Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик - Уравнения математической физики (2010) (1127878), страница 16
Текст из файла (страница 16)
6 2.2.3. Теоремы сравнения Теорема 2.3. 1(угг! фуикиии и(ЛХ. !). ! =-: 1, 2. удов:«твор>иот одиородиому !рйвиеииго ге«лги!роводиостп и, =. и-.Ь«в Ог. ис- !0)ерывиы в Хт! и у,к>вг!ство(»!гв! уг.!ойпям и!(ЛХ, О) вг(ЛХ. 0). ЛХ Е 13 и и ( Р 1) > и (Х', С). Р Е 'х Е Е )О. Х). )оггй! и!(ЛХ 1) > и!(ЛХ 1) !и! в! ех то !кйх зймкигг! о! о»ци!ии!г!Ой Хх! . Дока!Йп(О игтао. Ввг том фуикшпо г(ЛХ. 1) = >(!( ЛХ. 1) — В,( М 1). !Г(( ы фуикция г(И.1) ~'О. в иро!Пвиох! Ол '!Й(1 ("Гв(р.к,(опи( Г(Ор(мы О'квид1к>. Гак кйк урйви(иио Й, == (1)(Й!1.!и1ипп>О и Одпоро.
(По., то липойийя комбинация рсш«иий .Гакж(' бу,(гт ргш«ии('м ВГОГО урви>и'иия. С)1«ПОВВГ(.ии>О. ф> икиия !(ЛХ. 1) явл>кт(яр«Пипи(!! урйвпепия «, =- а Л г и г(М.1) б С'(771 ). !. (х фуикппя г(ЛХ, 1) к. Пи«и !«гко« 1п шгиио урави( иия г, =- а-Ь г. и Выполигиы и( равоигтва г(И.О) > 0.М б 7), и г(7', 1),=' О, Р» 1>.
1 Е )О, 7). Г!!я функции г(Я. 1) выло ш>кт(я приицш! мшшмума, Сб!«1!и!П>п, и ио. г(ЛХ, 1) > ) О. (И.1) Е О!., и п,( У. 1) ) (ь)(ЛХ. 1]. (М,1) Е ф.. ° Теорема 2.4. 1!усть функции и>(М. 1). !' ==- 1. 2. уиовлогворяют опиоро.(иому урави('.Иию пвшопровоиио(ти и, == (1-Ь!1 в 12;, и( ирерьп)пы В ()! и у,.(ов. и'пюряют условиям ! и((М. 0) — !!>(ЛХ, 0)1 = =. ЛХ е 7). и ~((((Р, Π— и (Р. 1), .:- =-. Р б .Ь'. 1 Е )О. Х). ТоГДЙ ! >1,(И. 1)— — а,(ЛХ. 1)! < =.
Во вг«х т(шках.>амкиттого Пилиипра 77!. 2.2.4. Единственность решения первой начально- краевой задачи П«1>впя иа !Йльио-крагвш! Йа,ш !а;шя уравп«пия т«илоирово- .И1О(ГИ ( Ог)О(п' В (шх(ьк>к>!ии (1>упкцпи а(и, 1), '>Г[ОВ н> Поря!Опии «. ю,1ующпм Гробовапиям: и, ---- а ь1( .ь Х( м. 1), ( 17. 1) б 7,). — -(М). М " 71. (2.6) 1(Р, 1):--- 11(Х>, 1). 7> Е Я, 1 Е (О, +х,'~). 1)) =.
1)1, = 7.) х (О. -«=<). (2.() Дока)ап!В>1! ()и!Во. Г'ас(мотрим три функции: г,(ЛХ. 1) =- =. — =. !>)(ЛХ. 1) ==;: и г>(М, 1) = и>(И. 1) — Й„1ЛХ, 1). В(г ())уикцип (ь('ЛХ, 1). !, '= !. 2, 1. упов.и творякп урави( иию !'1 = Й>Ь!>, Прииагь , к>жй( к)!ассу и(пр(Г)ывпых фуикпий ( ((>)! ) и ! ПОВ:и'ГВОряюГ у(.!овнам г (ЛХ, О) < г)(ЛХ. О) < г (ЛХ. О), ЛХ Е 7), и г (Р, 1) < г)(Р. Ц < г>(Р.
1). Р» .(), 1 —; )(). 1). 11! Принципов максимума и мииимума сл(ьо(т г(ЛХ. 1) ' (0(ЛХ. 1) < В(ЛХ. 1), (Л7,1) (= 111. ° Тео(эеыа 2.6. Задача (2.6) (2.7) может икпг! ь только о;шо к, ип'си'<[свое (эс)и<)пие. .Хан<))<гтг)е,<ьс)лио. 1оиустим, 'пО сии[< ствук)1' дв<' фспкцип и(ЛХ. (). г =- 1, 2.
являющиеся к„и<си и<кими р< пи пиямп задачи (2 6), (2.6), (2 71.115л [ь Т> О. Фуикппп и) (М.1) 6 6 ~ф ) С ' ([„г! ), г =- 1, 2. Тогда функция г(М. 1) = гг)(Л|, Π— п.,()М, () являетоя классическим решением задачи — <ггЛ ь[ (М О е:. Я'! ° с(М. О) =. О. ЛХ 6 О. <(Х. 1) = О. Р,=- 6,1::!О. 7) .=Сф,). Дг[я функции я(ЛХ. () <праве, [ливы пршп[ипы максимума и мипиму: и (для функций и)(М. (). г — -= 1, 2.
Ирицпипы максимума и минимума )и применимы, так кяк опи у,иьвлствор)пот иеодпоООСИ[Оыу уряви<'пи<О). О„ич[ОИИ<<ч)ьш). я(М. 1) удивя<к!'щ)р5н)! принципу чксг[х'мума: О Х я(ЛХ. () < О, т. с. С< ЛХ, !) = О. И 2.2.5. Устойчивость решения первой начально-краевой задачи И! Ирипципя максимума (при .Ио6ом Т > О) !аква <сии[уст ! < О(к)ма. Теорема 2.6. Е:циси и<"кос р< ш< пп< )ядя ш <<2.6)).
<2.6), 2.7! устойчиво по пячя.и,пым и ! рашг)иым [шпп <м. ~<)ъя,<<ил< лью!)Оо. 1!у<"<ь <1)уикпип <г,', ЛХ, 1). ! -.= 1, 2. являю)ся рсшеииями .<яда ! и. —: <<г<Х<г -ь Х(ЛХ, /). !'М, () —: Хгг. гг([Х.О) . р, (М).ЛХ с Х1. я( ('. 1): = р,(Х). ОИ Х) 6 .')'. 1 [= (О. 7). г, = 1. 2.
11рс,[по <ожпм., 'и' чр)(г[Х) "',(ЛХ)' ,< с. Л( с Х), и )0<[1. !) - (! (ХЛ ()' ( .:, Р 6 .<)', 1 С (О. 7). 11)[[О,.'<Окяг)г)м,. )<о ,'гг<(ЛХ. Ц - и г М г)' ,' с л ш в«к (Л(д) С ф . 1)ас< мо! рим фу! Икш)ю я( М 0 -.: л,(г[Х. I! и (ЛХ. !). кОГОряя 5<в.пи)<5! О<пи'писк! ')я.[я'и! <', .-- а' '.)я. <ЛХ, (! < 6[г.
71 1,(,ух 0) —,„-, ~,ух) ...,)д(),)х е х) Я) Р. 1) == р,(Р, 1) — р.,( Р. 1). Р с- .()'. 1 Е ))О. Т() 1»к к»к функция е[ЙХ.!) в )рйнп шых и нвнйльных то )кйх у;)овле5пзор)п г условиям ! Г 1г11 О)! < =-, ЛХ Е ХХ. и . Г) Р, 1) , '< =. Р Е 6. 1 с2 =: )О. Х). то ин теоремы 2.-1 с.п,!уст, ио (1,11. 1) с =. 1:ОХ,1) Е 111. В З(з.(неча)сие 2.11..')1огкпо р лнь)мн )51 нез)квин»лен)нымн) ) (')пи Оп»ми оц( цнвя)ь в( ли'!Ин)' и ! К„)он(!ни й О,)ИОЙ ф) нкцни о),й)УГОЙ. В георехп 2.16ыло,)О)з)хз(зио, 'посг )и пп(х(,:)1 Ц) — " )11)) ': е Н..!) ' 11, 1)х ~).1,(Р.1) — р (р.11 '-е.
! И1 .. ',).'М4- 1)~ЛХ.1))!<е. 1(х((-!()1' ' ' (и)ХО ' Выбор мяк( пмумй )(Одуля разности двух и( нрсрьпзных функций в кя и(-)в( 1И;1н н)нь! Их О)клО!и ния,)ру) ОГ з)рз ! й входит. ИО гуппству. в по(тяйовку и(хозпюи 511,)я)и. Тико!з выбор являеп я ('('тес"пгенным для явля*! г к(!йгси'и'('кими )м'нк'.нпямп. ° Замечание 2.12. Е)ппси иск(х" решшпп! )вдй*ш )2.6)) )2 7) ) (той )нво и )ю о)ноппипю к в(пму)пе!и!ям ф)лп(цизз 1,'.Ц. 1) в 12.»').
3 и) г. П,)уи) и з порем. о!)ре,п.п иным образом обо6!цяк)ишх принципы мяк('пмумй и минимум» нй слунйй ш олпоро;нп)го рйвшзп)я (2 6)). )1!Гпосрг,)гт !5()пно йй с.(унйй 12.6)) .п)кй п)нные принципы мйкгимумя н мишзму:ш и(' переношпся!1 И 2.3.
Построение решений начально-краевых задач для уравнения теплопроводности методом разделения переменных 2.3.1. Редукция начально-краевых задач : 1()О )по(тро( ння )х ни ний, кот((р)п) 6),пт 1)я((мо!р( н. Ий)я: Ггя )п сьхз)О6нн)хк Он прим( нпм )п.' зо.)ько к зя;)й 1»х).).)я ) рйв'и'ния )ен,)онровод)п)с)и. 11:и'1О хп'1О„1й и фо)И1)' ко!и')р)'ир*т)п)- ршпсния обшп.ппм нй прим( р( зядя (н,)...ш урн»пения теи.!О- "ршю,)погпз)ш оцх'зке 0 '= .Г -'' 1 110(!)к;п) п м )п)х птн к ийп)ж(нпю хп'(О1» рйзп:инни !и-,"х)и'нных. 5»хп'(нм. 'Г)О зй:ш'1)' ОГ!юсиГ(хп !ю ф) нкции 1»,.1; 1),5.)я Г нл-од»шродиогк! !«1!ав»<е»и<а теплопроводности < не»<!«г»св<!.,«<г краевыми ус!<опиями в<ожив '!ам<'ни<! на Лве оол« »ц»осгьн' зада'<и.
Де<я чтого прежде всего необходимо вьп»огп»и! ь замену искомой функции и(:г. 1) = ебг. «) + Г(х, 1), ! д<' Г(х, 1) нодбира<пгся удои:ктворяш»ц<й:<а,<»ипп»м пев<л<вым кра<вым ус.!опиям (гакуш фувкгппо 12можно выбрать многими способами). Тогда дгш новой искомой фчнкцпи и(х. 1) крае»зые условия бу От пчлевь»хп!. П<тт»ы например. дана зала ш и, = и и,„.
-»- «(:г.1),0 < х < 1. «> О. и(х,0) = ф(х).0 <:г.- 1. <<(О «) == р, («). и (11) = р», («), «О, „'. (0) = р, (О).,: (1) = р, (О). Выполним замену искомой функции: и,(х,«) = и(х.«)-»- — (р, (1) — р, (1))+ р, («). То»да опю< птелы<о и(х, «) по.»у шм шдачу ви;га <!» = и-'<»,„~; «(х, 1), 0 <;г < 1, 1 > О. <»( г, О) = 'р (<г), О < х < 1, г (О. «,) = О, г (1, «) =- О. 1 > О. (2.8) Реп»ение задачи (2.«<) можно представить суммой решений г<вух:<алач: е, = а-'и„,О < х <1,«> О, ( . 0) = . (х) 0 < г < 1. в (О, «) =- О, и (1.
1) = О. «> О. (2 21) и ., =,-' „+1(.ь«),0<и<1,1>0. :(:,О)=О.О< и<1, а (О, «) .= О., а(1, «) =: 0,1 > О. (2,10) Такое упрощение исходной зада ш осповано па ее лпяейио<апи относительно искомой фуякпии и[х, «). Задача 2,1. Выполните описаппое упрощение исходпой <влачи д:ш с!<< *<и< и дру! их комов»ацпй кра<.ш »х ус:<опий и< риего и или вп)рого рода при х = 0 и х = й Ишиге функции> с)(х. 1), .!инейпук) по х, или в !зиде многочлена второй степени относигельно т.
° Будем теперь вместо задач общего вц,ш растматривать чада ш кида (2.9) и (2.10). 2.3.2. Метод разделения переменных в задачах для однородного уравнения .')1('3'ОЛ 1)ее!1[С!ИЗНИЯ ПЕР('М('ННЫХ Я!5:(Я(ТГСЯ О;[НИМ ИО ОСНОВНЫХ методов построения решений линейных начально-краевых задач [.!я уравнений в частных производных. Идея метода состоит в (ом, что нетривиальные частныс решения данного уравнения с !КЗ3813исимыми п(зрсх!снпыми х и 1 ищут('я В Вигзе 1ц)ОичВсденпя Х(х) Т(1).
где Х:зависит только от х. а Т "только от 1. Это свод!и шдачу д.ш уравнения в час тцых производных к некоторой совокушюсти задач для обыкновенных ди()>ферспцнальных уравнен ий!. Решим методом разделения переменных первую краевую:за.Шчу для уравнения тсплопроводности: ги = а,"!1 .. 0 < х < 1. 1 > 0: а(0, 1) = [), и(г, 1) =- О. 1 > 0; и(х. О) = з".(х), О < х < й Сначала найдем часгнь!е решсния уравнения вида Х(х) Т(1), которые удо!)г!ст!)о!)я!От кра( вым условиям. Если подставить !!роп зведение Х(х) Т(1) в уравнение и разде)п(ть его на сгХ(х) Г(1), (и получим 1)авенс1ВО Л'„',, (х) 7 (1) Х(.г) а'Г(!) (шзая п[сть которОГО зависит то.[ькО От х, я Н1)(з!з(пз . тол! кО От 1.
Поскольку х и 1 являк)т(.я независимы ми переменными, равен- ("!ВО ВОзмОжнО зоз!ько ((лп Оос сы! !а(ти [)а!)н[! Но(тоиппОЙ. [)ОО'значнх! Вту д()Йствит(х1ьнз'ю НОстОянпую '1с])()3 ( — х) и 'запишс м г,[сшьно,[ва уравнения относите.!ьпо Х(х) и Т(1); Х,", (х) + У,Х (:г) == О, Т('(1) -!. Вз;з Т (1) = О. 77 11одс!йвим ттйирь прои !вели цие Лбг) У(1) в крйевьи условия и вспомним.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
