Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик - Уравнения математической физики (2010) (1127878), страница 4
Текст из файла (страница 4)
й) =. И'. Ьоковая поверхность стсржня т<згззз<>зт золт~>огзтстза. и<-з.о ~~~о~ те<с<лоты в < т<зря<н<з нет, О и ~~д~~, Ит (( что функция — ~ — — х ~ удовлетворяс т уравпеяию и, .---. <ги„.= О. ХЬ г.е. является сттисионарным распределением температуры в с 1>с ржи<с ° Пример 1.4. Ес. ш в момент времени т': = 0 однородная п.к>окая круглая пластина (В = 10 < г < г„, 0 «,;. 2т). тз з> полярные координаты) имела температуру и(г,;., О) = и„гешах и„==. сопят, 16 а Во все моменты вр( ч(.ни 1 ) 0 на се границе поддерживается темцеРатУРа и (тн хх !) = 1((зг(зншэь то фУнкциЯ ингвш "Уловл(творяст уравненинз и, = азтзи = 0 (проверьте!).
т. с, является стационарным ра(нрсделением темпера !уры в пластине. ° Пример 1.5. Стационарная температура и (т. эх О, т) = д,г ( ии = сопяб) огаю1юдного шара (ТЭ = (О < г < г;, О <,р < 211, 0 < й < т(), г,,;,, О . сферические координаты) может быть получена заданием на его границе во все моменты времени температуры и(т;н зз, О. !) = ииГ(З И Т!(З!(СТ ВИЕМ ИСТО'Н1ИКО!3 (И:1И НОГ:!ОТИТЕЛЕЙ) '1ЕЦЛО- ты, имеющих ностошшос но ззремсни ц(нтрально-симметричное '2 2и(,1! РаснРеделснис в шаРе: г(т, ах 0 й) ге Е (т ) = — —.
Д(1!с гвителы!О, в этом случае температура в !парс ие зависит от углов .р и Н, и 1 д (,ди) 1д'(ги) тогда 1х, „,и = —,— ~гт — ) = —, Функция и„т удовлство'+ гз т)г~ дг) з. дг'-' 2а, '~! ряст уравненикз и, = азл и — — '=0 (нроверьтс!), т.с. урав с- 2и„ г иию (дтт = — ", ° Замечание 1. Я. В примерах 1.2 1.5 неявно предполагалось. что техшература и является функцией, непрерывной вплоть до ! раницы области В (т.
с. в зачкнутой области Р ). Уравнение теи. ЮщЮ!ЗО(((!ОСТИ Спранс;ШИВО ТОЛЬКО В ОтКрЫтОй Обдаетн О. ° 1.1.5. Уравнения стационарного растяжения и продольных колебаний упругого стержня Упругий стержсиь (или пружина) растягивается или сжимастсл под действием внешних сил: эти силы вызывают смещение его частиц. Тогда в сзержне возниканн внутренние упрут ие (илы между соседними частицами. которые крепят(твунэт действ!но внешних сил.
Деформация называется упругой. ес,ш она исчезает после снятия внешнего воздействия. Пусть все поперечные сечения стержня в состоянии покоя одинаковы и имскзт нлошйд! о. Вут!ех! с'пг'ать. '!то ВсякО(з ИО1н'.р(з" шО(' ('Р'и'.шнз покоя!ц(згося ст( ржня не меияс! с!зоей формы при дейсттзии внешних сил ВдОль О('и Ог., и тОлькО с,(!зигнсгся Вдо:!ь сте1гжня . ВдОль Оси Ол. Такой стержень можно считать одномерным. В упругой силшиной (.'рсдс зависимо("!ь между возникающими нанряжс- 17 Паями и |ии,|ь(о«(Н(!)«!)О«й«лй|«ю !рйж и гся:тконоси )ум<. !!а- ПРЯЖ)'И|И' )И'!»), !3»)'1!Н'3И|ИК )ИР)'1'ИХ СИ;1 В /И)<!)ОРК|ИРМ("МОМ )гл(«!)3! и ич кая !»(и! !И|и и. Ии:нино равная уир<!Ой си.,и). ирихо.иш< йея и ! |,;Пи!Ии( иги»Пади ее'и)иит< 1<ай. !! и!$ия«иие, иа и и»|н)Г 1«)р' и! и и| !м. < ели с<(ру!ГЙ>1 сила !д >3.!и !»и и и|к,'с!ярий !»и( рхио|"! и и" и иия, !5йдгм рй(<ъитривать только !«>!Йи '|и!ы< и и!и лии!я и ет( рж!Их которые в),1(з!)йпы иапрнюи ии! |ми в, (оль (|Ггря !и! ии !поим» си,ими: О -.=- Р;„„, 'л'.
с"о<сии ио ак|еу рука. иормйлыи» напряжение ироиорц!<он<ми ио опи)г!пс, !ьиому у,(- ,,иии иию: (<ли у |веток покоящегося г!( !Ок!О| и)и л .(Лии) й Й и ) 1, Дей('ТВИ(.'М ВИ('И!ПИК СИЛ ('ГО,~.,')ИИ)3 ГТЙ.|!| !ИВ»ОП 1 Р,лй ТО , Г'.)! П=Š—,!д< 1:)О ко к!)фииш»! 1, и»и< яии!й о ! м;и < ри|иа ("1< ржия; ои па:и иа|'и я ки>ду.им Н)!<п),;Е! —.
— —,. ('и ('" Ржтмотрим сиа и.:и ( 1ациоиариу!о,н (!»)р<ищию сгержия !К>д ,3( йств)и м рж ирс)31.'инной в н)ль |Кто ( и и !. '.!Йииии м акоп Гую! ,шя у исткй <тержия, к(порый и го<|сиянии покоя ийиимйл по,!Ож('иис !.Г..Г !' '.Й!!. !!) <"11 и иок<»1 кОордиийту х икис!й 1и кОтор)я ии гпца ( !( р кия, !!) и! ь и !иир и. (Иии о( и Огш) гтержеиь , !( йсп|у( г р<и>3<р<ь<г)и и!И)я )ь!оль него внешняя еи.!а Е (т! г ли!Ийиой и.!опик-па> <ч р;и!йидг.ниии Я(3! !!' сила,.
приходя- <йЕГ и|Й>н'я и!! <'.'Иииип','!гиии и / — — !. П|н'ии|яя си,|й ВЬГ5оис Г с «<'- о,а «|сии<' ука )ЙПИОй '|а("1'ицы иа и(',кетой)'ю В<'лп'!ии)' «!,Г)!<Й!!. '!ж"!ши. Икнииая в иок(х коор(шиту:г —, Й)! см<епп(я иа 3<<Г 3- .|.:Й!!. а вы;и Я<*Пи! и! <.:!Йе|ок )аймгт ио.!ожг!Пи !г -! Й1.)!. Г ) Ли!. + «(Г + ЙГ)!.
ОтИО< ИтЕДЬИОЕ У.<ЛИ!НИИЕ СП(И и Ъ'ИС|Ка и!.г т >'мг) — и!,г~ р»впо . !!рг(ио)!Й)йя!Кпр(рывпо<тьидиффср(з- Ь.!! цируекин"! ь функции и(<г!. Ишишсм равно< ть и!.Г+ ь).)л — «<,г! По формуле „!агрйижа. То) да акои рука утвержди 1, иго и!4 == .—.-. Ит)п (г+ 0>)г!. гоа 0 0 х'. !. Если у<гр<ми!ь а!' — !3, !оп!Г! =- Г>(!й <)йг), '1) с. си)|а (|ц)мпх ти в '!Оио' х !»П5иа )д> .(Г): п(Г! ) = =- ~)Е!Г)«!Г!..')Й)5исик!Ость Е[Г! |и>)ишон !. <с ш кигериал и!СржИЯ |ИХ)ДИОРОДЕИ, '!|як!» и!д<лим иро!ииольиый иро)и жугок 1!!), Г.!'.
Е<.!и согтояиие ("!< ржия г!ацио!ирио, г.с. Иршисс растяжения Прекрати»ИВ. голи! .Побо! о !й»ин)жу! ка )!г),:):,~ внутри с г( рж!и вы!юл- ИГЙ'Г<'5! Оа,|а|и' сил: ~ / (» ) г/»: + Я-' (т» ) и, (х > ) — Я Е (»г! ) < <,, (! ! ) ==. О если В< юдУ !(.!) > О. го В тш|ке,|| иа выди;и шп|й Участок (,гь в,( ;и йс»вует сила упругости со стороиы ча< ти стержня х > .<5. Иа|й?Ив|< ппая в по |ож|п<|ы|;к|<!<?/И?В1 о(и О»; а В Го |кс т, <ила ;|Ц|УГОСТИ (О ОГО/?ОИЫ *|ИСТИ СТЕ/)?КИ5! Х -. Хо Иап/)авл(Ш!ВЯ В ОТ/|ицат<с|ьну|о с1О/?Оиу О('и Ог.
И/?е.и!О.и?жи<и., 'Г|О фуикция !<.Г) |и ирерывпа. Г,(.г) и<|прерывно диффсренцируема, а и(в) дважлы иеир<рывпо дпфферснцируема. Ъиппп<м ~ /((г)</(1: с иомои(ыо ! Во/?<Гкп ! о с/|ел|и м. Ввс/<< м Обелив «и|и .<»е(!) = Й(г). рап,шдим урашн иве баланса сил Ва <㻠— .г, и устремим,г, — к, г? ':г.
Тогда фупкпия о(г) буде< удое нтвор пь обыкпов(иному </ ( </а(х)) дпфферсш<иа.;и ному уравиеишо — '|/<(г) ~ = --!' (Г). котор<к </» ~ </гь описывает стш(попарно< растяжение (т< ржпя. Д.,!5! одпородиого ~(:) ст<.*~|жив А' = (Опк»„и иолу'||н'и у/?ави<'ии<' а,, (.г) = — . кО|о/г /к?< яв|?и»< я у/!В|и«|Вием Пуа(е<?иа В <?/пк<ые/и!Ов! С»<5 ||и.
Ес,п! С<?сто|ши< у|й|1| ОГО с!е/?жи5! |кс|ациои !/?И<5, тО ем<и|<- пи< в:|ави< ит от врем< ии. пусгь 1<(:г. !) Иродо.и,пое смс|цеши* и моме|п времени ! точки, имевшей и состоя|ши покоя коордисм! пату х. То< |!и !<< (<и Р) 1 — ~ скорость движения в точк( <г В меме|и времени !. Ес, ш р(.г) об'ы*мн|ь< плотно< "и мж'сы в точке х (ст<'рж<ив >|о?кио счи! Вть иео и|о/?Одиыа!). Го !5(с<о</» ~~~~~ Р- |ветка с 1<|р?ки?<,Ь<иио!! </г. 1?ы<?ерск! внутри <чержпя ирои |вольный 1'пп 1ок |Г . а ). И |м(|и ии<' коли |<( !ВИ ||Ви?ксния,| |я 110|О 1 1ас!'- ка в теч< |ше ИРомсжУ|ка ВРемспи (Ре Р») (изменш|ие количес<ва дииже!шя обуслов,и по.|ей<паяем виеишей с!шы /'(:г, Р) с липейной и ютио< гью е< ра< ирс В.и |и|я в ю и, пиржпя /(г, Р) и,|<чк |Ви< м < ил упругости Ва укапанпое Вр< мя) равпо ~ (а< (г, Р?) — |и ( |ь !, ) й< Я</ГЯ -.—.
/ ~ / (гг Р ) (/г</Р > < ~ „'5 /' (г, ) и, (| | . ! ) — ? !5 ((г< ) В, (г,, Р ) </Р. !9 Пр(сии|.инкам, по Я.(( «) непрерывна ио х и но «и запив|ем ~ «(.г,«)(1((««( пом(ицью теоремы о среднем. Предположим гу(ц(ствояяни(' нснр('рывных производных и,„, ии. Ъшншем но ! (я|ром( о ( радием дна других интеграла. Разделим равен( тво на ,|:, — х, и ня «т — «ц Устремим т, — х х, — т. «, — «, «, — «. Тогг(я ()>1 икци>| и(х, «) буд(т улов |с|нор>пазик)креренциео(ы(ок(у уряв((е— ,д'и(х,«) д ( (ди(х,«) ) нию в частных производных р(.г)Ь = — Ь(т) д«' д ~ дх +>((х,«). Если «(.= (онв!., р =- соня|, то уравнение можно за||исать А', см ивисе ни =о и„+ —, г>|с а, = —.>О.
а=соня«) О.,!а) = —. рд р5' ' с Оно нес|ывя(тся оолнооы и ррао|н(яиег й игш («равнениям ко;(ебана(Х Если Г(,г. «) |и О. а кол(банна происходят только нод действием сил унрбтости (например, после некоторого вернона |ального ряс (з(н(е(|ия ст ержня), го уравнение ии(х. «) = а'и„.,(х, «) (1.12) на |ыняется |«р(оянстшм гв(>бедных колебаний. В процессе ко:|сбаний ня стер>кон!.
мог(т «((й(-! вонять силы трения. Ес>н! си:|а тр(||и|я ироиорциоия:и ня скорости и((х, «). то вместо (1.12) по.|учим уравнсиие ии = а>и„— Ь(|(. Ь =- соня«) О. Выбором новых независимых переменных;!«и «( уравпенис (1.12) можно привести к ви,|у и,, == и,, (цяй.|ите такис:|,' и «'). 1.1.6. Уравнения поперечных колебаний струны и мембраны. Звуковые волны в пространстве Рассмотрим ( «г(1>(«>г(«одном( рную упру! ую одноро,шук> пить. которая не сопротивляется изгибу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
