Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик - Уравнения математической физики (2010) (1127878), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Предполагая. что функция Г и!)Нрсрывпа по ЛХ и по б вмес)о (1.15) полу шм дР (М. 1) '' + 1(т„(р(ЛХд) (ЛХЛ))=- Г(ЛХ4. (1.16) д( Если жидкость несжпмаема, т. е, Р =- сопв1. то (1.15) имеет вид !1111!ъ' = О и вьц)а:кае!. О1сутс)вис источников !5 области 0 (например„вода слабо поддается сжати!о; Р = сопя( можно считать уравнением состояния воды). Если, кроме того, в течении жидкости нет вихрей. т.е. го! 5))! = 0 в ооласт и Х?. то в .О можно ввести такую ока;!яр!)ую функцию в(Я). что и == — а!ти(п, Течени! прп зтом называют поп!снииьхть!Сики а а(ЛХ) потенциалом скорости. Тогда п(ЛХ) в об.шг-)и Х? удовлетворяет уравнешпо 1апг!ага )л па == с!1555)бгаг15!в = (?. Если же Р = сопя( и функция Г(М) не равна тожд! ственно нулю. то в(ЛХ) удое:нтворяет уравнени!о Г Пуассона 5дп и = — —.

Очевидно. что потенциа.! скорости может Р у 1О155!ствОрять ура!)н!)ни!О, Хан!!аса '1О!н КО и тОм !лучас. 1сли масса втекакпцей в !) жидкости (в ! дшшпу вр! )и пи) равна массе. вытекаюп(ей пз Х? *крез гранину области. За.чечание 1.6. Урашкпие неразрывности выве,ге!и) в р1- )ульга)п наблюдения зн точками М физического пространства 0)да Пер!'5 то !ку ЛХ(г. у. В) в раз:ш шые моменты вр!мени про)ц)дят ра)пьп частицы жидкости: )5(ЛХ, () скорое!ь пнтицы, которая в момс!п времени? проходит точку ЛХ. Области?З и ХУ! фиксироыи)иьв) части иросгр гис пгй Олуй Такое описйиие тече!шя (и )ло прс,к!Ожпю.'1. Эйлером, который рй(с)и[[Оп[за.) жидкОс'и (1'и:!) кйк силоии!у!О;)е!'ко с[сфор!!ируез!ук) мйт('ри10 и Мй"1'ЕМВТИ'И'СКИ ОПИСВЛ ОЕ ДВИЖ()ИИ(Ь Н(ТЗИ!Зи('ИЫ[ !Е П()Р('.ЪИ;ИИЫ(* за д, в. [ называются пере,з«енными Эйлера.

)10[)к!Оя(еи,[рй! ОЙ иодхо 1, при котором ийолкз»[(ии(' йс 1(тся зй каждой !астицей среды. Изучается ее,[впжение в те и иие некоторого времени — подход,'1аграижй. 1Л качеспзе перез(«е)(ньах Лагранз)са паря„[у ( о временем [ можно выбрать, Например. положения ЛХ!)' .== ЛХ(!'(Х.1',Е) каж;и!й !В(типы с «ном(ром) 0 в моме)п )зр(м(ии [ =- О в !и !юдвижпой свете)м( коор[ипют [Л))!у». '1 огда положение Л11" той же час)ицы 0 11 момент времени 1.> О определяется п( которым зйкопом движеиия ЛХ,." = 3 (Лй(!", [), где (1)уикцыя '1 В кйж [ып х!Ох!Вн! Вр(х1сии [.ъсГю!йвлиВВ(!! ГяйимнО одно)нй шое соот[зетст)зис ЛХ()' Л),". и ири фиксиро)заипом (з .[й(т 'Грй()к Гоги)к) дйиж('ния ')гати!01 (' «иой!('1)ОК)й (й.

Зй!!стих!. по мы и( отказываемся от пр(дположсппа о сплоппнкгги ( р()ды: (1 го.и ко йы,'[глист ((1 'Го'[ку В хюм('пт вр('м('пи 1 =- О. Б кй !с("!'й( тйюи о иомсрйй о как рв.) и Выоиракп, иги)ример, коор,[ипаты Х. У, У ())иксировйиио!! ча( тпцы В мови )п. вр()мепи 1.—.- О. 110)!1«:кйи[ий о!О)('.,[(.,и !Ии» зйкои д!)ижения 'О уст»пйв.!йвй( т евя:зь м()к,[Л .

!йгрйижс!)ый[и Х. Е».' и зйл()ровыми Гй д, = коордиПй! ВК!И )ВСТИЦЫ: л =..г(Х,1', О»д); у =-- д ( Х, Г, »', (.): — (Х, У,Уд) чйл('ровы коордшип ы в момент времеии [той частицы, которая в моме[п [ =.=. О Находи.!й(ь в )очке (Х Е Я) пространства О);д)п При !аком способ( описания Век )ор У(Х, 1', Е, [) (( ком!ю)и итами Р", 1(!!. 1»(" в (ист( ме Ой!ув) ири фиксироваш)ых Х. 1», 7 ОЗНВ')й('Т СКОРО("1'! 1И'РОМ('!Ц()НИЯ ВЫДЕЛ()Н[ИИ1 ')й(1!'ИЩ 1 ЖИ/1КОСТИ. И моме!п Вр(мсии 1.з!!г!сро)зы коордиийгы этой !Вспп[ы т = Х-)- ~ 1'[" (Х,У,У,Т)дт[ д = 1' + ( 1» 1" (Х, 1', У, т ) (1Т[ в = У + ~ 1" ' (Х, У, Х( т ) (1т, 26 Ъ'[Л'. Е л. 1) =. ъ'О([ у. в.

1). Если какукнлибо величину. например, р = р!ЛХ, 1) !ЛХ = ЛХ[х; у. в)) неооходимо выра)ить н дагранкеных нер( менш [х. то е( прои)водная по вр( мени в л[[гр»нжсвых [н рехн нных О) дет ихи ть нп, [ ()р др др ()гс др (1 у др (Хв др — = — + —,— + —,— -1- — = —, ь (уга()А[р,у), (11 д1 д.г (11 ду (д дг ()1 ()1 (1 $„[е — ' )[олнаи )[ронаиоднал но вр(мени в.цшь траек[ории (11 1»е1и[[ы 10!Ц)е)[е)[Яет([Я к»к и('(тйнион Ц)п(к: Гь[о про![((('а. Гак и пео[[![оро [ность[о раепр(деле[шя значений р в пространстве). Ес;ш нри движенин жидкости [ш и о,[ип моме)п врем(пи ьк'.

Оораз) ьотсь! Но[[ости, Г.(. [)(ЛХ, 1) ~ О, то п(рехо,[ ог -)й)провей гьк темы коор)[ина[:с. у, - к, игрь[пжсвой Х, !'. х' в к»)к,[[яй м(ьх[ент вр('м('ни явля('1(я и('в[О)ожз[('([поп зам('нОИ п('ремю[ю !х: е(* якО- б и а п (з [1) = З О[[ у, «) ' З ! Х. У «,' ! - - О.

Рассмотрим н области Х) в момен !. времени 1 =- О ирои )вольиук) ш)доблаеть Х)'(О), пора:)опани[[о ())1[ковров)пни[в(и [истица)[и. С измшннием врехн)[ш зта «жидкая обтасть» п(рем(гн»- ("Гся нм(ст( ео (рс;[Ой. Н)меняя ево[О форм„и [шгп)жение. )3 момеьгг времени 1 ) О она превратится в обла("и Х))[1). ))ри атом коли [еетво [асти[[ в ра((а[а[рива[мой «жидкой Обл»(ти» [п; мы[51("и'я. '[х (е масс» в 1$('Г! О('тается н)н')кней [с'[ич а('и. 'Гп) в 0 нет и( то шиков): Щ р 1([х у, в ) ()т(!у()= = Щ р ($» у. «) (!и(! у(!и и',$) О'(в $ закон сохранения массы, ишигси[ный в подхо,в),)си ранж» [и[ггегриро[)аыьн по (![Г(!у()в ведется зде(ш пок» в персмп(ных "-)[О[- .И ра).

При переходе к п(ремпшь[м, [агранжа элем!Нгг обьсма (Лг()у()в= Л(1)$()Х(!У()Я. а ин[(трпрованпс по Х)(11) на„[о;игмшпгп на интегрнровапи( по ХУН)). Закон сохраншшя массы озна [аст. 'ГГО НО)!ная п!)ОН31)одная — О~ р!т.улк1)()св()у()в = — Л) р))ЗУ.л,))!(х)1)~!(ХХ(1У()х .=- (! (1 н()($ «$,[($ =Ш вЂ” М,ЛЯУ Л [')Ью«-'УУ '-=-О и [()$ В силу <йяи! )Ж) ~ но(тн выбора в !))и.<, <<ш<-гп Х)<уО) получаса! тнффер< нпяи <ьҐое уравнение ш)ра <рь<шия-и! в перев<енных у!а- грю)яо! !! !.).,!Лх,1)/Л(1)~) 0 Е <! <д .*1п вигчание 1.7. Уравш нн нр«,(<сп*ных колебаний ст(ржня <и)л юпнсано в пер<монны',1;и1юнжа. ° При иер 1.6.

Уришн*н<н <и р юрывностп, аналоги шое по смыслу уравнению !'1.1,<1. <и)является н в другой физической пауке, в квгнгпия<й м ":«пик< . Квантовую ашкрочастнцуунанрнмер. электр<и<1 и< ль <я <и<ос пъ одновременным н то шым заданием о<) коор, ! шю ! й й.г, <к ') н скоро< тп в 1ЛХ.1). Со< тоянне такой частицы о<и<ими!» как «олн<>вун фу)нвцию Ф1ЛХ. К), которая прнннъяиег к<)мн.

! и< ньи )печеная, Смысл волновой функции состоит и !'<а!. <<и,!.ш ограш<ченной области ХХ пространства От1)в <пог! р ш ///1Ф (ЛХ,1)( <6х1д<Ха представляет <обой верениц<ос!па х х'х ш<х<ок,(гния частицы в области Р / / / 1Ф(ЛХ.<)! <1<с<Хе<!в=1. х — х !!усть частица массы т находится во внешнем поле снл: д( ЛХ) «по генцпальная энергия. В квантовой механике постулнруется, что во;шовая функция такой частицы у.)овлеп)оряет уравнению ХХХредннгера< )й " —: — — 'Ь)<ФХЛХ,1).

Х:Р~)Ф(Л!Л), дФ1ЛХ.1) д! 2 на где Л,)< оператор Лапласа:, ! мнимая едннппа; й постоянная Планка 1фу)ц(ачсн)альная физическая постоюшая), Иычпслпм производную по временн от вероятности пахожде'< ння частицы в области Х). Учтем для этого. что 1Ф~ = ФФ ~ )орта Овна (а(т кОвп)лекснОе соцряжсшн!)., и Гго ч)ункцня Ф у;кл)ле!'- воряет уравнепню Хй = — )7), ' =- — — <л)< ФСЛХ.1) + ь'1ЛХ) )е 1ЛХЛ). дФ ХЛХ,1) дФ<ХЛХд) д1 д! 2)п Кроме то!'О, исполь')) (м !'Ожд<'ствО ФЬ )<Ф вЂ” Ф~л ),Ф = — : (1)9 я (Фй)а(! ц Ф вЂ” Фв)тн1я Ф)!про(серьте! ).

Тот, гв Сча дан<)яуЛ.)Ч Квантовая ясхаиика, Норовя ! ионе)окая таория,< Л.,Ч Ландау. Е. М,ЛиФгвиц — гя. 3, й )9 — Щ~Ф(ЛХЛ)~ дхГХуйх = Щ)Ф вЂ” + Ф вЂ” !1ХТ1Х!!!Хв =-. и и — Ф~ — — ЬФ: ГФ) — Ф~ — — ЛФ+ХХФ 1ВВ1!Й1Хх = й „~ 2ГВ ) 2т = — — 'Щ, :ФххФ вЂ” ФЬФ1НХх!Х1!Их = — Щ 11!Ч11 1(ЛХ, В) ГХхйй1Ь. 2гв и !21 гд! и!сдспообоз!Гй ю!ше !(ЛХ,~) =-- — (Фягас1!!Ф вЂ”. Фйга!ХЯФ).

Если 2га Обг!Всп, .0 иянст кусочно-Г:!йдку!О Границу о, то по форт!уле Остроградского получаем — Щ!Ф/ 1Хг!1у!Хх = — Ц(Л(Р,1),п(Р) )Хор. Гд1.' и сдиничная Внешняя но11мй1п к поверхности о В !.'е '1'Очке Р. Тся! самым вектор ! можно рассматривать как ескгаор плотностпп потока В!ВХ!11ятносп!!и шгг1гграл Д Д.п)!Х5 есть вероят- НОСТЬ 1ОГО, *!ТО В 11"и'.НИ!! С,П!НШ1Ы ВРСМ1ПИ 1ВСТИЦй ПСРЕСЕЧГТ поверхность л'.

ХХ.:1отность ВГХ1оятносп!!! )Ф(ЛХ. 1)/! и векторное НО1!с Л(ЛХ. !) у;юв,нтп!ОХ!Нют урйвнснпк! П1рй!1яппп!с!п В Порасти Рс д ((!Х! ( ЛХ, У )! + !111 ЧХ(ЛХЛ) = О. И дГ 1.1.8. Система уравнений Максвелла Уравнения математической фнзики описывают (в виде интеГра.!ы!Ых или ди1(!фср1 нцийльных соотно!п!1Ний) нс то:!ько явления и процессы, нронсходяиьче в еегйсстве, по и фпг!ические поля„ Понятие поля оыло введено !Е Фарадеем для они<'ания элскгрических и мйгнн1пых яв и !п!Й: Взйи: !О и пс1вукнци1 з !Скт11П и скн ЗН1!яженпыс частицы создй1От В кйжг[ОЙ точке Окружйющ('ГО нх пространства особое состояние .

поле сил. которое и осуществляет взаимодействие между истицами. По, гя могут существовать и независимо от создавших их гастип (например. э.нктромаГнп'!ные В0,1ны) . 4-, 1дл го1о)Н = — 3+ —— с с'д( 1 дВ !'О1,ИЕ =- — — —, с д1 ! 1,17) 11.1!)) (1!('ИВ = О. (111 (ГВ =- 4 яр, 11.20) н! ('и Злсс ь с =.= 3 10 — скорое п распространения з)Г( ктромйгс шпных взаимоп'йсгвий 1(ГК()рость света) в вакуум(.

Э)н'к'! ООХ1йгиитн1 и.' свой("! Г)й ср()ды и е(" сО('тОЯИ(и' Опи('ьн5йкп— ся у рй!Гн()пнями сос ! О)и!ия. Нй!0)им(р. в !Гйкйй и(" ТЭ =' Е и В = Н. а в поко)ицейся изотро!шой среде ЯЭ =- ВЕ, В = — рН. 1 == с(Е, г;и) дизлс ктри н)окая проницги мост(и р магнитиж! Ироницасмо(ть; о (д()льнйя )лекгри нскйя иро!)отц!5)осг(,( ре(ы. 1 Гвщ(- ство Г = ОЕ Выражает:)акоп Омй. Замечан((е 1.8.

Урйвищи(я Макс!Гейл(! мо(утйипь зю!псины и В ин!.(Грььп~!и)й фо1мнь ° Выведем некоторые следе гния из уравнс !шй (1.17) др И;5 равенства (1.20) выразим — =- — (1ж —. и и) (!.17) д( 4- д( до — -.= сго1Н вЂ” 4)(зй Учтем, !Го (1!Хго1Н = — О. Тог)!й получим д1 (1.20). 30 зги к г1к)мигни!(ий !и( и и ю(л(щи( (и г1язн (и!Исывйется 'и- ТЬГРЬМЯ (5('К Г()РИЬГХШ ГЮ)!ЯМИ; НГИ!Р)!)К('ИИО('1ЬКГ 5,1(К!РРГЧСГСКОГО ноля Е(Л7, 1). зл( ктри и ской иплук!Ий й 1))ЛЛ 1).

!щ(0)ижешк)стью мйгщп но! о ноля Н(Л4. l) и мй ! (ш пи)й ин 0 кцщ й В)Л)0 1). которьн с пггаются не!0)ерывными и;ин)к)я)1йч(цир)( мыми функциями то !ки Л1 — — Л11.г. ГГ. ) и врегюни й Иг!.)'и!Икй)!и ).и ктромйпппного поля являются электри имки( иц)ядь!. р)н !Ояц((.!еппьн в пространств( с ОО(с хи(ой плотностью (Г) Л1, Г). и ) и ктри некие токи, которьн харак п ризуются век !О1и(ь(м !«),и м и.ютнос"п1 )лектри некого гокйЛ(ЛХ, 1) )ГГ) ийр)е!.. !и р((( и (кю(ий В с)ГИИГГ- пу времени едипи шую площадку, ие1нн и,(ик) ля1и!ук»(ю!рйвлеиик) дВи)к(ГИР(я;Гйряжснных и)сти!Г).

Характеристики

Список файлов книги