Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик - Уравнения математической физики (2010) (1127878), страница 10
Текст из файла (страница 10)
1.3.1. Задача Коши Рассмотрим доиолшпельиь«условия одного гцециа. п,пого. цо вееьма об)ц<)го вида и, ш уравнения <Эи! «! = Фи. — - — — Ф<. <Э(~ ( ).36) Прил<ер 1.13.,4ля ура«некии «опере шых колебаний «руиы опю<ительио фу«киви и(х.г) роль" меж< т игр;пь. «анри)«)р. огре )ок О Э <г < ! оси !Эг «ли вгя ось <Эх в фикеироввииы<! м<а«<п в1«'и< ии l<).
)«:и)ви< и(.<и<)! -.= Ф„ои)а и«'т. <и) и мом< от вр<- 16 а, (го.....г„)и, „+ 1 (х<,.....г,, и,и„,и,. ).=. О (1.33) ) (в<е ко-)ффицишпы аи и фУик<цш Гз)«<ъ иецРеРывиы, и вгюдУ и,, (х, .......г„) ~ О, и .=-. и(:<е ...,;<'„) ) . !! у< "гь в цроетраи<"п)е хй" <«'р<'м<ииых .г<, ...„7',, (и ь !) <))ик<'кровава ив«о<орви !'ла,<кая , <ау<"го!х)«и я« а« << ей))<)ве!)х)и)< и)<~,, б)<') еамо<«р«<-«)ций, и в хиж.<ой ее то иц иаиравлеии«,(х<, ....
х:„), )«: киг<тгелыио< к -;; 'С,~ = .=- 1. 11а пи«)риоверх)«)ети -, .)«дадим дважды неир< рывио ги«))- фереицпруемук) функцию Фи(хе ..., х„,) и пецрерывво лиффереццируему<о фуикцик) Ф;<'<ге .... х„). Задача Лоихьи) в и:<иоетороиией или в двуеторои<«й гжрегтиоети гиперноверхиогти" найти реив )ии) и(хе .,,, х„) уравиеиия (1.35). у.<овлетворя)ел<ее дополните;<ыц <ы ив'ш. гы< вы< ) е.,«н)иям )«ин 1и и вестпо по!«р("!нос смещш(и( ("груны: и(:Сь 1„) = Фй(я) на 1кя(анной (асти осп Ог.
Если в пространстве ))с~)«р( мениых т. 1 вс)олу на ны6ряшпий " (а,)ать иапряи.« шп с, вдоси оси О! в гтоди рону ро()га(, то условие — = (у! он(аиает. по наука!анной Й; 'нп'ти Оси От и;5(и'ипш (' кОрОсть НОИ(гречноГО;1нижш1ия струны: ди — .-. Ф, (г1. Олс.(уе г растмо греч ь вопрос и ио (можно("! и пад1, хождения ко.,«)оаипй струны. нйпримср, ирп 1 > 1„, в одн(х'гороиней окр(стности - в просзряи( пп гс пер( мениых,!х 1. ° Пргииер 1.1~,1.,!я урявн(и!ия .!аиласа, оиисывагощего иогенция.! и(Рй 71. 2) скОрО(ти тс! «ния не(жимаемОЙ я(и,(ХОс"1И.
в (.й и ст!и: -:, мо7к!Го выбра)ь, иаи))5!ки)р, координ пи) го плоск(хть Оп) и ирямоупхзьной системе Оауе. Условие и(.г,у. -)! =- Фя ~5(: 7«: ()'Рн)5'!ае!з '11О ири = =" () и'515('(ТН11 '(ия'1(ния ИОГ('нцпя:1а: и(.Г. у. ()) ..— Ф()(;г. у). Ес)ш в прог)ряш-!ьп Ьх игрек«)нных.г, у, ян(кь(у ня -,ш,(ять пш(рйвлепие 6,, совпа.1якиц( е ( направлением оси Ог. го дг,(,,1,41 5 ГЛОНП(' -= Ф, О)иа)я('1. н!О ия Осу и)в(сгиа С)(; .5ор)1)ьзьийя к г)ой иож р)о«х ти ( осч ивин)ищя скорогти т("и (шя: 17(()п у..) = Ф, (гп у).
Можно ра(ткп)трап, воиро( об осчыслш(- д. 5«хти )а,(а ш нахождения и(.г. у. ). паприки р. Нри а > (1 или во ы ем ирогзря)п'п«О.Гуе. В Зайгечаиие 1.12. !! Ра,.(а п; !коши ((.,'16)). (1. 16) ие бу„им за;)ансс указыва гь о6. !асз ь и( ременных Г!...., т„. в которой долж(о 6ы и оирс,п 7«по ее реп« иие. В За)иечание 1.17. !!!одних.)ишь уг п)вий ',1 16) можно !шйтп (иа и ния в(тх и(*р!)ых прои п)одпых искомой функции и(а„.... ,Г„) нй Ги!п')и(015('рх!пяти . +10 сле,!уст и'5 т01'о, 'по 15ьй)раино(' (шп)гав)«и)п 6 яв:(яезтя (их((са)!!ельнь(м к -.
и из Г(ио. (ж Гся аип)кои я и7и()7)оое1)Г)(пг77( ь70, Г (х 'п)х) лпх)уго ((' 1)путрш(- и (о(о ! о'(к у можно 16)ов('("1'и в ',й,' кагйт(с(ьиу)о и))ос кос гь рй )м('.р- 5«хти и — !. В ')!( жду )а.ш и й )хошп (1.;161. (11!6) и )я,ш и й !хони(.1:)я обыкюв( нного.(пфф( ршп(пя:и ного уравнения гупп( (ву( т (й)и!щиии- альное различие, связанное с приведением уравнения (1.351) к нор иаиьзюй, фора!с. т.
с. к уравнению, разрешенному о!носительно старшей произнсздной по некоторой независимой переменной. ПУсть точка, 1хз",...,х„) НРпнадлежит гипсРповеРхности д, и в НсзКО!О11ОЙ ОК111;СТНОСТИ ЭТОЙ ТО'1КИ 1 задае!Ся у1за!знсзниеь! шстз, ..., х„) = О, причем непрерывно лифферснпируеъзая функция и „, + ... + ьз,. ~ О, т. е. у гиперповерхности, нет особых точек. Для определенности будем считать, что в рассматриваемой окрестности ., ~ О. От переменных хн ..., х„перейдем к новым независимым переменным в выделешзой окрестности: ~1 = хо .,.., 5,„! = х„1. 5,„= '(хз, ..., х„) 11.37) В этой окрестности в переменных с,з, .... ~„усг!Овин Коши 11.36) будут поставлены на гзлиерилосзкости, Е „=.— О. Функция и примет вид и = из(г,з, ..., г,„, ~„). Выразим производные и,, в переменных Е,з, ..., с,„, дополнительно предполагая. что функция з дважды непрерывно дифференцируема: и, =и, +ис з,, 1,.— — 1,...,п — 1; и, =и!Хо; ио.
=и,, анис,-,, +и;,-,, +и,а „-,, +п,-... ири 1,=-1...., п — 1,З=-1..... п — 1; и,, =-и,с,, +исд з,,',, +и, при 1'=-1., и — 1. и апало!ично для и,, при1==-1, ..., п, — 1: и„„. =!!с с '-, +и, зм . Тесла у1заззнспие (1.35) !Озим!"! Ни,! П П аи (х1,...,х„) и,„+ Г = 1:.-1 1.—.1 П П = ~:~: „,(х, ...,х„,)-„-ч е,, +Л(...) д1. 11.З3) .-1 з — -! ! дсз О сод! 1окит 1астньзс п1зоз!11!зсзгцзысз функции о., им!книпс." по переменной с,„лишь первый порядок. КваДРатпчнаафоРма Д =- сз(дз, „сз„) =-~ ~ ~и„(1!!......Т„)дД, 1 от независимых действительных переменных 111, ..., д„с завися!цихси О1 1очки с.11: " х ) кОэфс))ициен! зыи и~ нйзывае!ся Гизи во.
Зоз( диффеРенций.п ного выРажепин 2 ~ау (х(,..., х„) п... !) ! ко!про( сохю1)жиз !за< З:«ны со с!ей>пи!ми произв<)дных)з! В 11.3>). Подчеркнем, что <РЗ =- Я(х), ..., хд д,..... д„), В уравнении 11.38) коэф<1)и)сиснт П1)и 'и, рЯВен <71х(,...,х„;ы, .....ыг ).
Вс.п! (з ОКРС<>ТНО("ЗИ ЗО ЗКИ (Х,'..... Х'„') 'ЗТО! КО»ффИЦИЕН! !«) ООРЯ(две!< >! В пу)ь, ! О, рйзд<)ЗИВ пй и< го уравнен!«з 1138), песу. шм разу(и!<нное огпоспнльно пе е уравнение. назывяс мое урпанснпем и но1кеп>и)пзо((, д)орз((п Если СЗ)х, ....,х„: ы,„..... >, )= О. Зо В точи(з (х,",....х,",) урявненис 11.38) пс со.сержит ие, т.е, по переменной 'г,, оно является в этой то Зке уравнением лишь первого порядка. я !«', ВЗОООГО. О«Риз! Нз(зст<'я. 'пО В посс((ппсех! с:!уча(';Зяппые Копн! в то Зкс (х)'....,.г'„') нельзя:задать произволыкк уравнение 11.38) уже устанавливает требования к значениям д)я1х,"....,х,"„) и Ф ! 1хз",..., х,", ) В случае Е))х, ...„х,',,;, ...., )и )= 0 гочка (х,"....Лг„) называется х а1)ак77(<зрс(сг)пзчезскос! Я(ачхой ! Рп>ерповсрхпос ти».
В противном случае — Ззсхарак()З(>рис!!(7(ческос(: гиперповер>н(ость "„ все точки которой характеристические, называется харак>пей)7>- с)пз(!<ой урйвн(Ения 11.38)). Определение 1.2. Характперисзпикой уравнения (1.35) пазывйется г.сйдкая ! Нперповсрхпостс, ",. зйданная уравнением '1<г)..... т,„) = 0 и условием,-,, +...
+ ); ~ О, все то Зки которой удовлетворя!от,тарактеристпческоеиу ураопс)(7(ю се''ух(,....х„; о,,.... с )= 0 Вс.(и 7) =. 2. то харак(ерпстику ня<зывйют хйрйкте'.рР«"(и'«ской кр(пзой. сс;пз и -- 3. хйряктерис>Р!'Кз<'ко)1! !«)ВсрхнОст! ЗО. 1 си)О- рят. Зто вектор Е1 =- (д!.....д„) к 0 задпт характ(риптпчсгкос 7<а(з!)а<з„!спи<.' длз( уря(з!«)пия 11.3>) Рз Зо Зк(' (х„.... х„) Зш <го хйрйктерис пскс -„если Я17!.....
х„: д,, ..., д„) == О. Гладкая гшзср- ЗюВ()рхпск>ь 1 Оулет х(зр(зктерис(З(КОР! ур(з)!!!<ИЗ(я (1.38) В 'ГОм и только в том слу ше, ес.ли всс се норма ш за,саки харйктс ристи«ские направления. ДЕЗ)з каждой точки 1тз, .... х„) е Ж" множество всех векторов е1. удои:«творя«)псих условию 0)х!..... х„; дп ..., д„) = О. ООРй:<1<'!. кону( с В( 1ипиной В пй Зйл() КООРДинй;Зл Оп ня<зывястся харпктерис)пичсскпРП ко>О<у<>о.,з( лля урйвпс*пня 71.35) Зз»той то Зке. '1сре з точку Ог(..... х ) может проходить бо Зсс олной х О»(кп [шс>ики ) Равис>П>Я [1.36).
[хйжг(3>й 3«К>ОР с[-.~ О. Ири- 3(ЙЗ()и)кйщий х>>рй>си ри(">и'>сскОму кону()' дх!я 3(анной! тОчки (х(. ...,:Г„), 5>в(>5(с>(я вектором нормали в >пой точке к некоторой хйрйкт( рпстпке, проходящей через з>у то >ку. Прилсер 1.15. Ура>>3>с>>ие Пуассона и,, + и„, + и>, = -,Г(гй д, -) ш имеет дсй(тви>( Зп пых характеристик, как п любое урйв>и п>и а 3(ш(п и и>ско> о ти>ш(;3)ь> пего шако(»(р(;и л( >п>ая ква„(ратичиая форма ГГ(([3, д, (133) =- О только при (Й = д, = — дй — —. О.
Х>>р>>к гсристи и(кое урйви(иис "; +(а;, + „; = О противоре штопр(>,(е,н ишо х>ц)йк Г( ри()тик и 3« ш (йе 3 и и каков 3«»з()рхиОсти В Пяда- ® Пр>амер 1.17. !ля ура впшпш т( и. юпрово,шости 1 И,, -3. В„„[ и.. = —, и, а ( [..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
