Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик - Уравнения математической физики (2010) (1127878), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Прп переходе от артонормированцого бгиэиса !. ь (с к другому ортонормированному базису )„зь, (с, символ T преобразуется как обы*гный вектор. а скалярное произведение векторов инвариантно относи- 293 тельно преобразований декартовых прямоугольных коордиивт, Поэто- му 11!ТА является инввриантом относительно таких преобразований: гели А =- Р(х, у» х)1+ б)(х» у. Х)5 + В(;г, )), х)1с = = Р1(21. У), Х1)1) 1 Се))(Х).
01» Х;)31 ) !Се(Х), у1, 1)1С), то в одной и той жс точке имеем Справедлива формула Остроградского: Щ)1!чА)!О = Л) (А,)т)с!Я. (П.1) о Здесь интеграл но Ь' представляет собой сумму инт)трао!ов цо всем сл)яи!ыь! компоце)пам границы области В. Этот иптеграл можно записать и виде повсрхностпого интеграла салорого роди по внеппи"й с)ОРОие ИОверхиОсти д; ф(А,п)о)д = Д Р)5удх+ 1)с(хс!х: -)- 1ес!хс5у» либо в виде инге! раза пере)е)го роди: Ц\А,п)с!У = Д (Р сов сх -~-1)с)ов5 т Вс)оо1)115, где с»» 3» -, . углы, которые составляет с ортами 1, 1. 1с вектор и в данной точке поверхности б). 2)14 дР с)Я сдй др, с)1;)) д!1, с1)чА — — т — ). — — —, т е дг ду дх дх, ду) дх, Д!)вергс еешя поля А имеет простой физег!вский смьн л: если считать.
что в пскоторой пространс:твециой области !) имеется гтациспириое те"и'иие' )ке!дкОсти» скОРОсть кОтОРОй в ка)кдой тО')ке' (х, у, х) 1л)вив, А(х, у, х), то сйчА представляет собой процзж)дительпость в точке (х. )1, х) непрерывно рас прсделепных по 1) исто шиков (или с)оков) этой жилкости. Условие 11)чА = 0 о шачает отсутствие исто люков илп стоков. Пугп, В огрщи)че)исая обласп в Охух, бып, можс). мцогоснязпая. Пусть кусо шо-гладкая поверхнос)ь Я является сс полной границей. Ьудс м гчитатеь "по Ь ориентирована с помощью поля едшшчных пормалей и.
ивправлсппых оо весим)осто области Рл Пусть с))уикции Р(;с» д» яй фх, у. х), Л(хс, у. х) пепрсрывны в )омкпутой области )) Ы д и ил!)чо! нспрсрыю)ыс частные производные первого порядка в (открытой) области !). Пусть сущее п)у)от интегралы по области !) от с)сех частных производных пс.рвого порядка функций Р, сг. Ро вооб!цг говоря. ис) обспеос оныс. 15екторпое посв А = (Р» ф Е7). В выбранной декартовой системе координат Ох?зх Щз(?тАУР =- Щ~ — и — -..
— ~ зйгз?у?к (др дО д?1) ~дх ду Формула (П. $) ззшисана в инвариантном ваде. Залэсчаз*ис П.Х. Интеграл по У в (П.1) называется потпоном вектора А черезз поверхность 5. Если интерззретировать А как скорость течения жидкости в области Р, то поток -- это количество жзздкости. пересекаюшей попе?зхность 5 в едзшипу времени (вызеказошей из Р, если и внзчшыя пормаль). ° Знлзечанззе П.2. Формула Остроградского лежит в основе. вывода первой, второй и грз гьсй формул Грина, из которых гледунп все зюновнз ззз своиства га?)монн'юскнх функций 7$зех пс?юзгез!ных, ° Градиюпиож дифференцирусмой скалярной функции и(М) (г квлярного полч) в точке М=- М(хо ..., х„) на зьцзвется такой зимзз?шьзй вектор $$з ж1и(М), ззо ока шрное произведение вектора йпи1и(ЛХ) и вектора прирашззний аргз ментов з?х = (з?х,....,з?х„,) знзляется ззиффгрснциалолз функции и в тзшкс М: (И З.З- (ЗЗЗ=(Зч З ЗМЗЙ $ (Ф7 ...
(ЛЗ*„)з)(ЗЗ2З ,(НзЗз -- з Зз',З' - з: зьЗззЗ- $~кьЗззЗа$. нкнз декартовой прямоугольной системе коордзшат Охдх да(х,у$х). да(х.д, ) . дн(г.у,х) йгаз?и(х,у,х) = зтзз(х.?ьх) = ' ' 1-$- $+ ' 1с дх ду дх (символическос умножение ззектора Зу ца сквляр и). Понятие «градиент скалярнзн.о поля», введенное по (?12). не зависит от выбора систелзы координат, з.е. является инвариантом скалярного поля. Если начало взз«ззз?за ?ззаз?зз(ЛХ) зюмззнгить в тзизку ЛХ. го та~~й из к зо$з ?зуде з указывазь направлеши напгкорейшш о роста функции и(М), которое оказывается ортогсишльпым поверхности уровня (или лзшии уровня) функпни и, п?зоходяззк*.й и$зззз нз зку ЛХ.
Теорема П..!. ?1роизводная от и в точке ЛХ по направлшзив с,шни*зпого вектора! равна проекции вектора йтззз?и(ЛХ) на это нвправзнзнис: ди(Ы) .=- (йгаз!и(М),!). д? Если в обзшсти Р с зз' вс кторнос по.н А(ЛХ) и гкачярное поле п(ЛХ) принадлежат О'(Р). то в Р возможны поапюрные. озгертзни: пм йгаз1и(ЛХ) '— О, з1Ь $?гас1зз(ЛХ). цгаз! с??з А(ЛХ), з??т го!А(ЛХ) ==- О, гос госА1ЛХ).
Операция ейт ягвс1 и( ЛХ) называется оператором 11вплас а: в декартовой прямоугольной с нсгс ме коор шна с Г)хд. 1и ортонормироввпвом базсн е 1. Л, 1с) сз а1 ЛЯ) .= <11т йгвс) и(ЛХ) = и,, + ин -' и,, Л1 =- ЛХ(х. у, х). Если АсЛХ) = 1Р[ЛХ), БАЛХ), ХЦЛХ)) в Охух, то гос госА(ЛХ) .=. =- йгас) с)1ь АсЛХ) — ЬА( ЛХ). гле сзАс ЛХ) =- 1сзр1ЛХ), сЛ Г21ЛХ). дВ(ЛХ) ). Приложение 3. Аналитическая функция. Аналитическая функция -- это функция, ссрелсзссвилссся степенным рядом.
Функция нескольких действительных независимых переменных и)хс..... х„) называется аналитической в точке (х'; „....г,', ). если в некоторой окрест нос"пс згой точки онв представляется в виде равно,перно сходящегсгся стессенссого рядн; ассхп.. х„) = С», (хс — х, 1 ...1х„— х„) Если это свойстссо имеет место , ( — )' ( — 1" ° ь по в каждой точке обласпс 11 с Я". то функция и пазывастся вннлптической в области О. Приложение 4. Квадратичные формы, их канонический вид. Закон инерции. Будехс рассматривать з и у кнк незивисимьн* перемспньн, пробы ающпе все, швейное пространство Ъ" пал полем дсйствптельньсх чисел 1с.
Введем отобрнжшше В: Ъ' х Ъ' 2. причем будем счптять. что знвченпя В(х: у) определяются только элемептамси л у и пе завислп от выборв базиса в Ъ'. Отображение В1:г; у) пазывакц билинейной. формой. ссгш при кажлом фиксированном д В(х; д) является линейной с)1ормой )блинейныхс функционалом) от х. а при каждом фиксиросзапнозс х — линейной формой от у. Если с)1спЮ =- и, ( зо и е =- (ес, ..., е„,) -- бяяк пространства эг.
то х=~ х,е,, у=-~ д,ес., н билинейная форма в бссисссс е имеет вид П П Р В1х;д).= В ~,г,е,:~ у ес~ ==~ Я,х.,усВГе,:ес) = ~Х,Я,а„,х,дс. -ссо Коэффициенты ос = В)сл е,) составляют мвтршр би:шпейной формы в овзнсе Поскольку ранг матрицы билинейной формы не зависгп от выбора базиса в пространстве зт. это число естественно назвать раином билинейной формы. Ьплинейпую форму называют симмегнричной, если для,любых х, у б хг В)сп д) = — В( д; .г), ХХример П.Х. В действительном с'вклидовом пространс тве скалярное произведение является спмхн три.шой билинейной формой. ° В базисе с коэффициенты билинейзазй формы а, =. В(е,: с!), поэтому матрица симме! ри шой билинейной формы симметрична: аа — — аг, для всех ! и Й. Замечание П.75 (о таормине «форма>). 11ногочлен И(х!..... х,,) пазьпзают однородным многочленом степени Й., если 6(охи ..,. <сх!„,) =с зз(х!......г„,).Наззрззх!ср,выражение х; г- !'з + хз ' х х! + х,хз - х,х« является однородным многочленом степени 2 относи гельно переменных х,, х!.,г!.
Если в прострюк тве Ъ' фиксирован базис, то линейный функшизпал 1(х) является о,!породным многочлепом первой степени относительно коорлишп з:к мои!он ха этом базисе. Олноролньи хшогочлены !'тепени У принято называть формами, степени Е При й = 1 получаем линейные формы, прп й = 2 — квалрати шые формы. ° 11уг гь В(х; у) . симметричная 6!шцнсйнаа форма, определенная на линейном пространстве Ъ'. Фуцкцикз (5(!г) —.- 55(л х) называют неадрагпично«1 формой.
определенной на Ъ'. Замечание П.4. 1(ы потребовали, побы В(.г; у) =- В(у: х). Это объя! ниется г:к,г! кяцнэп«оображепиями. Ес зи взят!, про!меол! !гук> бнли- 1 нгйную форму В(д у), то выражение — (В(г!зу) ч- В(у;х)) будет сихиме- 2 !игл!«но!!, опхмгиейигззз фориоп. Поло!низ! в нем у =,г, !О!да полуяви! 1 — (Б(ххх) и В5(.г:х))=- В(г:х). т.е. то же самое. как если бы в исходной 2 форме 15(х; у) мы положили у = х.
° Исходную спммегп1шчную бнлннейнук! форму В(х; у) называют полярно!1 лля квалрати*шой формы гз(х) —.-- В(х! х). Матрицей квадратичной формы, определенной на коцечномерном зпзнейном пространстве, называют матрицу ее по:зяриой билинейной формы. Определение П.1. Вил квалра гичной формы с диагональной матрицей называкп ! с каноничесхил! видом. К!и!они ич к!!!! ви ! квалратичной формы нс являе!ся однозначно опрелегинпым. Ес,ш в некотором базисе зшнейпого пространства Ъ' квадрап!*шея форма (З(х) имеет канонический вид, то переставляя элементы зп!го би.шса (т.е.
производя переиумерагпзк! независимых переменных), снова пгзлучим С~(х) в каноническом впле. Если 15(х) =- Хь! !! ! Х! г~ '.... '- Х„,х,',, то полагая х, = г! х,. х! =- о х, ..., х„, = == о„,,г„,. зме все ко.зффицпенты сц м О, полу шм другой канонический вил СЗ(х) = (Х!о )т ! -Г (Х. г!.,')т.,' 4-...-!-(Х„,аз~!,)г;„,' Пример П.и.
Итси Ц(х) =- з,х; —, -, хз! +... з- -!„,.г;„некоторый канонический вил квадрати шой формы. Предположим для простоты. 297 по-(, ) О,.... з„) О. ",,„, < О,.... ",„, „< О, з, „« — — О..., .. "(„.= О. Выб!Срез! новые переменные Я,.(,.1 < ! < рч - ) —. 1,.(,, р ч- 1 < ! ~ 11 + 71; :г,.р ! и ь1<!<ш. Тогда Гз(т) =- т(э +... -1-:г;, — т!. ! —... —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
