Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик - Уравнения математической физики (2010) (1127878), страница 19
Текст из файла (страница 19)
('Прйвс,(зц!Вьнь В '!й("!1Пн"Ги.,1:15! зй,(апи 12.10) ,".' 1). Док(з!)йгс.п с)!зо < > игествовйпи)1 кззйсси н(кого )я пн пия н)вершжт ооосповаиие коррскпюсгп пой задачи, В вада'и'12.10) 12).21) класси !О< кпм реш(шл(м является функция й1«. (1Е (,')ф )(з С'1'1(15 ). Необходимым условием его (ущ(- ( ! !)оваиия яв шеи я „.10) = „"11) = О, Й1етол ра ш( леиия 1ш1н мсвпых цнг!' ()Норма.)ыю(' )х'пн'пи(', ')!ОЙ зй„1йии В Ви. )е 0515(й Фурых В1«.!) =:-.
~~ б',с ' ' Вш (2.22) > с,, = >„-.— 1,,((ь!,)"'<)((. й 11ока)ке. !то 12.22) является к, ш<типеским решением зада ш 1').10) 12.21), ес.зи функция ". удовлст!зоряст определсппым усз!о!)иял!..Ллз! згого спа !ала папомш!м и(которьц", факлы и.! 1< ории фуикциоцйльпых рядов и и з теории рядов Фурь( . 2') ') 1) ) с )(„=- — ~ и~(Ц$((,, А„=-- — ~ !В(г)гой( — 5~(~1~„ ! В ~,3„фя (' 11(3!с Е! Ин функции ю( г) зя !Вня н и!о 3трируемя ня 3лр$ зкс 0 <:! <. !. !ОИ1 н)м 23~(0) = 2$~(1) .=. О. )о 3)1 можно рйвложпть в 05)д Фуры; )и) ' )си сисгемс 3вш~ —.г,3!.=1.2....
ИВО <:г< 1. Свйвьвтогоряпдоже! нин с рйв.юж$ н)$см но Оон(1)й григоноые) р)1 щекой сне!ем! можно полу )и ! ы ес ш функ3шю и (т) н$" и пп 3м обрй юм продолжить ня — 1 в т 'г 1. Теорема 2.8. Пус"п функции и;(.г) ня отре)к! О <:г < (име- 3'Г !Н'3301'РЫВН)'Ю Ш-Н) НРО3!')ВОДНУК) Н К" СО'О)О-1Н'ПРЕ;)ЫВН)'Ю 1 — ю прои)йо)п1)'В), нрп'и'м 2с (О) = и!' (!): О;(:)и В1ек лнх 2, О < 3, < ш. рог,!й р)3,1 Фур! е ф\'3!кции 3и(,!) ИО сист1ь!е 1вш ~ —,г), н = 1.2.... ( ня 0 < .г < 1 можно т, рьи) дифферонциро.....( В 1)Ь НО'1.И;ПНО. 2.4.2.
Существование классического решения Теорема 2.9. Пусть функции,„- —. С(о ) имеет в Л кусоннопенрсрывну1о производную и ))(О) = зз(1) = О. Тог,(й существу!'г к.) ". 1с« *(ени»н з .1 (2.1Ж (2.21). «,щ,г (2.22) с ковффицнюмями (2.2(1). (10 Теорема 2.7. Пусггь функцн)! 23)(т) н В11 е1 нроизводпьн. вплоть до порядка )и >! непрерывны ня отрс )ке — 1< .33 < 1и удов)н"пюрнют ус;кн)инм и)(--1) == и(!), ш'(--1) =- и '(1), ..., 33)!"")(--1) =. —.— и'""(!). кроче )ого, пусть и'(:с) име1'т !ш — ! <,г < ! кусо")по- н$И)рерывную прои)водну)о )н)рядки т -3- 1.
Тог:(я ри;1 Фурье функции и ( г) )ю общей тригоноии три н)ской систем! можно )й Рй'3 ДИф1))ЕР$ )Щ!Ц)ОВЯП ПО 1, и и!30 Нй — ! 3! .-. !. Д$)квин!3)мьн)ПВОООПОВВИО $1я '!Ом. ч!0 в ъс, ЮВи5!х 'Ге 03'мы нри ц):юм !и ий О $$хо)!итси нис:!оной рид 2 21"" ((А„(+(В„(), где Л,, н и ! В,, 31$)йффиц))е)г)ы Фурье (2.2-1). Этот факт доказывается в курсе мйтемйтп'и!кого й)$й.)н)й (! О. г)1, 10. ~ ~-1(. ° (2.26) 1,)е и„(г.1)=С,е ' ' аш — х. 'Гйк кйк срункция ))(х! Нс)О)11и!И)ш нй огре)к)1 О, то Онйог1жнп ива: ~ .ОГ1! < О, .г с= 1),)де 11 = — соня! > О, то) да 2 )) Л (С'„) == — ~ х)(1,)в!и — 1,й, с 2Л.
1 ! При 1. > 11) д) и„ д.г' ) )х))) Г СО)1, ! д1 91 Докс!)11)г)сх!ьсп)сво, Очевидно. по при .г =- О и:1: = I ряд )2.22'! ) . ювлетво1»)с) к1)ья)вых! условия )1 (2.20). П1)и 1 '= О 1)яд ')2.221 Явс)яс'тг я 1)яде)1 Ч)у1)ьс' 11)ункцни ~ С х) по ) и, ))!) (гй / — ': ~~~ »» ')Иск )). Н . .)1О1О 1)яг!а к х)1у) в кйждОй '1О'!кс) ОТ1)евкй. ПадО,юк)КРН1, '1)О счгмма ряда (2.22') непрерывна в с1г, что в Цт ряд ~2.221 можно но ьнян!о дифференцировать но 1 и два р;шй но г, и )то в 1!) сто ! умма удовлетворш)т уравнению (2.19).
Ряд с'2.22) н1я) 1 > О х))окс)рнр))тся сходя)цпмся рядом ) /1'„/ 1в теореме 2.7 )а =- О п все А„=. О: Л, =- 1,"„. ст)ш функцшо,". Иродол)ки!ь нечс) но). ПО И1)и.л1йку Пспс1я!ГГ1)?Исй с1)ункциОнй. и ньп! ря,! ,'' .2 1 сходится 1)асио )И1У))о в !ймкн)тОЙ ск)лас! и С2), й с1О с) м;1й :н)лается ис:))р)1)1)в))сс)12 фупкцией в чтой )ймкпутой облйспи. При 1 == О р)ц (2.22) схо)н! ! ся к рС.ГО) в каждой го )ке,) Е 12, й ч !да!п ив формулой (2.221 функция и~х, 1) удовлетворшгг условшо ~2.211.
Докажс м, что Лля л!Оск)го 1в > О прн 1 > 1„рашшмерно сходя)- ся фупкцпонйльные ряды ~2.25') д2'" да, (.Г,1) д1 Дсся функциоийльпых рядов (2.2б) и (2.26) мйжорйцт йыс рялы имесот вил 2 6„=) ~ ~)ус!-с ' ' . 6„> О„слс Ю пскоторйя ) ,( та) копстйптй.равная 2К! — ! дсяря,сй(2.29) иравная 2К~ — ~ .сдя (13 '' '' ' ' (13 '' ряда (2 26). Сходимос ть мйжорйп пюго ряса с ледует и ! признакйДйсййсберси 1«п "' =. 1пп ~ ' ~ е ' ' ' ==О. Ря.сы(2.25) ь„ и (2.26) сжшятся рйипомерпо и. с.«;ловйтслыю. ряд (2.22) можпо ,сиффсреицировйгь поч.!сино в 1сг. В сп.су обс!бисецисз! о прп«ципй суп! рпслиппп фу«кипя сс('.г. 1).
прслстйвимйя рядом (2.22) с ко>ффициептймп (2.23). является к:сйсс и !секим рсп«цпсм ий сй.и ио-крйевой,сйдй си (2.19) (2.21). ° Заме синие 2.16. В условиях докйзшшой теоремы класси !секо!. решепис задачи (2.19) (2.21) сушес"и!уст при О < 1 < +х и бесиос!с сисе с1ссфс(ссрссссс1сс1)ус!с!о сю 1 и по:! в 0 прп О ч 1 ( +х-, (до к йж пте! ) . ° Замечание 2.17. '.)(ожпо рйсширспь кгист рс пвиш, ес:ш допускать в (2.21) кйсйчисювс1кръссасыс функции (т) с кус очпопепрерьпяиой производпой.
В ьпом слу и««остр!)ссшос мс толом рйсцсх«пия !«ремешсых рспсссп«и(г. 11 бу,«т при 1 — О+ «с прсрывио примыкать к функции .р(:г) в гочкйх ее пспрс рывпости, и в кйждой '!очке а, рйз1зыйй !«!Всю! о родй с))1 цкции,;., 0 С,с;) ( 1 !! .(.:„л)=: — (-(9, — О)- (тй+О)) ° в ' 2 2.5. Задача Коши для уравнения теплопроводности, единственность ее решения Вйдй ш Ко!пи для урйвпепия теп.юпроводиости прслстйв, иет с обой мйгшсйтичс скуй! х)о,«.и, р)сс ирис!рви)зияя !си.ип ы в црострйистве при условии, по вск),су извсстйй техп«рйтурй в сш'сйльйый момспт в1эссмспи 1 = О.
Урйй!«',«ис' '!с'и, юиройод!«)с!и ято дифферецпийльиое урйв!«ш«. !лоро! и порядка. и сй,цлй Коши д.ся него можст со.!с рж лс,псй пй сй, ц,иых ус. ювия. ио по- 92 скольку для зтого урйвиеггия гииерпойеркиогть ! = 0 !и!г!яется дт!рйл !йер!!гт икай. следует задйвагь гщпп одно иа !йлыюе условиг! (ст!. п.
1.3): .0 == У!", Ц:= ((ЛУ, г) ~М б,к'. О < ! < + х.). Зад!!'!й Кои!и со!'Гоит в ийхож !опии !)эуикции в(Л!. г). у„!целе!воряющей условиям и, =- а-ыи. М б .'Ж'~. О < ! < л-х,. (2.27) а(М. О) = ФЛХ). М Е Б:3. (2.28) Определение 2.4. Классическим решением задачи Коши для урйвп! иия ггп.:юпроводпос!п ца !ывйется функция в(М,!) е С(г,!),С"! (Е, удовлетворя««пав уравиеии!о (2.27) в О и иачйльиоиу у!ловшо (2.28) при ! =- 0 в! юду в Ж'. Нетру,гио проверить. по если р(М) иепрерьппгая и ограиипевнпй ф!!икцпй, то функция !г(Л7. !) = ! ~ ~ ~ с '"';.
(~. тр ь) д~!О!!д<,. !2а Я~ ) М= М(д д. =), яв:гщ !.ся к:!йеси и скин регпщщг!и:!йдйчи Кои!и, сараи!тчеищам в Я~. Н п. 2.6 даииый факт будет дггказан д.!я случая одпой иро!трйисття иной персис~вой:! -' Ж', общий случай М б Я' !тик !оги'и'и. Возиикае! вопрос о с.ип!егвщщости репи.'ипя зтой за,щ'щ. Теорема 2л10. 'За гйчй (2.27). (2.28) мож!'! имсп только одно и.!атическос р!"и!сиие. вара!и!чюгиое в облаг !и С~. ° Замечание 2.18.
В зтой теореме су!псствсниым является '! рсбовапгн о!'рапи'илщос ги искомой функции во всей об.!ас ги г',!. Оио кйк рйз и !гв гяс ! гз! ус:ювием ..го! тато гвым для еди~сп«и!«>!гы! рги!и'ии!! за!!а'и! (2.27!с (2.2с). ° Замечиьиие 2 19. Нспо! рсдств! пио весно гь !овй ! ься ирпипп«ом мйксимймй д!я в>ка! ы! льствй згой! т! примы !и.
и, и!, тйк кйк О.= л' исограпи гещио! огьпгсть. ° Д !я проспи ы оооппйчс!щГ! ггг!кй4а!с!ьсгво теор! мы сдипсг!«и- ности проведем для слу !ая. когда .,"(М) ис зависит от р и в (а, следовательно, и и(Л1, 1) пе анписит от й и х). т.с, .«ок»жем г«орсму е «ип«ч псппо!"«и рп)о)пия када и! Коп«п п» прямой: Я!) =- (),:к,. 1)[.г е к~, О < 1 < — эс). 1,) =-- ф.г, «)[.г е) )к),0 .- к <+."с).
из =- к!к!к„. (:г, К) -: 12. к)2.2!)( «к(.г. О) =:- зз(;г).,к й К!. (2,30) и куществует К = с!»«я1 гак»я, по и,',:г, К)~ < К, («,К) О 12. "кк)ккк,)!!тел! ггг)гзк) пгеорсжм 2.10. Предположим. гго существуиг! дпа о! рапи п)ппых рклпеп««я о,( !. К), ! — — 1. 2, к!лорьн! у;«оп. и'!- поря!от задач! (2.20). (2.30). Ввел! м функцию г(х, 1) = и,«х. к) — ио(:г. 1). В силу ли)в)йпокти:задачи (2.29,', «2.30! фуше«ия е«х. 0 будет у!опон тяорять однородной заде и.
Коп«п: к 2.31) и,=-аи,„,(х.ЦЕ «„). о(:г, 0) — — О. х е зс!. (2.32) Условие ограпичеяпокти для функций кк)(х., г) и а,(х. П даст ус.)опи! о! Ош«и и ппокта д !я фуикцпи о(х. ~!)(.к«1)[ = [о,(х. Р) — «кз(кг. «)[ < 'о,(х, к)[ + ,'из('.г. 1)[ < 2К. г,«! п,(х. 1)~ < К. ,'из(х, !)[ < Л. Таким образом, функция и(з«к) яи.,)яктся решением з»д» «и (2 31),«2 32) и о«р»пп »па и области 1). Покажем. по г(з. 1) =. О, (х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
