравнение ил<есч вид а,х, ж + ... + а„.х„-=. Ь. г сс пс все коэффипиенты а, равны нулкь В К' гиперплосксктькэ яв. Ьк'тес< с<к<бал прямая, в К' л!оная (двум<.)эпяя) плоское п . Гладков гннерноверхносгпь -. это гиперповерхносзь, в каждой пэчке которой можно провести касятс льную гиперплоскость, Прил<ар П.З. Глядкссс«ипсрповерхность в К яв.пнтся плоской кривой (бе< огобых точек).
Если в де карпнюй системс координат Охд опя задана уравнением з(х. У) = О. при п.м во с<<с<к ее точках ( з,)< -<- -<- (,з<)- ~ О, то в точке (з;,. Ув) мой кривой касательная к ней прямая удовлетворяет уравнс нию з,(х;< уе)(х — хй ч- л<(хс<. ус<)()« — де) = О. Вектор (ы,(аг )д<Д, „(л„г ус<) ) есть вектор норма, ш к данной кривой в точкс рй< уа) ° Прил<ар П.~.
1'.;<алка<< гипс)<поверки<кть в К (без оооо<,<х то шк) в системе координат Охддх может быль задана ураннгнисм л(х, д. х) — — О. где (и,)- -<- ( э)с + (,)' и О во всех ее <очках. В точке ЛХ«(х<„дс<, хс,.) этой поверхногги кясягс.п,няя к ш й п.кк кость удовлшворяст уравнению ы,(ЛХ)(г — .тв) + „(ЛХ,)(д — д„) + сс,(ЛХ«)(х — г<) = О. Вектор (<с (ЛХ), <(Ма).
ы,(ЛХ<Д) есть вектор нормали к данной поверхности в точке ЛХ<г ° Приложение 6. Первый интеграл системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Пусть в области П С К"'' изменения персмешсых (.г,, ., х„, !) дана шсспсма обыкновенных дифференциальных уравнений х< ас (<< < ~) (?!.3) х„=. <<„(хд....,х„,() <де все фупкнии а, б С'(ХЗ). Псрвьш интеграл спгтемы (Пмй) это равенство . (.гь ...,;г„, й) =- сопя<, )П.
1', справедливое вдоль кяж;юй интегральной кривой спс ими (П.З) в В, Здесь ы б < (Х)). Иногда пс рным интегралом назьпсанп <и' ршя исгво (П.4), а саму фу<<к<с<<с<< ы(хо ..., х,, Р). <охраняю<пую постоянное иш <ение вдоль каждой проходящей в ХЗ интстральпой кривой. И< рвьк* интегралы шс го псн ю< фп ига гкнй смысл. Пянрпхн р,,< ш ураип сшй движения механнческой свсгемы нервымя интегралами будут закон сохранения знергяя в закон сохранения импульса.
Странное название «первый интеграл» оста:юсь в математике с тех времен. ко~да вседяфференцяальные уравнения пытались решки, путем янтегрнровання; то, что сейчас называют решением, нменовалн тогда «янтегралои». Приложение 7. Некоторые функциональные пространства. Напомним, что С)а. 6) - обозначенне линейного бесконечномерного пространства функций Ях). непрерььв>ььь г»а отрезке а < х < Ь. с нормой Д = >г>ах 6! (х)]. Схо гимость в смысле этой нормы последовательности функций (7; )ь, яв.о>ется ее равномерной сходимостъю на отрезке а < х < Ь, Лналогнчный смысл имеет с>бозначенис С(>7), 77 С >и". Ес.ш Р— открытая область, то ! е С~Р) означает, что функция !непрерывн- аа во всех точках области Р.
° С") гь 6) — обозна >ение пространства >и 7>аз нснрерывно дифферен- цнруемыхнаотрезке а< г< Ьфункций!)х) снормой ]Я = ~ шах !6~(>г)(, , .чь Если Р - открытая область в К", то 7'е= С»')Р) означает. >то функция !от н независимых переменных т раз непрерывно днффереьщнруема в Р Запись ! й С"' (Р) означает, что все часгньн* нровзводные фушсння ! вплоть до ш-го порядка непрерывны в замкнутой области Р. Если требуется указать, что функция Ят. !) имеет в Р С В«ненрерьншые д ! д„!' производные —,, я —, то нингч ! е С ')Р). дт дЬ ° Х., )о, 6] -- пространство непрерывных на отрезке а < т < Ь функ- ций юг) )ве»ьествснно»начных нля комилекснозначных) с нормой ]>7г 2 Ь>> = /Д>)г>> ~,,~ >.я ,»ат » ° " .
.«:. ° », нь>. С. . г в смысле этой нормы последовательности фушкцнв Я ),, является сс сходимосгаью е среднем кеидратпнчеснол«на оц>езке в < т < Ь. Пространство ! [а,Ь] нс является полным; его ноно:шение обозначаю~ через Ци. 6). Элементами пространства Ца. 6) являн>тся функции 7, ь лля которьях сушсств7 ет ~ ] !(л)] «7т> в смысле Побега, Приложение 8. Признак Вейерштрасса. Напомним достаточное у«ловяе равномерной сходямоств функционально> о ряда. 300 Теорема П.З ?признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда).
Пусть все члены и„?М) функционального ряда ~'п„(31), й1 = >?1(ло ..., т>), определены на множестве »=> 77 с)к>. Если существует такой сходягнийся чигловой ряд ~,о„., что »=> .зля всех >очек 01 й 77 и для любого номера и, гправедливо неравенство ,'н„?М)~ '- а„, >о указанный функциональный ряд сходится раономсрао на множестве 77. Приложение 9. Поверхность Ляпунова о ~ й>. Это поверхность, обладакнцая достаточно хорошими свой> твамк гладкости, которые удобны при изу >енин потенциалов двойного слоя и простого слоя на Я.
Поверхность Я называется поверхностью, ?япунова. если она удовлетворяет следующим требованиям: 1) поверхность Я гладкая: в каждой гочке Р б и" су>пествуе> касательная п.их>кость. а следовательно, и нормаль пр ?да»ее все нормали считаем внешними, ~п ~ = 1):, 2) существует число г ) 0 ?одно и то же для всех почек Р Е о) такое.
что: ° до>я любой точки Р с о" часть л.х поверхности Я. лежащая в открытом шаре радиуса г с центром в Р. янляется связным множеством; ° каждая прямая. пара:шельная нормали п„, пересекает >:> не более чем в одной точке: 3) нормаль п„как функция точки Р удовлетворяет условик> Гельдера. т.е, сущее>вуют такие числа Л ) О и 0 < б < 1 ?одни и те >ке длЯ любых двУх точек Р, 0 .> Р> й 5). по ~г>н — пг ~ < А)Р !Ро Р> )1 ', где р(Рь Р,) - - расстояние между точками Р; и 1-',.
Иногда от > доно шнтельно гребу>от замкнутое> и и того. чтобы тс и. оный угол, под которым любая часть поверхности о" видна и.> произво;>аной гочки в Ж>, был равномерно огра>п>ч> н. Задачи гирях»е и Нейх>ана для уравнения Лапласа в области 77 С 1<> с > раницей 5 можно свести к интегральным уравнениям грредн>льма второго рода. В этом сведении супкствепнуи> роль играет предположение о '>ем, что Я является поверхностью Л>ц>унова. Аналоги*шо формулируется и определение кривой Ляпунова на плоскости. но теперь второе требование вытекает из первого и грстьего.
Приложение 10. Теоремы Фредгольма. Пусть Х консчномгрноеевклидово или упитарвое прогпронство; Т- действук>щий в Х линейный оп> ра гор: Т> - сопряженный оператор. Введем подгйюстранства КегТ =- ?т б Х 1л = О), НапТ = ?й с Х,'Зл, у = Тл) и Ксг Т', Кап Т". Справедливо с»едук>п!ее у >всрждепие. 30! Альтернатива Фредгольма. „'!ибо неоднородное у равнение Тр =- ! имеет. и притом единственное. решение нри лкйой правой ч»н ти 1 либо сопряженное однород1юе уравнение 'Г'Ое = О имеет ненулевое решение.
С точки зрения изучения систем линейных алгебраических уравнений эти теоремы означают следующее. Лля разрсш»ьмогти неоднородной системы г»ап»О!яниной жа»прццей необходимо и достаточно, чзх»бы ее правая часть была орз огональна ко всем решениям сопряженной одно!к»дней системы. Либо нехао»оро;пн»я система с квадратной»ц»т!>иней имеез, ц притом сдипшзи шюс, решешн при лк»бой праной чнгти. либо сопряженная однородная система имеет ненулевое решение.
В теории Ф!»едтльма пзу ин~тся ин пч рады»ые урашгшшя » ,р(!) — р ~ К(йт)з(т)г!т =-1(!). ,ре (!) — р ~ К(йт) "е(т)~1т =- О, (!1.5) (11.6) и (!) — р ) К(т,!)с;(т)(!т =- д(!), ~,'.е(!) — р ~ К(гу)ь е (т)»7т --. О. ГИ.7) (11. 8) Здесь и '.. ! < 6: р действительный параметр: К 1, д заданпьн дсйствнтельньц" функции:,р,,р„. СЬ йв искомьп функции. Если параметр р„заданные и искомые функции комцлекспы. то вместо (11.7) и (11.!1) рассматривают уравнения » » м(!) — й~ К(т Ь)р(т)»!т =. д(1), Ыв(!) — р ~ К(т !)уе(т)г!т =- О. Лаже будем с штать.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
